平行四边形专题

1、创作編号丄创作肴：凤呜大王*第18章平行四边形专项训练专训1：平行四边形的性质1、(2014宇夏)在平行四边形宓9中，将月应沿对折，使点方落在歹 处，AB和G?相交于点0.求证：OA=OC.2、(2015 南通中考)如图，在口ABCD中，点E,尸分别在肋，DC上,且EDLDB , FBJBD. (1)求证：AEgCFB. (2)若 Z力二30,ZDEBTS3 ,求证：DA=DF.专训1.判定平行四边形的五种常用方法名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种,即定义和四种判定定 理，选择判定方法时，一定要结合题LI的条件，选择恰当的方法，从而简 化解题过程.1.如图，在口ABCD中，E, F分别为

2、AD, BC上的点，且BF=DE,连接AF,CE, BE, DF, AF与BE相交于H点，DF与CE相交于N点.求证：四边 形FMEN为平行四边形.2如图，已知ABD, ABCE, ZkACF都是等边三角形.求证：四边形ADEF 是平行四边形.AE=CF, DFBE求证：四边形ABCD为平行四边形.于点F,那么四边形BFDE是平行四边形吗？BC分4如图，在口ABCD中，BE平分ZABC,交AD于点E, DF平分ZADC,交BC5.如图，-ABCD中，点0是对角线AC的中点，EF过点0,与AD,别相交于点E，F, GH过点0,与AB, CD分别相交于点G, H,连接EG, FG, FH, EH.

3、 （1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图，若EF AB, GHBC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）6、（2015遂宇）如图，平行四边形ABCD中，点E, F在对角线BD上，且 BE二DF,求证：（1） AE=CF； （2）四边形AECF是平行四边形.7.如图，以“ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即 ABD、乙BCE、MCF,请回答下列问题，并说明理山（1）四边形ADEF是什么四边形；（2）当“ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）当“ABC满足什么条件时，以A, D, E, F为

4、顶点的四边形不存在8、如图，在cABCD中，E, F, G, H分别是四条边上的点，且满足BE= DF, CG = AH,连接EF, GH.求证：EF与GH互相平分专训2.构造中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关 系，二是数量上的倍分关系.因此，当题H中给出三角形两边的中点时， 可以直接连出中位线；当题口中给出一边的中点时，往往需要找另一边的 中点，作出三角形的中位线.连接两点构造三角形的中位线1、如图，四边形月砲中，E、F、G、分别是月万、CD、AC.助的中点，那 么四边形期是平行四边形，为什么？2、如图，四边形初中，E、F、M、N分别为仙、CD、BD、的

5、中点, 求证：四边形醐酣为平行四边形.3、已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连 接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH （即四边形ABCD的中点四边形）.（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ 4.如图，点B为AC上一点，分别以AB, BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P, M, N分别为AC, AD, CE的中点.（1）求证：PM=PN； (2)求ZMPN 的度数.为线段BC, AB上的动点（含端点，但点M不与点B

6、重合），点E, F分别为DH, MN 的中点，则EF长度的最大值为利用角平分线+垂直构造中位线6.如图，在ABC中，点M为BC的中点，AD为厶艇。的外角平分线，且AD丄BD,若 AB = 12, AC=18,求 DH 的长.DMB7如图，在厶他。中，已知AB = 6, AC=10, AD平分ZBAC, BD丄AD于点D,点E为BC的中点，求DE的长.A倍长法构造三角形的中位线& 如图，在ABC 中，ZABC = 90 ,BA=BC, ABEF为等腰直角三角形,ZBEF = 90 , H 为 AF 的中点，求证：ME=*CFB已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线9.已知：如图，在四边形A

7、BCD中，AD二BC, H、分别是AB、CD的中点，AD、 BC的延长线交MN于E、F求证：ZDEN=ZF.创作編号上10.如图，在四边形ABCD中，M、分别是AD、BC的中点，若AB=10, CD =8,求MN长度的取值范围.11.点,如图，在AABC 中，ZC = 90 , CA=CB, E,CE = CF, N分别为AF, BE的中点，求证：AE=m已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线12.如图，在ZiABC中，AB=AC, AD丄BC于点D,点P是AD的中点，延长BP交AC于点N,求证：AN=$C.答案专训11.证明：四边形ABCD是平行四边形，DE = BF, DE狹BF.四

8、边形BFDE为平行四边形.BEDF同理，AF/7CE. A四边形FMEN为平行四 边形.2. 证明：VAABD, ABCE, AACF都是等边三角形，BA=BD, BC = BE, ZDBA= ZEBC = 60 . A ZEBC- ZEBA= ZDBA- ZEBA,ZABC = ZDBE. ABC今ZDBE. AF=AC=DE.同理，可证 ABC旦 FEC,AD=AB = EF.四边形ADEF是平行四边形.3. 证明：.ABCD, ZBAE=ZDCF. .BEDF, A ZBEF= ZDFE. ZAEB= ZCFD.在ZAEB 和ZXCFD 中，ZBAE=ZDCF,AE=CF,A AAEBA

9、CFD, A AB = CD. 乂 TAB/ZCD,化四边ZAEB=ZCFD,ABCD是平行四形.4.解：四边形BFDE是平行四边形.理由：在口ABCD中，ZABC=Z CD A, ZA=ZC.VBE 平分ZABC, DF 平分ZADC, A ZABE= ZCBE=|zABC, ZCDF = ZADF=|zADC. AZABE=ZCBE=ZCDF=ZADF. V ZDFB= ZC+ZCDF, ZBED=ZABE+ZA, A ZDFB= ZBED. A 四边形 BFDE 是平行四边形.5.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC, OA=OC, AZ EAO=ZFCO.rZEAO=ZFCO,在

10、AOAE 与AOCF 中，*OA=OC,A AOAEAOCF, AOE = OF.IZAOE=ZCOF,同理OG=OH,四边形EGFH是平行四边形.(2)解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有-GBCH, 口ABFE, 口 EFCD, 口EGFH.专训21. (1)证明：如图，连接CD, AE.由三角形中位线定理可得PM碍CD, PN |aE. V AABD 和ZXBCE 是等边三角形，AAB=DB, BE=BC, ZABD= ZCBE = 60 , AZABE=ZDBC. AAABEADBC, AAE=DC. APM=PN.B(2)解：如图，设PH交AE于F, P?(交CD于G, AE交

11、CD于H 由(1)知厶ABEADBC, ZBAE=ZBDC. ZAHD=ZABD = 60 , AZFHG=120 .易证四边形PFHG为平行四边形，ZMPN=120 .2解：如图，延长BD, CA交于凡在ZkAND和AABD中，ZNAD=ZBAD,AD=AD, AANDAABD (ASA).ZADN=ZADB=90 ,= 15.ADN=DB, AN=ABDM=1nC = 1(AN+AC) =1(AB+AC)3.解：如图,延长BD交AC于点F, TAD平分ZBAC, ZBAD= ZCAD. VBD丄AD, ZADB= ZADF,乂.AD=AD, AAADBAADF(ASA). .AF=AB=6

12、, BD=FD.VAC=10, Z.CF=AC-AF= 10-6=4.E为BC的中点，DE是ZkBCF的中位线.DE=*CF=*X4=2.4.证明：如图，延长FE至N,使EN=EF,连接AN易得ME=AN.VEF=EN, ZBEF = 90 , BE 垂直平分 FN ABF=BNAZBNF=ZBFN.BEF为等腰直角三角形，ZBEF=90 ,AZBFN=45 ? ZBNF=45 ,AZFBN = 90 ,即 ZFBA+ZABN = 90 乂 VZFBA+ZCBF = 90 ,BF=BN,ZCBF=ZABN,BC=BA,AABCFABAN/=ANME=2aN=5.解：如图，取BD的中点匕连接PM, PNTH是AD的中点，P是BD的中点，PM是AABD的中位线，APM=AB = 5.同理可得 PN=h)= 4在ZiPMN 中，VPM-PNMNPM+PN, A1MN9.6.证明：如图，取AB的中点H,连接MH, NH,则MH=*BF, NH=|aE.CE=CF, CA=CB, AE=BF. MH=NH. I点M, H, N分别为AF,AB, BE的中点,MHBF, NHAE. ZAHM =ZABC, ZBHN= ZBAC.A ZMHN=180 -(ZAHM+ZBHN)=180 一 (ZABC+ZBAC)