高等数学(工科类)第三章一元函数微分学及其应用

1、一元微分学及一元微分学及其应用其应用 第三章第三章 第三章第三章 知识目标：知识目标： l理解导数与微分的概念及其几何意义理解导数与微分的概念及其几何意义 l掌握导数四则运算法则和基本初等函数的求导公式掌握导数四则运算法则和基本初等函数的求导公式 l掌握复合函数、隐函数和参数式函数的导数的求法掌握复合函数、隐函数和参数式函数的导数的求法 l了解高阶导数概念，掌握求显函数二阶导数的方法了解高阶导数概念，掌握求显函数二阶导数的方法 l理解导数和微分的关系理解导数和微分的关系 l了解一阶微分形式的不变性了解一阶微分形式的不变性 l掌握掌握“ ”型未定式极限的求法型未定式极限的求法 l掌握用导数判断函

2、数单调性与凹凸性掌握用导数判断函数单调性与凹凸性 l掌握用导数求函数极值、最值的方法掌握用导数求函数极值、最值的方法 l掌握用导数和微分的知识解决实际问题的方法掌握用导数和微分的知识解决实际问题的方法 能力目标：能力目标： l能应用能应用求导法则和求导公式计算导数求导法则和求导公式计算导数 l能应用微分的四则运算法则计算微分能应用微分的四则运算法则计算微分 l能应用导数与微分的知识解决实际问题能应用导数与微分的知识解决实际问题 l能运用能运用MATLABMATLAB软件计算导数和微分软件计算导数和微分 , 0 0 第第一节一节 导数的概念导数的概念 一一、变化率问题、变化率问题 第第一节一节

3、导数的概念导数的概念 分析：运动员跳水过程可以视为自由落体 运动，该案例实际上一个求变速直线运动 的瞬时速度问题。 运动跳下的距离和时间的关系为： 22 9 . 4 2 1 tgts 如果运动员起跳时间记为 ，则入水时间为0t)(4 . 2 9 . 4 28 st 我们用一些持续缩短的时间间隔 上的平均速度 来逐步近似，比如在时间间隔 上平均速度为 4 . 2 , 4 . 2t 41. 2 , 4 . 2 569.23 01. 0 )4 . 2(9 . 4)41. 2(9 . 4 4 . 241. 2 )4 . 2()41. 2( 22 ss v 第第一节一节 导数的概念导数的概念 容易看出，

4、随着时间间隔的缩短，平均速度越来越接近 23.52米/秒即约84公里/小时。 时间间隔平均速度 2.4,2.4123.569 2.4,2.40123.525 2.4,2.400123.521 结论：运动员入水的瞬时速度 定义为从 开始的逐渐缩短的时间间隔内平均速度 的极限值，即 t sts t s v tt )4 . 2()4 . 2( limlim)4 . 2( 00 )4 . 2(v 4 . 2t 第第一节一节 导数的概念导数的概念 一般地，在变速直线运动中, 当 很 小时, 时间段 内的平均速度 近似地 等于物体在 时刻的瞬时速度, 且 越小, 其近似程度越好。当 时, 若平均速度 的极

5、限存在, 则此极限值称为物体在 时刻 的瞬时速度 ，即 t 00 t ,tt v 0 tt 0t s v t 0 t 0 ( )v t 0 00 0 00 ()( ) ( )limlim. t t tt s tts ts v tv tt 第第一节一节 导数的概念导数的概念 第第一节一节 导数的概念导数的概念 解： 下面的方法来源于法国数学家费马。 设连续函数 的图形是曲线 。在曲线 上有定 点 和动点 ，连接它们得曲线的割线 ，当动点 沿曲线 趋近于定点 时，若割线 存在极限位置 ，则称此直线 为曲线在点处的切线。 ( )yf x C 0 MM C 0 M M C M 0 M 0 M M 0

6、M T 0 M T 下面求曲线 点 处的切线的斜率： 设 、 ，则割线 的斜率为 当 时，割线斜率的极限就是切线的斜率 :( )C yf x 0 M 00,0 ()Mx y 00 (,)M xx yy 0 M M tan y x 00 ()() . f xxf x x 0 x tanklim tan 0 lim x y x 0 lim x 00 ()()f xxf x x = . y T O 0 x x 0 M ( )yf x M x y 0 xx 第第一节一节 导数的概念导数的概念 上面案例中的函数具体含义虽不相同， 但从抽象的数量关系看，它们的实质是一 样的，都是归结为计算函数增量与自变量

7、 增量的比值的极限，即平均变化率的极限平均变化率的极限。 类似问题还有： 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限； 线密度是质量增量与长度增量之比的极限； 加速度是速度增量与时间增量之比的极限； 角速度是转角增量与时间增量之比的极限； 第第一节一节 导数的概念导数的概念 二、导数的概念二、导数的概念 定义定义3.1 设函数 在点 的邻域 内 有定义，当自变量 在点 处取得增量 ， 且 仍在邻域 内时，相应的函数值 增量为 。如果当 时， 有 ( )yf x),( 0 xU x 0 x 0 x x 0 xx ),( 0 xU 00 ()()f xxf xy 0 x 0 lim x y x 00

8、()()f xxf x x 0 lim x 存在，则称函数 在点 可导可导，并称此 极限值为函数 在点 的导数导数，记作 ( )yf x 0 x ( )yf x 0 x 0 |, x x y 0 (),fx , 0 xx dx dy 0 )( xx dx xdf 第第一节一节 导数的概念导数的概念 由导数定义，知 若上述极限不存在，则称函数 在点 导数不存在。 特别地，若 也称函数 在 点 的导数为无穷大，其属于导数不存在 的情形。 00 0 ()() lim x f xxf x x 0 x x y ( )yf x 0 x 0 lim, x y x ( )yf x 0 x 导数定义的 等价形式

9、 第第一节一节 导数的概念导数的概念 前面两个案例中的导数： 00 00 0 ()( ) ( )( )lim t s tts t v ts t t 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x kfx x 函数增量与自变量增量之比 是函数 在以 与 为端点的区间上的平均变化率；而导数 则是函数 在点 的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度。 y x ( )yf x 0 x 0 x x y 0 xx ( )yf x 0 x 第第一节一节 导数的概念导数的概念 导函数 若函数在某开区间内的每一点都可导， 则称函数在该区间内可导。 函数 对于区间 内的每一个 ， 都有一个确定的

10、导数值与之对应，这样就 构成了 的一个新的函数，这个新的函数称 为函数 在 内的导函数导函数，记作 注：在不致发生混淆的地方，导函数也简称为导数 ( )yf x( , )a bx x ( )yf x( , )a b ( ) ,( ), dydf x yfx dxdx 或 第第一节一节 导数的概念导数的概念 例例 设 ，求 解：解： 3 )(xxf (2),( )ffx 33 00 (2)(2)(2)2 (2)= limlim xx fxfx f xx 2 0 lim126() 12. x xx 33 00 ()( )() ( )= limlim xx f xxf xxxx fx xx 222

11、0 lim33() 3. x xx xxx 0 0 ()( )|x xfxfx 函数在一点的导数就是其导函数在该点的函数值： 第第一节一节 导数的概念导数的概念 导数的几何意义导数的几何意义 函数 在点 处的导数 ，等于 曲线 在点 处的切线斜率。 ( )yf x 0 x0 ()fx ( )yf x 00 (,)xy 0 ()tanfxk 0 (x )0f其中，水平的切线 0 (x )f 垂直的切线 000 ()()fxxx切线方程：y-y 第第一节一节 导数的概念导数的概念 例例 求曲线 在点(1,1)处的切线、法线方程。 解：解： 3 yx 32 111 |()|3|3 xxx kyxx

12、因为点(1,1)在曲线上，于是切线方程： 法线方程： 13(1) ,yx 320 xy 1 1(1), 3 yx 340 xy 第第一节一节 导数的概念导数的概念 可导与连续的关系可导与连续的关系 可导必定连续，反之则不成立。 例如函数 在点 处连续但不可导， 因为 因此不可导。 ( )f xx 0 x 0 (0)(0) lim x fxf x 0 0 lim x x x (0)f 0 (0)(0) lim x fxf x 0 0 lim x x x (0)f 1 1 (0)(0),ff 第二节第二节 求导的方法求导的方法 一一、求导法则和公式求导法则和公式 导数的四则运算法则导数的四则运算法

13、则 uvuv （） ()u vu vu v 2 uu vuv vv (0)v 第二节第二节 求导的方法求导的方法 推论：推论： ()C uC u ()uvw u vw uvw uvw 2 1v vv (0)v 第二节第二节 求导的方法求导的方法 例例 设 解： 3 ( )8cosln5,f xxx( )(). 2 fxf 求及 ( )fx 3 (8cosln5)xx 3 (8cos )(ln5)x x 33 (8) cos8(cos )0 xxxx 23 24cos8( sin )xxxx 23 24cos8sinxxxx 23 24cos8sin 2222 () 2 f 3 第二节第二节 求

14、导的方法求导的方法 例例 求证 证明：证明： 2 (tan )sec,xx xxxcotcsc)(csc sin (tan ) cos x x x 2 (sin ) cossin(cos ) cos xxxx x 22 2 cossin cos xx x 2 2 1 sec cos x x .cotcsc sin 1 sin cos sin cos sin )(sin ) sin 1 ()(csc 22 xx xx x x x x x x x 类似可证 2 (cot )csc,xx (sec )sectanxxx 第二节第二节 求导的方法求导的方法 例例 电路中某点处的电流 是通过该点处的 电

15、量 关于时间 的瞬时变化率，如果某一 电路中电量 求（1）电流函数 ； （2） 时的电流是多少？（3）什么时候 电流为49 ？ q i t .)( 3 tttq( )i t 3t 解解 （1） （2） （3）由 得 13)()()( 233 ttttt dt dq ti 28133)() 3( 2 3 3 3 t t tt dt dq i 4913)( 2 tti4t 第二节第二节 求导的方法求导的方法 反函数的求导法则反函数的求导法则 或或 1 ( ) ( ) fx y . 1 dy dx dx dy 例例 设 ，求 arctanyx y 解解：单调连续函数 的反函数 在 内可导，且导数 由

16、反函数求导法则， arctanyx , 22 tanxy 222 (tan )sec1tan10yyyx dx dy (arctan ) dy yx dx 1 dx dy 2 1 1x 第二节第二节 求导的方法求导的方法 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 如果函数 在点 可导,而函数 在 对应的点 处可导，则复合函数 也 在点 处可导，且有 或 简记为 复合函数的求导法则亦称为链式法则链式法则。该法则可 以推广到多个中间变量的情形 ( )ux u x)(ufy )(xfy x dx du du dy dx dy ( ( )( )( )fxfux xux yyu 第二节第二节 求导的方法求导

17、的方法 例例 求下列函数导数 （1） ；（2） 解：（1） 可看成 的复合。 （2） 可看成由 复合而 成。 22 yax sin . x ye 22 yax 22 ,yu uax xux yyu 22 () ()xuax 2222 1 ( 2 ) 2 x x axax sinx ye u ,sin ,ye uv vx xuvx yyuv 1 2 1 ()(sin )()cos 2 uu uvx evxevx sin 1 cos 2 x ex x sin cos 2 x x e x 第二节第二节 求导的方法求导的方法 在熟悉了链式法则后，可以不写出中 间变量而直接求导，但在求导过程中要搞 清楚

18、每一步是对哪个变量进行求导，关键 是理清复合函数结构，由外向内逐层求导。 例例 求下列函数的导数 （1） （2） 2 3xx ye lntan 2 x y 解： 2 3 () xx e 22 323 (3)(61) xxxx exxxe 2 11 lntantansec 222 2 tantan 22 xxxx xx 2 111 2 tancos 22 xx cscx 第二节第二节 求导的方法求导的方法 400AB 3 8/米秒 第二节第二节 求导的方法求导的方法 解解设在 时刻水深为 ，显然水库内水量 是水深 的函数，由于水深又是时间 的函 数知，于是 是 的复合函数。由题意得 ， 而要求的

19、是当 时，水面每小时上升的 速度 ，对上式两边关于 求导，得 ， 而 米， 即水深10米时，水位每小时约上升2.08 米。 )(th t V h t V t )(3400 2 thV 10h dt dh t dt dh h dt dV 3800 33 8/=28800/ dV dt 米秒米小时，h=102.08/ dh dt 米 小时 第二节第二节 求导的方法求导的方法 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 第二节第二节 求导的方法求导的方法 二、二、隐函数和参数式函数的导数隐函数和参数式函数的导数 隐函数隐函数求求导导方法方法 在方程 的两边同时对 求导，遇 到 时，就视 是 的函数

20、；遇到 的函数时， 就看成是以 为中间变量的关于 的复合函 数；然后从所得的等式中解出 ，即可求 得隐函数的导数。 ( , )0F x y x yyx y y x dy dx 第二节第二节 求导的方法求导的方法 例例 求由方程 确定的隐函数 的导数 和 。 解：在方程两边同时对 求导 ， 即 当 时， ，故 0 xy xyee ( )yy x dx dy 0 x dy dx x ()0 xy xye e 10 xy dydy yxee dxdx ,(0). x y y dyey ex dxex 0 x 0y 0 x dy dx 0,0 1 0 1 1 0 x y xy ey ex 第二节第二节

21、 求导的方法求导的方法 (1)由于隐函数常常解不出形如 的显函数 式，因此，在导数 的表达式中往往同时含 有 。 (2)在隐函数的导数 的表达式中， 的关系由 原方程 所确定。 ( )yf x , x y dy dx dy dx , x y ( , )0F x y 第二节第二节 求导的方法求导的方法 对数求导法对数求导法 对函数先取自然对数，通过对数运算 法则化简后，再利用隐函数求导方法求出 函数的导数，这种求导方法称为对数求导对数求导 法法。 它不但能解决像 类幂指函数的 求导问题,而且在某些情况下可使求导运算 变得简便。 )( )( xv xuy 第二节第二节 求导的方法求导的方法 例例

22、求 的导数。 解：对两边取对数，化为隐函数得 在方程两边同时对 求导得 2 (0) x yxx ln2lnyxx x 1 2 ln22ln2xxx x 1 y y 2 (ln1)yyx 2 2(ln1) x xx 第二节第二节 求导的方法求导的方法 例例 求函数 的导数。 解：对两边取对数，化为隐函数，得 在方程两边同时对 求导，得 2 3 (1)1 (25) x xx y xe 1 ln2ln(1)ln(1)3ln(25) 2 yxxxx x 216 1 12(1)25 yy xxx 1216 1 12(1)25 y yxxx 2 3 (1)1216 1 (25)12(1)25 x xx x

23、exxx 第二节第二节 求导的方法求导的方法 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 ),( ),( ty tx 若参数方程 确定了 与 之 间的函数关系，则根据复合函数求导法则 和反函数求导法则，有 即 ， 。 )(btayx 1( ) ( ) dydy dtdyt dx dxdt dxdtt dt ( ) ( ) dyt dxt ( )0)t 第二节第二节 求导的方法求导的方法 例例 已知椭圆的参数方程为 求椭圆在对应的点 处的切线方程。 解：当 时， 椭圆上的对应点 为切点， 于是切线方程为： cos , (02 ). sin , xat t ybt 4 t 4 t 0

24、 2 cos, 42 xaa 0 2 sin 42 ybb 0 22 (,) 22 Mab sincos cot sin cos btdybtb t dxata at 44 cot tt dybb kt dxaa 切 22 () 22 b ybxa a 第二节第二节 求导的方法求导的方法 三、三、高阶导数高阶导数 定义定义3.3 若函数 的导数 在点 处可导，则 在点 处的导数称为函数 在点 处的二阶导数二阶导数，记作 或 类似地，称 为 阶导数。二阶 及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数。 相应地，称 为一阶导数一阶导数。 ( )yf xx x ( )fx ( )fx( )yf x x 2

25、 2 ( ),( )( ), d yddy yyfxfx dxdxdx 2 2 ( )( )d f xdfx dxdx ( )fx ( )(1) ( )( ) nn fxfx n 第二节第二节 求导的方法求导的方法 例例 求下列函数的二阶导数 （1） （2） 解：（1） （2） 2 3lnyxx 2 cos 2 x y 1 6,yx x 2 11 66yx xx 2 11 (cos)2cos( sin)sin 22222 xxx yx 11 (sin )cos 22 yxx 第二节第二节 求导的方法求导的方法 t 第二节第二节 求导的方法求导的方法 解解： 首先比较两个模型的利润增长率： 当

26、时，这两个模型的增长率相等： 下面我们再来考察这两个模型的利润增长率 的变化率： 2 1 ) 1( 3 1 3 )( tt t tL 2 22 2 ) 1( 2 2 1 )( t tt t t tL 1t 4 3 ) 11 ( 3 ) 1 ( 2 1 L 2 2 2 12 13 (1) (1 1)4 L 32 1 2 2 1 )1 ( 6 ) 1( 3 )()( ttdt d tL dt d tL 322 2 2 2 2 2 )1 ( 2 ) 1( 1 1 ) 1( 2 )()( ttdt d t tt dt d tL dt d tL 第二节第二节 求导的方法求导的方法 在 处，每个模型利润增

27、长率的变化率是 对于第一个模型来说，在 处利润增长 率是正的，但是增长率的变化率却是负的，即 该模型的利润增长率在减速；对第二个模型来 说，不但利润增长率是正的，而且利润增长率 的变化率也是正的，即利润的增长率在加速。 所以随着时间的推移，第二个模型要优于 第一个模型，考虑到建设周期至少要三年，所 以该公司应选择第二个模型。 1t 4 3 ) 11 ( 6 ) 1 ( 3 1 L 4 1 ) 11 ( 2 ) 1 ( 3 2 L 1t 第三节第三节 导数的应用导数的应用 一一、洛必达法则求极限洛必达法则求极限 0 0 型或型 )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf ax

28、ax (1)洛必达法则只适用于求 未定式极限，因 此每次使用法则时须检查所求极限是否符合条件； (2)若 不存在，或是 ，并不表明 不存在， 只表明洛必达法则失效。 0 0 型或型 ( ) lim ( ) xa x f x g x ( ) lim ( ) xa x f x g x 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 求极限 解：这是 型， 8 42 lim 3 3 2 x xx x 6 5 12 10 3 23 lim 8 42 lim 2 2 2 3 3 2 x x x xx xx 0 0 例例 求极限 解： 2 ln lim x x x 0 1 1 lim2 ln lim2 1 1

29、2ln lim x x x x x xxx 原式 第三节第三节 导数的应用导数的应用 二、函数单调性的判定二、函数单调性的判定 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理 如果函数 满足条件：（1）在闭 区间 上连续；（2）在开区间 内可 导；则在开区间 内至少存在一点 ，使 得 或 ( )yf x ,ba( , )a b ( , )a b ab afbf f )()( )( )()()(abfafbf 第三节第三节 导数的应用导数的应用 推论推论3.1 设函数 在 内可导，且 ， 则 在该区间内是一个常数函数， 。 ( )f x ( , )a b 0)( x f ( )f xC

30、xf)( 推论推论3.2 设函数 与 在 内可导， 且 ，则 与 仅相差一个常数，即 。 ( )f x ( , )a b ( )( )fxg x( )f x ( )g x ( )g x ( )( )Cf xg x 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 证明当 时， 证明：设 ，则函数在区间 上满 足拉格朗日中值定理得条件，有 因为 ，所以 ，又 因为 ，于是 xx x x )1ln( 1 0 x )1ln()(xxf, 0 x ( )(0)( )(0),0f xffxx 1 (0)0,( ) 1 ffx x 1 )1ln( x x x0 xx x x )1ln( 1 第三节第三节 导数的应

31、用导数的应用 函数的单调性函数的单调性 如果函数 在闭区间 上连续， 在开区间 内可导。(1)如果在 内，有 ，则函数 在 上单调增加； (2)如果在 内，有 ，则函数 在 上单调减少。 ( )yf x,ba ( , )a b ( , )a b ( )yf x,ba 0)( x f ( , )a b ( )0fx( )yf x ,ba 例例 判断函数 在 上的 单调性。 解：在 内， 函数 在 上单调增加。 xxxfcos24)(2 , 0 (0,2 )0sin24)(xxf xxxfcos24)(2 , 0 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 求函数 的单调区间。 解：函数的定义域为R

32、， 令 ，得 。 231292)( 23 xxxxf 12186)( 2 xxxf ( )0fx 1,2xx 所以，函数 在 上单调 增加，在 上单调减少。 ( )f x (,1,(2,) 1,2 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 证明：当 时， 证明：设 ，由于当 时， 所以， 在 上单调增加，于是 当 时，有 即此时有 。 1xxee x ( ) x f xee x 1x ( )0, x fxee ( )f x , 1 1x , 0) 1 ()( fxf xee x 第三节第三节 导数的应用导数的应用 三、函数的极值和最值三、函数的极值和最值 函数的极值函数的极值 定义定义 设函数

33、 在点 的邻域 内有定义， 若对于其中所有 有 ，则称 为函数 的极大值极大值，点 称为函数 的极极 大值点大值点。 )(xf 0 x),( 0 xU )( 0 xxx)()( 0 xfxf 0 ()f x )(xf0 x )(xf 若对于其中所有 有 ，则称 为函数 的极小值极小值，点 称为函数 的极小值点极小值点。极大值点与极小值点统称为极极 值点值点。 )( 0 xxx 0 ()( )f xf x 0 ()f x )(xf 0 x)(xf 第三节第三节 导数的应用导数的应用 极值是一个局部性概念，是一个邻域内的最大值与最 小值，而不是对整个区间而言。 请思考： 第三节第三节 导数的应用导

34、数的应用 极值的必要条件极值的必要条件 设函数 在点 的邻域 内有定义， 在点 处可导且取得极值， 则 。这样的点 称为驻点驻点。 )(xf 0 x ),( 0 xU)(xf 0 x ( )0fx 0 x 极值的极值的第一充分条件第一充分条件 设连续函数在点 的去 心邻域 内具有导数。 0 x 0 (, ) o U x (1)当 时，有 而当 时，有 ；则 在点 处取得极大值； ; 0)( x f 0 xx 0 xx( )0fx )(xf 0 x (2)当 时，有 而当 时，有 ；则 在点 处取得极小值； (3)当点 的两侧导数同号，则函数在点 处不取得极值。 ( )0;fx 0 xx 0 x

35、x( )0fx )(xf 0 x 0 x 0 x 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 求函数 的极值。 解：定义域 3 2 2 3 )(xxxf 1)( 3 1 xxf 列表如下：不存在，时，当，得令 )( 01,0)( xfxxxf (,) 所以，极大值为 ，极小值为 。(0)0f 1 (1) 2 f 第三节第三节 导数的应用导数的应用 求函数极值步骤如下求函数极值步骤如下： （1）求函数的定义域及导数； （2）求出函数的驻点及导数不存在的点， 把定义区间重新划分成若干个子区间； （3）考察每个子区间内导数的符号，利用 极值的第一充分条件判定哪些为极值点； （4）求出函数的极值。 第三

36、节第三节 导数的应用导数的应用 极值的极值的第二充分条件第二充分条件 设函数在点 处具有二 阶导数，且 则 (1)当 时， 在点 处取得极大值 ； (2)当 时， 在点 处取得极小值 。 0 x ; 0)(, 0)( xfxf ( )f x 0 x 0 ()f x 0 ()0fx 0 ()0fx ( )f x 0 x 0 ()f x 例例 求 的极值。 解：定义域 ， 由 ，得驻点 。 ，又 ，由第二充分条件， 得极大值为 ；同理，由 知 极小值为 。 3 )( 3 xxxf (,) 33)( 2 xxf ( )0fx1,1xx xxf6)( 06-1( ）f ( 1)2f 06(1 ）f (

37、1)2f 第三节第三节 导数的应用导数的应用 函数的函数的最最值值 函数的最大值与最小值统称为最值最值。 求函数在闭区间 上最值的步骤：,ba (1)求出 在 上所有驻点和导数不存在的点； (2) 求出驻点、导数不存在的点及端点所对应的函数 值； (3) 对上述函数值进行比较，其最大者即为最大值， 最小者即为最小值。 ( )f x ,ba 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 求 在 上的最大值和最 小值。 解： 由 可知， 的驻点为 ，不可导 点为 。 又 比较知：最大值为0，最小值为-2。 32 ) 1()(xxxf 2 1 , 1 3 52 ( ) 3 x fx x ( )f x 2

38、 5 x 0 x ,3150. 0) 2 1 (,3257. 0) 5 2 (, 0)0(, 2) 1(ffff 第三节第三节 导数的应用导数的应用 在实际问题中，函数的驻点往往只有一 个，而且从实际问题本身又可判断，函数 在一开区间内必定有最大值或最小值，则 该驻点就是所求的最值点。 例例 用一块宽为 的长方形铁皮，将宽的两 个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其 横截面为矩形，问高 为何值时水槽流量最 大? x 6m 第三节第三节 导数的应用导数的应用 解解 如图，设两边各折起 ，则横截面积为 令 ，得唯一驻点 铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都 会变小，故该实际问题存在最大面积，所 以，

39、当 时，水槽的流量最大。 xm ( )(62 ),(0,3)s xxx x ,46)(xxs( )0s x 1.5x 1.5xm 第三节第三节 导数的应用导数的应用 【案例案例3.5 房屋梁的最优设计房屋梁的最优设计】在建造房屋 时，经常要考虑房屋梁的设计问题。横截面 为矩形的梁，其强度与矩形高的平方和宽的 乘积成正比，用直径为D的圆木作矩形梁， 问高和宽各为多少时梁的强度最大？ 第三节第三节 导数的应用导数的应用 解：如图所示，设矩形梁的宽为 ，高为 ， 则由题意知强度为 ，又 ，于 是有： 令 ，得唯一驻点 由题设知,当宽为 ，高 为 时，梁的强度最大。 y D x xy 2 Fkxy 2

40、22 yDx 22 (),(0,D)Fkx Dxx ),3()( 22 xDkxF0)( x F . 3 3 Dx 3 3 D 6 3 D 第三节第三节 导数的应用导数的应用 四、曲线的凹凸性和拐点四、曲线的凹凸性和拐点 定义定义 设函数 在区间 内可导，若曲 线 在 内每一点的切线都位于该曲 线的下（上）方，则称曲线 在区间 内是凹（凸）的。 )(xfy ),(ba )(xfy ),(ba )(xfy ),(ba 如图所示，曲线段 是凸的，而曲线段 是凹的。 ACB ADB 第三节第三节 导数的应用导数的应用 曲线的凹凸性可以用二阶导数的符号来判断： 设 在区间 内具有二阶导数， (1)若在

41、 内， ，则曲线 在区间 内是凹的； (2)若在 内， ，则曲线 在区间 内是凸的。 上面的区间改为无穷区间，结论也成立。 曲线凹凸部分的分界点，称为曲线的拐点拐点。 )(xfy I ),(ba ),(ba0 )( x f)(xfy ),(ba ),(ba( )0fx )(xfy ),(ba 第三节第三节 导数的应用导数的应用 求曲线凹凸区间及拐点的步骤：求曲线凹凸区间及拐点的步骤： (1) 求出 的定义域； (2) 求出 和 不存在的点； (3) 列表考察上述各点相邻两侧 符号， 若异号，则与该点对应的曲线上的点即是 拐点，反之则不是。与此同时还可得出曲 线的凹凸区间。 )(xf ( )0f

42、x ( )fx ( )fx 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解：函数的定义域为 令 ，得 ，另有 不存在点 。 3 5 3 8 xxy ),( 3 2 3 5 3 5 3 8 xxy) 14( 9 10 9 10 9 40 3 1 3 1 3 2 xxxxy 0y 1 4 x y0 x 第三节第三节 导数的应用导数的应用 五、曲率及其计算五、曲率及其计算 y O x xx+x + y=f (x) 定义定义 称 为曲线 在点 处的曲率曲率。 例如：对于圆弧曲线， （ 为圆 的半径） ，说明 圆弧是均匀弯曲 的曲线，且半径 愈小，圆弧弯曲 得愈厉害。 dS d

43、 S k s 0 lim )(xfy )(,(xfx 1 SRR R 第三节第三节 导数的应用导数的应用 设 具有二阶导数，曲线 在点 的曲率计算公式曲率计算公式为： 曲率的倒数称曲率半径曲率半径。 例例 求曲线 在 处的曲率和曲率半径。 解： 得 ， )(xfy )(xfy )(,(xfx 3 2 2 (1 () ) yd k ds y xy ) 2 1 , 4 1 ( , 4 1 , 2 1 2 3 2 1 xyxy 2 4 1 , 1 4 1 yy 2 2 )(1 2 3 2 y y k2 1 k 第三节第三节 导数的应用导数的应用 例例 设某工件内表面的截线为抛物线 ， 现在要用砂轮削

44、其内表面，问用直径多大的 砂轮才比较合适？ 解：在磨削弧形工件时，为了不使砂轮与工件接触 处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大 于弧形工件上各点处曲率半径中的最小值，由于抛 物线在其顶点处的曲率半径最小，因此，只要求出 抛物线 在其顶点 处的曲率半径即可。 2 4 . 0 xy 2 4 . 0 xy )0 , 0(O , 8 . 0,8 . 0 yxy . 8 . 0, 0 00 xx yy 抛物线顶点处的曲率半径为 ， 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径 不得超过2.5单位长。 25. 1 1 K 第四节第四节 微分的应用微分的应用 一、微分的概念一、微分的概念 定义定

45、义 设函数 在点 处可导，且导数不 等于零，则称 为函数 在点在点 处处 的微分的微分，记为 ，即 。 )(xfy 0 x 0 ()fxx)(xfy 0 x dy 0 ()dyfxx 根据定义的条件，有 ，又由无穷小与函 数极限关系，得 ，于是 由此可见，对于可导函数来说，函数的增量近似等 于函数的微分，两者仅相差 。 0 0 lim() x y fx x 0 (), y fx x 是无穷小 0 ()yfxxx ydyx 0 ()xydyfx x 第四节第四节 微分的应用微分的应用 特别地，若 ，则 ，即 有 ，这就是说自变量的微分等于自自变量的微分等于自 变量的增量变量的增量。于是，微分可写为： yx ( )dydxxxx