三角函数与解三角形解答题-题型归类(文)8页

1、三角函数与解三角形解答题 题型归类知识联想：见角求值，见三角形想内角和；见正弦得余弦，见余弦得正弦； 见切想化弦，见弦想化切； 见和差想化积，见积想到化和差（特别记忆辅助角）； 见多角想统一角，见多次想统一次，见多函数名想统一名； 见对角对边想正弦，见三边一角想余弦；见边想化角，见角想化边（多路思维）。一、函数变形与图像性质问题1 已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)(1)求f 的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解：方法一：(1)f2cos2cos2.(2)因为f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin1，所以T，故函数f(x)

2、的最小正周期为.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.方法二：f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin1.(1)fsin1sin12.(2)因为T，所以函数f(x)的最小正周期为.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.2 已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值17解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，得si

3、ncos(cos2sin2)所以sin coscos sin(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由在第二象限内，得2k，kZ.此时，cos sin .当sin cos 0时，(cos sin )2.由是第二象限角，得cos sin 0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.32014江西卷 已知函数f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数，且f0，其中aR，(0，)(1)求a，的值；(2)若f，求sin的值解：(1)因为f(x)(a2cos2x)cos(2x)是奇函数，而y1a2cos2x为偶函数，所以

4、y2cos(2x)为奇函数又(0，)，得，所以f(x)sin 2x(a2cos2x)由f0得(a1)0，即a1.(2)由(1)得，f(x)sin 4x.因为fsin ，所以sin ，又，从而cos ，所以有sinsin coscos sin.4函数f(x)3sin的部分图像如图14所示图14(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)的最小正周期为.x0，y03.(2)因为x，所以2x.于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.5某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似

5、满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差解：(1)f(8)10cossin10cossin1010.故实验室上午8时的温度为10 .(2)因为f(t)102102sin，又0t24，所以t，所以1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .二、解三角形中正余弦定理应用1ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解：(1)在

6、ABC中，由题意知，sin A.又因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理可得，b3.(2)由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)，所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.2设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，ABC的面积为.求cos A与a的值解： 由三角形面积公式，得31sin A，故sin A.因为sin2Acos2A1，所以cos A.当cos A时，由余弦定理得a2b2c22bccos A32122138，所以a2 .当cos A时，由余弦定

7、理得a2b2c22bccos A321221312，所以a2 .3 如图14所示，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，BEC.(1)求sinCED的值；(2)求BE的长图14解：设CED.(1)在CDE中，由余弦定理，得EC2CD2DE22CDDEcosEDC，于是由题设知，7CD21CD，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理，得.于是，sin ，即sinCED.(2)由题设知，0，于是由(1)知，cos .而AEB，所以cosAEBcoscoscos sinsin cos sin .在RtEAB中，cosAEB，故BE4.4在ABC中，

8、内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由2，得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292213.联立得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.514新课标全国卷 四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积17解：(1

9、)由题设及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos C，故C60，BD.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin 602.三、三角恒等式变形（以正余弦定理为主，倍角、和差角公式为辅，结合应用）114全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan A，求B.解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C，所以tan

10、 Btan180(AC)tan(AC)1，所以B135.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的值解：(1)由题意可知c8(ab).由余弦定理得cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C可得sin Asin B2sin C，化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C.由正

11、弦定理可知ab3c.又abc8，所以ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，所以b3.3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 acb，sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值解：(1)在ABC中，由，及sin Bsin C，可得bc.又由acb，有a2c.所以cos A.(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.于是cos 2A2cos2A1，sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acossin 2Asin.4 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，且c2a，求cos B的值16解： (1)a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)由题设有b2ac，c2a，ba.由余弦定理得cos B.5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知