定积分的概念讲义6页

1、定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念 分割 如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，区间xi1，xi 的长度。 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值 求和 作和式f(i)xf(i)， 取极限 当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx.即：注：在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，

2、f(x)dx叫做被积式（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间a,b上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。(3 )定积分的性质 kf(x)dxkf(x)dx(k为常数) （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx. （定积分的线性性质）f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb) （定积分对积分区间的可加性）说明：推广： 推广: 性质解释：性质4性质112yxo【例题精讲】例1计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。即：思考：若改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在

3、上出现了负值如何解决呢？例2求曲线与x=1,y=0所围成的区域的面积解： 分割 将区间等分为n个小区间：，每个小区间的长度为 近似取代 过各点做x轴的垂线，把梯形分成n个小曲边梯形，在分别用小区间左端点的纵坐标为为高，为底作小矩形，于是图中曲线i之下矩形的面积依次为：， 求和 所有这些小矩形的面积之和为=+= = 取极限 【习题精练】1. 函数在区间上，（ ）A.的值变化很小 B.的值变化很大C. 的值不变化 D. 当n很大时，的值变化很小答案：D2. 当n很大时，函数在区间上的值，可以用下列函数值近似代替的是 （ ）A. B. C. D. 答案：C3. “以直代曲”中，函数在区间上的近似值等

4、于（ ）A. 只能是左端点的函数值 B. 只能是右端点的函数值C. 可以是该区间内任一点的函数值（）D. 以上答案均正确答案：C4. 设在上连续，将n等分，在每个小区间上任取，则是（ ）A. B. C. D. 答案：B5. 设在上连续，则在上的平均值为（ ）A. B. C. D. 答案：D6. 已知和式当n+时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（ ）AB C D答案：B7. 下列定积分为1是（ ）A B C D答案：C8. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为（ ）A0，B0，2 C1，2D0，1答案：B9. 由y=cosx及x轴围成的介于0与2之间的平面图形的

5、面积，利用定积分应表达为 答案：或。10. 计算= 。答案：。 提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。11. 利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）； （2）； （3）答案： （1）正 (2)正 (3)负。利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小， ， 。 答案： 。12. 计算下列定积分：； ； 。答案：(1)； (2) ；(3)0 ；(4)0。13. 利用定积分表示图中四个图形的面积：xOay = x2 (1)xO21y = x2 (2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)xabOy = 1(4)yy 答案：(1) ； (2) ； (3) ；(4) 【课下练习

6、】1. 设函数，则当时，定积分的符号（ ）A. 一定是正的 B. 一定是负的 C. 当时是正的，当时是负的D以上结论都不对答案：A2. 下列式子中不成立的是（ ）A. B. C. D. 答案：C3. =（ ）A0B. CD。答案：A4. 由直线，及轴所围成平面图形的面积为（ ）AB。CD。答案：C5. 和式当n+时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为 。答案： 。6. 曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为答案：7. 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+n2=）答案：8. 求由曲线与所围的图形的面积.答案：69.