向量集体备课

1、百度文库-让每个人平等地提升自我平面向量李振麟【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。 对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。向量

2、与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。对 学生能力的考查有较高的要求。3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。【地位和作用】向量带有基础知识的特点， 是一种工具性和方法性知识。 向量有一套优秀的运算系统， 由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可 以化归为向量的运算来完成， 教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出， 就是这方面典型的例子。 这些体现了数学中化归和数形结合的思想。向量“形”、“

3、数”兼备,是数形结合的桥梁。 在运用向量知识时， 充分运用几何图形直观的特点， 而在解决几何问题 时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、 考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识 交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。/ 平面向量【高考目标定位】一、平面向量的

4、概念及其线性运算/ 1、考纲点击（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（6）了解向量线性运算的性质及其几何意义。2、热点提示（1）重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示；（2）多以选择、填空的形式呈现，有时和其他知识相结合，在知识的交汇点处命题。二、平面向量的基本定理及坐标表示1、考纲点击（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘

5、运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。2、热点提示（1） 向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、 填空题的形式出现，为中、低档题；（2）向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答 题的形式呈现，属中档题。三、平面向量的数量积及平面向量应用举例1、考纲点击(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3) 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；(5) 会用向量方法解决某些简单的平面几何问

6、题；(6) 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2、热点提示(1) 平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题的高考命题的热点，多以选 择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变；(2) 可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点。【考纲知识梳理】一、平面向量的概念及其线性运算1、向量的有关概念及表示方法(1)向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量40与任一向量平行或共线共线向量平行向量双叫做共线向量相等向量长度

7、相等且方向相同的向量 1相反向量长度相等且方向相反的向量4、40的相反向量为0(2)向量的表示万法7字母表示法，如:等几何表示法：用一条有向线段表示向量。3、向量a（a 0）与向量b共线的充要条件为存在唯注：用向量法证明三点 A B、C共线时，首先求出T TAB与 AC共线即可。:，然后证明，使 b a.，即二、平面向量的基本定理及坐标表示1、两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量 a和b，作b，则/ AOB=e叫做向量a与b的夹角。(2)范围不正确。求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为n向量夹角e的范围是 0e=(),a (cos(),s in(), b (cos( ),

8、s in(2 2a+ C +3) 6 Jka + tbA.百度文库-让每个人平等地提升自我F15a lb cos()fcos(2)si n()lsi n(2)sin cossin cos0.2a332GJIa-b)2,ka2lb33AL- -a又3t3tAL/V1173tci、b4b.V由已知：a , 3b) 1(7a 即7a2 16afit 20* 3T - a、h 由已知：a , 3b) |(7a122#5b鳥74 a dlb7 42b) 0.7a 30a b 8b 0两式相减，得2abcosb ,代入其中任一式,2160，27a2baOII-OA* OB- O(；.2AH 与 OBMC.

9、 H= DC JAH=丿DC=)C C)D= OC+OB,r * =AH=OB+OC.-fr-1r0ff=0A+AH,2 -* 1 1 1 门H=OA+OU+()C：300 * F/i=0. 02百度文库-让每个人平等地提升自我f (80 25) 0.021.1(N)年广东卷文）已知平面向量a=（X,1）(2、(X,X ),贝y 向量 a bA平行于B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于D.平行于第二、四象限的角平分线【答案】【解析】a b (0,12 2X）,由1 X0及向量的性质可知,C正确.2.( 2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3 （单位：牛顿）的作用而处于

10、平衡状态.已知F1, F2成60角，且F1 , F2的大小分别为2和4,则F3的大小为A. 6B. 22 2 2 0 0【解析】F3F1F22RF2COS(18060 ) 28，所以 F32 7，选 D.3. （2009浙江卷理）设向量a, b满足:|a1 3 |b 1 4 a b0 以 a , b , a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为答案：CC. 5F 5= I FI - I ；|co530* = 50X20X=500 j3(J,I F| sin30 = 50 x y = 25 ( N).? ； = l了I = h 1X2OXC22(JL234.CA（2

11、010全国卷1 2.a b33【答案】B(A)(B) 2a 丄b33(D)织 3b55【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但 5个以上的交点不能实现.2理数）（8） ABC中，点D在AB上，CD平方 ACB 若C2，则 CD【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理【解析】因为CD平分 ACB，由角平分线定理得ADDBCACB-，所以D为AB的三等1CD平分/ ACB 若 CB = a , CA1221 ,a + b(B) a + b3333【解析】B:本题考查了平面向量的基础知识

12、(A)(C)4b5(D) a + b55CD为角平分线，BDADBCACAB CB CA a t2 - 3 JI a2 - 3tcd1Jib1 - 3 la2 - 3-rb2 - 3 Jra2 - 3分点，且 aD 2aB-(CBCA)，所以 cD ca+a-CB-ca-a33F333故选B.5. ( 2010全国卷2文数)(10) ABC中，点D在边 AB上,=2,则 CD =的中心在原点，它的一个焦点坐6. (2010上海文数)13.在平面直角坐标系中，双曲线任取双曲线标为C、5,0) , e1(2,1)、e2 (2, 1)分别是两条渐近线的方向向量。上的点P ,若oP / be2 ( a

13、、b R ),则a、b满足的一个等式是4ab 1解析：因为巳(2,1)、e2(2,1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为又 c 5,2,b双曲线方程为OP ae1 be2 = (2a2b, a b),2(2a2b)4(a b)21，化简得4ab 17.(2010天津理数)(15)AD 1 ,则 A(AD 如图，在ABC中，AD AB,【答案】Dy2【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。AC|?cosZ DAC | AC |sin Z BACAC?aD I AC|?| ADIcosZ DAC |BCsinB .3应加强平面解析本小题考查平面向量的几何意义、线

14、性运算、数量积，考查运算求解能力。(3,5), AC满分14分(1)(方法一)由题设知(1,1)，则所以|(2,6), AB| 210,| AB(4,4).AC| 4J2.故所求的两条对角线的长分别为(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为 E,则：E为B C的中点，E ( 0, 1)又E (0, 1 )为A D的中点，所以D (1 , 4)故所求的两条对角线的长分别为BC=4、2、AD=2-、10 ;i(2)由题设知：OC=(2、 1),(32t,5 t)。由(AB tOC ) OC =0,得：(3 2t,5 t) ( 2,1) 0,11从而5t 11,所以t。52tOC

15、 , AB或者:(3,5),t 蒔115【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题, 向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。8.( 2010江苏卷)15、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系 xOy中，点A( 1, 2)、B(2,3)、C( 2, 1)。 求以线段AB AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;设实数t满足(AB tOC ) OC =0,求t的值。【考点精题精练】、选择题1 .若向量(1,1),(1, 11,2),则 c ( B )设a, b, c是任意的非零平面向量，且相互不共线，有以下结论2.-c Tab)“ a(c a) b4aL3U15

16、aI24|b|2其中正确的是(D )A .B .c.D.3 .若 a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不疋成立的疋(D )(3? 2b) (3：(c a) b不与c垂直; c丿m-b/V-Bra-a m7 -c I b)H(am a/V c.AD. (a b) c a (b c)4 .设坐标原点为0,抛物线y22x与过焦点的直线交于 A、B两点，则OA OBOCoAOB，其中、R,且1，则点C的轨迹方程为(D )A. 3x2y11 0B. (x 1)2 (y 2)25C.2xy 0D. x 2y 5044t j彳扌/6 .若|a|2sin15 *, |b|4cos15-, a与b的夹角为30

17、，则a b的值为(B )A. 34C. 3D. - 35：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A (3, 1), B (-1 , 3),若点C满足(A)(B)(C) 2 3(D)7 .已知a (3,4),a,且b的起点为(1,2),终点为(x,3x)，则b(A)(11 1、,一)15 5(B)(丄斗5 15(C)(-,-)15 5(D)r丄)15 5&已知a (1,2),(x,1)，且 a 2b 与 2a平行，则x ( D百度文库-让每个人平等地提升自我(A)1(C)9 已知|a| 2, |b| 1, a与b的夹角为60，又,3b,(D)2amb,且 c则实数m的值为(D )(A) 0(

18、B) 6 或一6(C)1或一6(D) 1 或 610若同 |b | 1, ab,且3b与向量ka4b也互相垂，则实数k的值为(B )(A) 6( B) 611 .已知两点M1 (4, 3)和M2 点的坐标为(D )(A) (0 |)(B) (6,(2,7)(C)-1),点M分有向线段(D) ( 3) M1M2的比为2，贝U M(C) ( 2, 7)(D) (0, 5)12、已知向量a与b不共线,AB = a + kb , AC = l a + b(k, l R),则 AB 与 AC 共线的条件是(D)(A) k + l = 0(B) k(C) kl + 1 = 0(D) kl二、填空题13、设向量 a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为2 5，则b= (4,-2)414、已知点 A(4,2), B( 6, 4),C(x, 2 )三点共线5,则C点分AB的比X =-4.15、设i、j为平面直角坐标系两坐标轴上的单位向量，且有:Jla4b8J7DJIS6332716、已知a, b都是非零向量，且向量a 3b与向量7a 5b垂直，向量a 4b与向量7a 2biid * “/垂直，贝U a与b的夹角的大小为60