4投入产出模型

1、九宀：樓/ F期f :J*4 F山-： iZi投入产出数学模型一、问题国民经济各个部门之间存在着关系，一个经济部门的生产 依赖于其它部门的产品或者半成品，如何在确定的经济环境下 确定各经济部门的投入产出水平以满足整个社会的经济需要。 U.S.A经济学家Leontief （列昂节夫）最早提出，在1936发表美国经济系统中的投入和产出的数量关系 我国于70年代开始应用该模型编制国民经济预算，1974 目的：编制国民经济预算经济结构分析等模型假设：hi :国民经济划分成为n个物质生产部门，每一个部门生产 一种产品。H2：每一个生产部门的生产意味着将其它部门的产品经过加工 或“变换”，变成一定数量的单

2、一的本部门产品。在这个过 程中消耗的产品称为“投入”，生产所得的本部门的最终产 品称为“产出”。对每个部门而言，投入产出的关系是不变 的。投入产出表消耗部门作为生产矗农业制造业服务业外部 需求总产出农造业301045115200服务业2060/70150投入产出关系:15 + 20 + 30 + 35 = 100技术投入产出表为消耗部门作为生产希、农业制造业服务业农业0.150.10.20制造业0.30.050.30服务业0.20.30.0表格中元素称为投入系数或直接消耗系数。由各部门的投入 除以该部门的总产出得到。20/200 = 0.1二、数学模型1-设某经济系统

3、的投入产出关系如下表所示。部门生产部门农业工业服务业最终需求总产出12n农业 1兀11“2Xn工业2兀21X22X2n“2兀2服务业 nh2Xnn其中：乞：部门z的总产出；必：对部门i的最终需求； 七：生产过程中部门/消耗部门i的产值;投入产出关系:兀订+乞2 +兀加+ di = Xi其对应的技术投入产出表为:其中：阳：生产一个单位产品丿需消耗的产品i的产值.)7 M =(19裁 J J =建立模型：投入产出关系:(订兀1 +如兀2 + 5如+ di = Xi，则投入产出关系可表示为：Tx+d =兀(I T)jc=d记 A = /-7,J有血(1)(*)式称为实物型开放的投入产出模型，=()称

4、为投入矩阵。模型应用：当直接消耗系数保持不变，社会最终需求确定，确定各部门 的总产出。或者社会的最终需求改变，相应的总产出应如何 改变？给定d,从方程Ax =d中解出兀。定义1.如果对任意的外部需求d,投入产出模型(1)都有 非负解X,则称此经济系统是可行的。例.某经济系统有农产品、制造业、服务业组成，其投入产出 矩阵为0.15 0.1 0.2、T = 0.3 0.05 0.3、0.20.3 0.0丿若最终需求向量d = (100,200,300卩，求总产出。(2)若农产品的社会需求产值增加为300,则总产出如何变化?模型求解：由实物型开放的投入产出模型Ax =dx = Aldr-0.85 -

5、0.1 一02、vA = /-T = -0.3 0.95 -0.3k-0.2 -0.3 1.01.345 0.250 0.344、A 1 = 0.563 1.268 0.493卫.438 0.430 1.217(1) d = (100,200,300)卩x1 = Ad = (287.96,457.76,494.91)7(2) 记/ = (300,200,300)卩，则x2 = A1/= (557.14,570.44,582.55/2.价格一价值系统匕：第丿种产品的价格;单位产量的增值5:单位产品j的增值。 Vj = PjYjijPi1=1记卩=（P1 2，几）卩川=（卩1川2 J / p、V分

6、别称为投入产出模型的价格向量和增值向量。VT = pT _pTT价格价值系统(2)vT = pTA Ax =d :.vTx = pTdnn国民经济产生的价值国民经济的收入或vixi =Pjdj定义2.如果对任意非负增值向量V,价格一价值系统（2） 都有非负解p ,则称此经济系统是有利的o3.模型为可行和有利的判别准则定义3设，= ()为阶方阵，称= maxVlt. 19n=max VI f. I，ICS台 yJ = 1为矩阵T的范数。引理1若|巩vl或|T|L 1成立，则当k-g时证明： |AB|iS|A|i|0h引理2设T = (t.)是元素皆为非负实数的方阵，若成立 |引1 1或|71 1,贝!7-卩的逆矩阵存在且元素皆非负。证明：(I-T)(I + T + T2 + - + Tk) = I-Tk+1.|巩000=/k=0:.(/-卩尸=YTk且元素非负。k=0定理1若投入产出模型的投入系数矩阵T = (r.)元素满足tjj、0，i，j = 1，2，/V”(*)X v 1，J = 1，2，则模型为可行的。证明： |巩1001=(/-巧1=工疋k=000 x = AT1d = YTk dk=0推