双曲线的简单几何性质导学案5页

1、学案：2.3.2双曲线的简单几何性质【学习目标】1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。【学习难点】渐近线方程的导出。知识回顾1、双曲线的定义： 2、双曲线的标准方程：3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？过程方法性质过程范围对称性顶点离心率一、学习探究（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性

2、质。范围 ：由双曲线的标准方程可得： 从而得x的范围： ；即双曲线在不等式 和 所表示的区域内。= 从而得y的范围为 。对称性：以代，方程不变，这说明 所以双曲线关于 对称。同理，以代，方程不变得双曲线关于 对称，以代，且以代，方程也不变，得双曲线关于 对称。顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为（ ）（ ） ；我们把（ ）（ ）也画在y轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？双曲线特有性质-渐近线： 双曲线的渐

3、近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线 ， 。 （二）想一想1、根据上述五个性质，画出椭圆 与双曲线的图象。二、学生展示1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成下表。标准方程（a0,b0）(a0,b0)图 象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c关系2）等轴双曲线定义及性质是什么？ 3）探究共渐近线的双曲线系？三学生点评：优点： 缺点四、总结延伸（一）已知双曲线方程研究几何性质例1：求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐进线方程。练习(1) ：的实轴长 虚轴长 ，顶点坐标 焦点坐标 离心率 （2）的实轴长为 虚轴长 顶点坐标

4、 焦点坐标 离心率 渐近线方程 拓展提升的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 。思考:共渐近线的双曲线方程有什么特点？（二）由双曲线方程性质求双曲线方程例2：求中心在原点，对称轴为坐标轴，过点A（-5，3），且离心率e=的双曲线的标准方程。练习：求顶点在x轴上，两顶点间距离为8，离心率e=的双曲线的标准方程。 五、巩固训练1求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。2求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。3求离心率为，经过点M（-5，-3）的双曲线标准方程。4若双曲线的渐近线方程为求双曲线的离心率5若双曲线的离心率，求k的范围6设双曲线（a0）的渐近线方程为，求a的值7双曲线与椭圆有公共焦点，它的一条渐近线方程为y=x，求双曲线方程。8设p是双曲线（a0）上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1，,F2是双曲线的左右焦点，若9、双曲线的左支上一点P（a，b）到直线y=