2008级高数下试题及答案

1、南昌大学20082009学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)1.已知向量 a = 1,-1,4 ,b = 3,4,0 ，则以 a,b为边的平行四边形的面积等于(n 兀 1 )2.曲面 z = sinxcosy在点一，一，一|处,4 4 2丿的切平面方程是2 23. 交换积分次序.dx. f x,y dy二 .0 x14. 对于级数瓦 飞 (a 0),当a满足条件时收敛.n a15. 函数y展开成x的幕级数为2- x二、 单项选择题(每小题3分,共15分)1.平面x - 2z二0的位置是()(A)通过y轴(B)通过x轴(C)垂直于y轴(D)平行于xoz平面2. 函数z二f x

2、,y在点x0, y0处具有偏导数fx x0,y0 ,fy x0,y0 ,是函数在该点可微分的( )(A )充要条件(B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件(D )既非充分又非必要条件3. 设z 二 ex cosy xsin y，则 dxw =()y=0(A) e(B) e(dx dy)(C)(dx dy)(d) ex(dx dy)oO4.若级数an x -1 n在x = T处收敛，nW5（A）敛散性不确定（C）条件收敛（B）发散（D）绝对收敛5.微分方程y - xy =X的通解是（）1 2Xe2-1-lx2Ce 2（C） y =、（本题满分8分）1 X(D) y = Ce2x - 4 设平

3、面通过点 3,1, - 2，而且通过直线 一5求该平面方程.四、（本题满分8分）设z = f xy,x y，其中f u,v具有二阶连续偏导数,试求一和ex：2z五、（本题满分8分）计算三重积分y ! zdxdydz,其中X x,y,z）O兰x兰1, 1兰y兰1,1兰z兰2 .六、（本题满分8分）计算对弧长的曲线积分L e 二、单项选择题（每小题3分,共15分）1.平面x - 2z二0的位置是 （A ） y ds, 其中l是圆周x2 y2二R2在第一象限的部分.七、（本题满分9分）计算曲面积分口 xdydzzdzdx 3dxdy，其中 是柱面九、（本题满分9分）求微分方程y - 4y=ex 的通

4、解.十、（本题满分11分）设L是上半平面 y0内的有向分段光滑曲线,其起点为1,2，终点为2,3 ，7xy2 Jdx+y-y 丿 i1.证明曲线积分I与路径L无关;2 .求I的值.南昌大学20082009学年第二学期期末考试试卷及答案 一、 填空题（每空3分，共15分）4i- -1. 已知向量 a = :1,-1,4 ,b = : 3,4,0 ，则以 a,b为边的平行四边形的面积等于、449 .厂兀Tt 1、2. 曲面z = sinxcosy在点一，一，一 处i4 4 2丿的切平面方程是x - y - 2z 1 = 0 .2 2 2 y3.交换积分次序 0 dx x f x, y dy 二 d

5、y f x, y dx00 14.对于级数送 （a0）,当a满足条件a 1 时收敛.n a5.函数y展开成x的幕级数0工n =0nx2“ 1（A）通过y轴（B）通过x轴（C）垂直于y轴（D）平行于xoz平面72. 函数z = f x,y在点x0, y0处具有偏导数x0, y0, fy xQ,y0,是函数在该点可微分的（C ）（A ）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件3. 设z = ex cosy xsiny，则 dfxm = （ B ）y=o（A）e（ B）e（dx dy）1-x（c）e （dx dy）（d） e （dx dy）oO4. 若级数送a

6、n（x-1）n在x=-1处收敛，n =1则此级数在x = 2处（D ）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5.微分方程y - xy = x的通解是（D）（A）1 2一x（C） y 二 Ce 2三、（本题满分8分）1 2 x（B）y = e 2-11 2x（d）y 二 Ce2-1设平面通过点 3,1, - 2，而且通过直线x 4 y 3 z，求该平面万程.521解：由于平面通过点A 3,1, - 2及直线上的点B 4,-3,0 ，T因而向量AB二1,-4,2平行于该平面该平面的法向量为：n = (5,2,1)(1,-4,2) = (8, - 9,-22)则平面方程为:8(x

7、- 4) - 9(y3) - 22(z - 0) = 0.或:8(x- 3)- 9(y-1)- 22(z 2) = 0.8x - 9y - 22z - 59 = 0.四、(本题满分8分)设z= f xy x )y其中f ( q V具有二阶连续偏导数, cz2z试求 和 一.xy-:zf fx2zgy f?=x y y 1五、即:f-X y f f21Xf2 2二 xyfnx y J?ff22（本题满分8分）计算三重积分y ! zdxdydzQ其中 X x, y,z)O 兰 x1,1 兰 y 兰 1,1112111 zdxdydz= dx dy zdz 0-11Q六、(本题满分8分)解:i- |

8、-z =12计算对弧长的曲线积分L e x y ds, 其中l是圆周x2 y2二R2在第一象限的部分.x2 y2ds=解法一：LeR R RRxedx = Re arcsin0 R2 x2R兀 R Re29122 2解法二：Le x y ds =二 eRds 二 eR L （ L 的弧长）ReRl2解法三：令x = Rcos , y = Rsi n , Q22 2Le x y ds二JI二 2eRRdReR0 2七、（本题满分9分）计算曲面积分卩xdydz zdzd*dXdKyx是柱面ix2 y2 = 1与平面z= 0和z= 1所围成的边界曲面外侧.解：P 二 x ,Q 二 z, R = 3,

9、由高斯公式:卩 xdydzizdzd$dxdy心p g 曲dv 111 dv二Q Vxeycz）c八、（本题满分9分）QO求幕级数7 nxn 1的收敛域及和函数.解：收敛半径:R = limn：anan 1易判断当x= -1时，原级数发散于是收敛域为-1,115QOn 1/ ooynr x 、s( x)=送 nx =z xn =1I n =1丿i1 - X丿1-九、（本题满分9分）求微分方程y - 4y=ex 的通解.解：特征方程为：-4 = 0特征根为：r = 2,r = -2y 4y= 0的通解为：Y 二 C1e2x C2e 2x设原方程的一个特解为：x y = Ae ,A - 4A ex

10、 二 exA 1 -3A= 1A =31原方程的一个特解为：xye3故原方程的一个通解为：12 x2xxy 二 Y y 二 C1eC2ee十、（本题满分11分）设L是上半平面 y 0内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2，终点为2,3 ，记=I, I xy2 + dx+ x2 |dyy丿 iy2丿1.证明曲线积分I与路径L无关；2 .求I的值.证明1：因为上半平面G是单连通域，在G内：212 xP x, y = xy ，Q x, y = x y - yy有连续偏导数，且:-=2xy 2，卫=2xy 4yy :xy所以曲线积分I与路径L无关。解2：设A 1,2 , B 2,3 , C 2,2 ，由于曲线积分I与路