与圆的切线有关的计算与证明.doc

1、与圆的切线有关的计算与证明（1）类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图 Z121， O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P， C 为切点，若 P 30， O 的半径为 1，则 PB 的长为 _1_图 Z121【解析】如答图，连结 OC.PC 为 O 的切线， PCO90，经典母题答图在 RtOCP 中， OC1， P 30，OP2OC2，PBOPOB211.【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； (2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直【中考变形】2017 天津 已知 AB 是O 的直径， AT 是 O 的切线， ABT 50，

2、BT 交O 于点 C，E 是 AB 上一点，延长 CE 交O 于点 D.(1)如图 Z122，求 T 和 CDB 的大小；(2)如图，当 BEBC 时，求 CDO 的大小图 Z122解： (1)如答图 ，连结 AC，AT 是O 的切线， AB 是O 的直径，ATAB，即 TAB90， ABT50， T90 ABT 40，由 AB 是O 的直径，得 ACB90， CAB90 ABC40， CDBCAB40；中考变形答图中考变形答图(2)如答图 ，连结 AD，在 BCE 中， BEBC， EBC50， BCE BEC 65， BAD BCD65，OAOD， ODA OAD 65， ADC ABC

3、50， CDO ODA ADC65 50 15 .【中考预测】2017 宿迁 如图 Z123，AB 与 O 相切于点 B，BC 为 O 的弦， OCOA，OA 与 BC 相交于点 P.(1)求证： APAB；(2)若 OB4，AB3，求线段 BP 的长图 Z12 3中考预测答图解： (1)证明： OC OB， OCBOBC，AB 是 O 的切线， OB AB， OBA90， ABP OBC90，OCAO， AOC90， OCB CPO 90， APBCPO， APB ABP， AP AB；(2)如答图，作 OH BC 于 H.在 Rt OAB 中， OB 4， AB3，22OA3 4 5，AP

4、AB3，在 RtPOC 中， PC OC2OP22 5，112PCOH2OCOP，OP OC5，OHPC 45CH OC2 OH28 5 5，OH BC， CHBH， BC2CH1655，16565BPBCPC 52 55 .类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图 Z124，A 是 O 外一点， AO 的延长线交 O 于点 C，点 B 在圆上，且 ABBC， A 30，求证：直线 AB 是 O 的切线图 Z124证明：如答图，连结 OB，OBOC， ABBC， A30， OBC CA30，经典母题答图 AOB COBC60. ABO180 (AOB A) 180 (60 3

5、0)90，ABOB，又 OB 为O 半径， AB 是O 的切线【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法 “作半径，证垂直 ”或者 “作垂直，证半径 ”【中考变形】12016 黄石 如图 Z125，O 的直径为 AB，点 C 在圆周上 (异于 A，B)，ADCD.(1)若 BC3，AB5，求 AC 的值；(2)若 AC 是 DAB 的平分线，求证：直线CD是 O 的切线图 Z125中考变形1 答图解： (1)AB 是O 直径， C 在O 上， ACB90，又 BC3，AB5，由勾股定理，得AC4；(2)证明：如答图，连结OC，AC 是 DAB 的平分线， DAC BAC，又 AD DC， ADC

6、ACB90， ADC ACB， DCA CBA，又 OA OC， OAC OCA， OAC OBC 90， OCA ACD OCD90，直线 CD 是 O 的切线22017 南充 如图 Z126，在 Rt ACB 中，ACB90，以 AC 为直径作 O交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连结 DE 并延长交 AC 的延长线点 F.(1)求证： DE 是 O 的切线；(2)若 CF 2，DF 4，求 O 直径的长图 Z126中考变形 2 答图【解析】 (1)连结 OD，欲证 DE 是 O 的切线，需证 ODDE，即需证 ODE 90，而ACB90，连结 CD，根据 “ 等边对等角 ”可知

7、ODE OCE 90，从而得证；(2)在 Rt ODF 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解解： (1)证明：如答图，连结OD， CD.AC 是 O 的直径， ADC90 . BDC90.又E 为 BC 的中点，1DE2BCCE， EDC ECD.OD OC， ODC OCD. EDCODCECDOCDACB90. ODE 90， DE 是 O 的切线；(2)设O 的半径为 x.在 RtODF 中， OD2DF 2OF2，即 x242(x 2)2，解得 x3. O 的直径为 6.【中考预测】如图 Z127，AB 是 O 的直径，点 C， D 在 O 上， A2BCD，点 E在 AB 的延长线

8、上， AED ABC.(1)求证： DE 与 O 相切；(2)若 BF2，DF 10，求 O 的半径图 Z127中考预测答图解： (1)证明：如答图，连结OD.AB 是O 的直径， ACB90， A ABC90， BOD 2 BCD， A2BCD， BOD A， AED ABC， BOD AED90， ODE 90，即 ODDE， DE 与O 相切；(2)如答图，连结 BD，过点 D 作 DH BF 于点 H.DE 与 O 相切， ACD BCDODB BDE90， ACD OBD， OBDODB， BDEBCD， AED ABC， AFCDBF ， AFC DFB， ACF 与 FDB 都是

9、等腰三角形，1FHBH2BF1，HD2 2DFFH3，在 RtODH 中， OH2 DH 2OD2，即 (OD1)2 32OD2，OD5.即O 的半径是 5.与圆的切线有关的计算与证明（2）1.如图 8，CD是 0的切线，切点为 A,AB 是 0的直径 .E,F0上的点 ,(1)求证： DAE= FDE/A B.C(2) 若 EF/CD, 求证 :AEF是等腰三角形FOABDE2. 如图 7 0 的半径为 1，过点 A(2， 0) 的直线切 0 于点 B，交 y 轴于点 C.(1) 求线段 AB 的长；(2) 求以直线 AC为图象的一次函数的解析式3、在 ABC 中， AB=AC ，内切圆O

10、与边 BC、 AC 、 AB 分别切于D 、E、 F.（ 1）求证： BF=CE ；（2）若 C=30 ， CE2 3 ，求 AC.4.如图 10，在 O 中， ACB= BDC=60，AC=23cm ，（ 1）求 BAC 的度数；（ 2）求 O 的周长5 已知：如图， AB 是 O 的直径， AD 是弦， OC 垂直 AD 于 F 交 O 于 E，连结 DE 、 BE，且 C= BED （ 1）求证： AC 是 O 的切线；C（ 2）若 OA=10 ， AD =16，求 AC 的长DEFBOA6. 如图， MP 切 O于点 M，直线 PO 交 O 于点 A、 B ，弦 AC MP，(1) 求

11、证： MO BC(2 补充 )连结 CM, 当四边形 BCMO 为菱形时 ,求 P 的度数或反过来问 : 当P30M时 , 判断四边形 BCMO的形状 , 并说明理由 .PCAOB7. 如图，在 ABC 中， ABAC ，以 AB 为直径的 O交 BC 于点 M ， MN AC 于点 N （1）求证 MN 是 O 的切线；AN（2）若 BAC 120，AB2 ，求图中阴影部分的面积OBMC8 如图， ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线（ 1）求证： MN 是半圆的切线；（ 2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于 G，过D作DEAB于E，交AC于FMN ，若 MAC= ABC MCD求证： FDFGAGFEBN9. 如图，半圆的直径AB10，点 C 在半圆上， BC6 （ 1）求弦 AC 的长；（ 2）若 P 为 AB 的中点， PE AB 交 AC 于点 E，求 PE 的长CEABP10. 已知：如图， AB 为 O 的直径， ABAC， BC交O于点 D ， AC 交O于点E， BAC 45A（1）求 EBC 的度数；（2）求证： BD CD OEBCD11. 如图，在 ABC 中， ABAC ， AE 是角平分线，BM 平分ABC交