七数培优竞赛讲座第7讲物以类聚――话说同类项.doc

1、第七讲物以类聚话说同类项俗话说“物以类聚，人以群分”在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起称为合并同类项整式的加减实质就是去括号合并同类项整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化例题【例1】 当x 的取值范围为时，式子4x47x13x4 的值恒为一个常数，这个值是(北京市“迎春杯”

2、竞赛题)思路点拨去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“取值范围x ”的项，由此得出x 的注：数学概念是容的基础是数学推理和论证的基础科学研究表明，中，人们的心理活动经历着以下阶段：概念的形成过程(1) 辨别不同的事物；(2) 抽象一类事物的共同属性；(3)用简洁的语言符号给概念下定义、定名称在概念学习中，应注意以下策略：(1) 关键字词理解的策略；(2) 正、反例对比策略；(3) 相似概念比较策略； (4)概念系统化策略【例2】已知ab0,ab, 则化简b(a1)a (b1) 得()abA 2aB 2bC十2D一2(江苏省竞赛题)思路点拨由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键【例3

3、】已知x 2，y=一4 时，代数式ax31 by51997 ，求当x4, y122时，代数式3ax24by34986 的值思路点拨一般的想法是先求出a， b 的值，这是不可能的(为什么 ?)解本例的关键是：将给定的x、y 值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值【例4】已知关于；的二次多项式a(x3x23x)b(2x2x)x35 ，当x=2时的值为一17，求当 x=一 2 时，该多项式的值(“希望杯”邀请赛培训题)思路点拨设法求出a， b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a， b 的等式【例 4】 (1) 已知： 5(x+9y)(

4、x ， y 为整数 )，求证： 5(8x 十 7y) (2) 试证：每个大于6 的自然数n 都可表示为两个大于1 且互质的自然数之和(全国初中数学联赛试题)思路点拨 (1) 尝试把 8x+7y 写成 x+9y 的倍数与 5 的倍数的代数和的形式， (2) 逆用整式的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论注：解代数式化简求值问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入等关键是对代数式进行恰当变形， 其中去括号、 添括号能改变代数式的结构，是变形求简的一种常用工具“回到定义中去” ，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难的时候，请记住“回

5、到定义中去”这个重要的思考提示欲证明一个多项式能被某数整除， 常需对该多项式进行适当的变换， 或对字母进行代换，充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式教学中的许多结论就是通过类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法学力训练1已知 2a xbn 1与3a 2 b 2m 是同类项，那么(2mn) x =(江苏省竞赛题)2已知代数式(2x2+ax-y+6) (2bx 2-3x+5y-1) (1)当 a=， b=时，此代数式的值与字母x 的取值无关；(2)在 (1) 的条件下，多项式3(a2-2ab-b2)一 (4a2+ab+b2)的值为3已知

6、 a=1999，则 3a32a24a13a 33a 23a2001 =4已知当 x= 一 2 时，代数式 ax 3bx1 的值为 6，那么当x=2 时，代数式 ax 3bx1的值是(安徽省中考题)5火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x、 y、 z 的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为()A 4x+4y+10z B x+2y+3z C 2x+4y+6z D 6x+8y+6z (太原节中考题 )6同时都含有字母a、b、 c ，且系数为1 的 7 次单项式共有() A 4 个B12个C 15 个D25个(北京市竞赛题)7有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示：则代数式a

7、abcabc 化简后的结果是 ()A 2 一 aB 2a 一 2bC 2c aD a8已知m2n25 ，那么 5( m2n) 26n3m60 的值为（）A 80S10C 210D409把一个正方体的六个面分别标上字母A 、 B、 C、 D 、 E、 F 并展开如图所示，已知：Ax 24 xy3y 2 ， C3x 22xyy2， B1 (C A) ， E B 2C ，若正方体2相对的两个面上的多项式的和都相等，求D 、F10已知单项式0.25xb y c 与单项式0.125x m y2 n 1 的和为 0.625x n y m ，求 abc 的值11对于整式6x5+5x 4+4x 3+3x 2+

8、2x+2002 ，给定 x 的一个数值后，如果小颖按四则运算的规则计算该整式的值，需算 15次乘法和5 次加法小明说： “有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5次”小明同学的说法是的 (填“对”或“错” )( “希望杯”邀请赛试题)12若 ab2,bc3, cd5，则 (ac)(b d)(a d) 13当 x2 时，代数式 ax3bx1 的值等于一17，那么当 x一 1 时，代数式12ax 3bx35 的值等于(北京市“迎春杯”竞赛题)14将 1，2，3， ， 100 这 100 个自然数，任意分为 50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作

9、b，代入代数式 1 ( ab ab) 中进行计算，求出其2结果， 50 组数代人后可求得50 个值，则这 50个值的和的最大值是15计算 1+2 3 4+5+6 一 7 一 8+9+10 1l 一 12+1993+1994 1995 一1996+1997+1998 1999 2000，最后结果是 ()A 0B一 1C1999D 一 200016已知 ab且 a0，则 ababab 等于 ()bA 2a+2b+abB 一 abC一 2a 一 2b+abD一 2a+ab17已知代数式x2 (ax 5bx 3cx) ，当 xl时，值为 l，那么该代数式当x一 l 时的值x 4dx2是()A 1B一

10、lC 0D 2( “希望杯”邀请赛试题)18如果对于某一特定范围内x 的任意允许值p1 2x1 3x19x 1 10x 的值恒为一常数，则此值为()A 2B 3C 4D 5(安徽省竞赛题)19 (1) 已知 a、 b 为整数，且n l0a+b，如果 17 a 一 5b，请你证明：17 n(2) 已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11 的倍数证明：这个三位数也是11 的倍数20在一次游戏中， 魔术师请一个人随意想一个三位数abc( a、b、c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5 个数 acb 、 bac 、 bca 、 cab 与 cba 的和

11、N ，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc 现在设 N=3194 ，请你当魔术师，求出数abc 而来21 x、 y、 z 均为整数，且11 7x+2y 5z，求证： 1l 3x 一 7y十 12z(北京市竞赛题 )22计算多项式 ax 3bx 2cxd 的值时有以下3 种算法，分别统计 3 种算法中的乘法次数直接计算： ax 3bx 2cxd 时共有 3 十 2+l 6(次 )乘法；利用已有幂运算结果：x3x2x ，计算 ax 3bx 2cx d 时共有 2+2+1= 5( 次 )乘法；逐项迭代： ax 3bx 2cxd(ax b) xc x d ，其中等式右端运算中含有3 次乘法请问：