一道题目的十种解法.doc

1、一道题目的十种解法单国炎绍兴县实验中学邮编：312030一题多解，就是指对同一个题目，从不同的角度出发，运用不同的思维形式，采用不同 的数学方法去分析探讨，从而获得多种解题途径。“一题多解”，不仅能使我们掌握相应的几 种解题技巧，还可以帮助我们多角度多层次地深入分析问题，解决数学问题，从而提高灵活运用数学知识、数学方法解决问题的能力，使我们的思维灵活，解题思路开阔，应变能力增 强，下面就对一道习题的十种解法进行剖析，供读者欣赏。【习题】如图，已知 A、P、B、C是O O上的四点，/Q判断ABC的形状，并证明你的结论。直接写出所有与/于占J 八、(1)(2)(3)若 ap=6BQw._S_/、厶

2、APQ相似的三角形:APC玄 BPC=60 , AB 与 PC 交3，求PB的长。5解：(1) ABC是正三角形。理由如下：/ ABC玄 APC=60 , / BAC=/ BPC=60/ ACB=180 - / ABC-/ BAC=60 ABC是正三角形.(2) BPC, BQC(3)分析：求线段长度常用方法有三类：利用相似三角形的性质、利用勾股定理建立方程、利用三角函数解直角三角形;对线段比值的利用常有设未知数表达线段、应用(构造)相似三角形、【解法一】设AQ=3x则BQ=5x / ABC玄 APQ / AQP/ CQB / AP3 BQC由(1)得BC=AB=8x (如图面积比等方法。1)

3、 APPQ6PQBCBQ 8x5x又/APC/ BPC/ PAQ=/ BCP / AP3 CPB15 AQPQ 3x4BCBP，8xPB【解法二】设AQ=3x则BQ=5x由(1)得 PQ PB15410BC=AB=8x (如图1)/ APC=/ BPC / PAQ/ BCP/ AP3 CPB AP AQ 63xPC BC PC 8x又/ BCQ/ PCB / QBC=/ BPC=60 PC16 BCg PCB BC BQPC BP，【解法三】设AQ=APQ BQC8x163x则5xPBBQ=5x 由， PB(1)得10BC=AB=AC=8x (如图 1)AP AQ63x,2 CQ4xBC CQ

4、8xCQ又PBQ ACQ PB QBPB5x2 PB10AC QC8x4x解法点评：众所周知，数学综合题的几个小题之间往往有联系性或相关性，这三种解法顺 应了第（2 ）题找相似三角形的影响，利用两次相似，中间过程常常需要借助某条线段的表 示（或求值）来沟通两对相似三角形，从而求解。另外，从这三种解法中我们还看到了未知 数“设而不求”的解题技巧。【解法四】作AML PC于点M, BN PC于点N,（如图2）/ ABC玄 APC / AQPM CQB/ AP3 BQCAMAQ 3-（相似三角形对应边上的高之比等于相似比）BNBQ 5又/ APQM BPC / AMP=/ BNP=90/ APMh

5、BPN AP AM 3BP BN 5， PB 10【解法五】作AML PC于点M, BNL PC于点N,（如图2）在 Rt APM与 Rt BPN中AM=APsin60 , BN=BPsin60 AP AMPB BN，又U APE BQCAMAQ3BNBQ5AP3 PB 10PB5解法点评：这两种解法不设未知数，通过作辅助线（高），运用相似三角形的性质巧妙地使用了条件AQ 3,从而求解。从这两种解法中我们可看到运用比值的技巧：构造相似三角BQ 5形进行比值转移。【解法六】作QEL PA于点E, QF丄PB于点F,（如图3）/ APC玄 BPC=60 , QE QFS/APQS/BPQ1?PA?

6、QF21 ?PB?QE2PAPB又S/APQS/bpqAQBQ（同高的三角形,APPBAQBQ6PB面积比等于底之比）PB 10解法点评：此解法运用面积方法建立比例式求解，过程比较简洁。从面积角度考虑问题的方 法常有：同（等）高面积比等于底之比；同（等）底面积比等于高之比；相似三角形面积之 等于相似比的平方。【解法七】（如图1 ）/ APCN BPC=60 PC是/ APB的角平分线由角平分线性质定理得AP AQPB BQ6 3PB 5 PB 10解法点评：此解法相当灵活，简练，运用角平分线的性质定理解决问题不失为一种好方法。此解法对知识的理解、 运用能力比较高,般学生很难想到,学有余力的优秀

7、学生能探索到,撑握到。其实，角平分线性质定理借用面积法思想能很快得证。【解法八】过点B作BD/ PA交PC于点D,（如图4）/ BDP玄 APC=60/ APC玄 BPC=60/ BDP玄 BPC=60 BP=BD又 BD/ PA/ APO BDQ AP AQ 63BD BQ，DB 5 DB 10 PB 10【解法九】在PC边上截取PD使PD=PB （如图4）/ BDP=/ BPC=6C，/ APC2 BPC=60 BPD是正三角形，BD/ PC（以下步骤同解法八）解法点评：这两种解法采用线段等量代换，间接求解的方法。通过添平行线或截取线段构造AQ 3特殊三角形（等腰或等边三角形），得BP=B

8、D，根据条件，运用相似求出BD而BQ 5得解。此解法展现了间接求解的魅力。【解法十】过点Q作 QDL BC于点D,（如图5） 设 AQ=3x 贝U BQ=5x 由（1）得 AC=BC=AB=8x在 Rt BQD中，/ QBD2 APC=6C BD=BQ cos60 =2.5xQD=BQX sin60 = x2DC=BC-DB=5.5x QC DQ2 CD2 7x又APQ BQCAQ AP 空 _6_QC BC 7x 8x7- x -4 AC=BC=8x=14PB QBAC QC小 35BQ ,QC435 PB414494又PBQ ACQ494 PB 10解法点评：此解法通过作高线QD，综合运用解直角三角形，相似三角形性质，计算或表示解题过程中需要的一些线段，数据详实，计算量较大。在此基础上，我们还可进一步发现很多比较有价值的结论：如 BC3 PCB的相似比为 CQ BC=7: 8等。由上可见， 一题多解不仅让我们获得了更多的知识， 而且开阔了视野， 打开了解题思路， 学到举一反三，融汇贯通的方法，一题多解，虽解一题，但实际解了多题。因此，要想提高 解