-优秀课件--《原子物理与量子力学》-第九章习题解答

1、HUSTQUANTUM PHYSICS1 3.5 转子的运动（转子的运动（P101） ILH z 2 2 已知已知 2 e )( im m z m L 本本征征态态为为 本本征征值值为为 （1） )( 2 22 222 mmz mz m I m L I m I L H 体系体系 为为 , 2, 1, 0, 2 e )( 2 i 22 m I m E m m m 波波函函数数 能能级级 HUSTQUANTUM PHYSICS2 直接求解直接求解 2 22 d d 2 i I HLz )( d d 2 2 22 E I H 为为 )cos(sincos)( 021 ACC )2()0( I n E

2、n 2 22 2/, 0 0 一般取 1 1d)(cosd 2 0 0 22 2 AA 代入代入 定态能级和波函数为定态能级和波函数为 ,2, 1,sin1 ,2 , 1 ,0,cos1 2 2 1 22 nn nn InE n n n IE2 , 0 d d 2 2 2 HUSTQUANTUM PHYSICS3 I L H 2 2 ),() 1(),( 22 lmlm YllYL ),( 2 )1( 2 ),( ),( 22 lm lm lm Y I ll I YL YH , 2, 1, 0 , 2 , 1 , 0 , e)(cos),( 2 )1( i 2 m l PNY I ll E m

3、m llmlm l （2） 定态能级和波函数为定态能级和波函数为 HUSTQUANTUM PHYSICS4 2 2 2 2 / / * / / * d)()i)(d)()( L L L L x xx x xxxpx xxx x xx L L L L d)()(i| )()(i / / */ / * 2 2 2 2 0 2 2 / / * |i L L xxx x xx L L L L d)()(i| )()(i / / * / / * 2 2 2 2 xxpxxx L L x L L d)()(| )()(i / / */ / * 2 2 2 2 )/( )/( )/( )/( * * 2 2

4、 2 2 L L L L HUSTQUANTUM PHYSICS5 )( )/( )/( )/( )/( * * 常数C L L L L 2 2 2 2 )2/()2/(LL 证毕证毕 HUSTQUANTUM PHYSICS6 3.7 一维粒子动量的取值分布（一维粒子动量的取值分布（P101） 求归一化常数求归一化常数A 2/3 0 3 2 222 2 2 4 ded)( A A xxAxx x pxpCx p d)()()( 2 0 )/(i* )/(i 1 2 de 2 d)()()( p A xx A xxxpC xp p 令令 )/arctan( p （1） )(2 e )( 222

5、2i p A pC 的的几几率率为为 pppd p p ppCppwd )( 2 d)(d)( 2222 3 2 HUSTQUANTUM PHYSICS7 （2）动量平均值）动量平均值 或者或者 0d d )d( eid 0 * x x Axe Axxpp x x 0d )( 2 d)( 2222 3 p p ppppwp 3.8 无限深势阱中粒子能量的取值分布（无限深势阱中粒子能量的取值分布（P101） 其其它它,0 0),( )( axxaAx x 归一化归一化 1d)( 0 2 a xx 5 30 a A HUSTQUANTUM PHYSICS8 n nn Cx )( 态的展开态的展开

6、a xn a n sin 2 无限深势阱中粒无限深势阱中粒 子的本征态为子的本征态为 )(d)()/sin(/d)( *n a nn n xxaAxaxnaxxC11 154 2 33 0 nn n nn C)1(1 480 )1(1 240 66 2 66 2 （2） 2 2 0 2 222 2* 5 d d )(d ) 2 )(d a x x xax xaxAxHE a （1）粒子能量取）粒子能量取的几率为：的几率为： HUSTQUANTUM PHYSICS9 n nn Cx )( 对称势阱态的展开对称势阱态的展开 a axn a n )2/( sin 2 粒 子 的粒 子 的 本 征 态

7、本 征 态 为为 33 22 2/ 2/ * )1(3)1(1 8 2 15 d)()/ )2/(sin(/2d)( n n xxaAxaaxnaxxC nn a a nn 奇数奇数， 偶数偶数 n nn n n 15158 , 152 33 HUSTQUANTUM PHYSICS10 3.12 测不准关系（测不准关系（P102） 归一化归一化 （1） 2 1 1d) 2 exp( 2 1 d 2 2 2 * x x x 可得可得 2 0 2 i exp)(xxpx 000 * ded)/i (id 2 pxpxxpxpp x （2） xxxpxpp xx dede)(d 22 2222 0

8、22*2 2 0 2 2 1 p （3） 0ded 2 * xxxxx x （4） 2/1ded 2 22*2 xxxxx x 2 1 de 2 1 e 2 1 de 222 2 xxxx xxx HUSTQUANTUM PHYSICS11 测不准关系测不准关系 （5） 2/1)( 222 xxx 2 2 1 222 )( ppp 2 4 1 22 )()( px HUSTQUANTUM PHYSICS12 ?)(,.exp3 ? , , .2 )?(,.1 0 22 2 xfpx pprrpr Zmpx x i m x xixpxpxxpx xxx 2 , , , 2 二、对易关系二、对易关

9、系 1、当当m=1时有：时有： 当当m2时有：时有： xpxpxxpx m x m x m x , , , 2 HUSTQUANTUM PHYSICS13 xpxpxxpx m x m x m x , , , 2 1 i, k x k x pkpx xpmipmxi m x m x 11 xppxmi m x m x 11 111 2 m x m x m x pxxppxmi 11 ,2 m x m x pxpxmi 221 )1(2 m x m x pmmpmxi HUSTQUANTUM PHYSICS14 n m m m mnm x n x xx xpx )i()i(, )()i()i()

10、(,xx xx xxpx n m m m mnm x n ),?(, Zmnpx m x n 例： )()i()()i(xx x x x x n m m m mn m k kmkk m m gfCfg x 0 )()( 由公式由公式 HUSTQUANTUM PHYSICS15 ,Min )( )()i( nm k n k kmk m m x x xC 1 ,Min )!( ! )i(, nm k km x kn k mkm x n px kn Cn px 1 ,Min )( )!( ! )()i( nm k knkmk m m x kn n xC 1 )( )!( ! )i( ,Min xpx

11、 kn Cn nm k km x kn k mk 1 HUSTQUANTUM PHYSICS16 2、 , , 22222222 zyx pppzyxpr xpxpxxpx xxx , , 2222 , , 222222 zyx pzpypx xppx xx i 2i 2 xppxpxpppxpxpx xxxxxxxx ),(), ( 2 2i 4 x p x 222 6i 4 ) ( , prpr 2*2 6) (i 4 , prppr HUSTQUANTUM PHYSICS17 3、 )()(,exp )()(,exp 0 0 xxfx xxfpx x x i )()(, ! 0 0 xx

12、f xk x k k k )()()()( 000 xxxfxxxxf 00 00 )( ! )( )()( ! kk k kk k kk x x k x xf x xxf k x )()()( 00 xxxfxxf x i x i pxxfxxfxfpxexp)()()(,exp 000 x0很小时很小时: x i x i pxxfpxexp)( 00 HUSTQUANTUM PHYSICS18 三、角动量特性三、角动量特性 （3）在）在中，计算中，计算 、 的的及及。 在在 的的中，求：中，求： ？（测测不不准准关关系系 22 )2( yx LL 22 ) 1( yx LL 、 解：解：

13、2 2 2 2 2 2 ) ) yyy xxx LLL LLL （ （ 已知已知 0 0 y x L L z L y L x L 2 L HUSTQUANTUM PHYSICS19 d 2 * 2 lmxlmx YLYL 由对易关系：由对易关系： i yzzy zyx LLLL LLL ， 等式两边右乘等式两边右乘 xyzxzyx LLLLLLL i 2 xyzyzxy LLLLLLL ) i （ xyzyzxy LLLLLLL i 2 d d id d i * 2 * 2 * lmxyzlm lmylmlmzxylmlmxlm YLLLY YLYYLLLYYLY （1）平均值）平均值 x L

14、 HUSTQUANTUM PHYSICS20 d ) ( id i * 2 * 2 lmxylmzylmxylmx YLLYLLYLLYmL d id i * 2 * 2 lmxylmylmxylmx YLLYmLYLLYmL 2222 ii yxyx LLLL 2 2 22222 2 zyxzyx LLLLLLLL d) (d) ( 2 2* 22 * lmzlmlmyxlm YLLYYLLY d)1( *22222 lmlmyx YYmllLL 2222 )1( 2 1 mllLL yx 22 yx LL 、平均值平均值 HUSTQUANTUM PHYSICS21 42222 )1( 4 1 )mllLL yx （ 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) yyyy xxxx LLLL LLLL （ （ （2）测不准关系）测不准关系 （3） 、的取值分布的取值分布 222 2 zy