数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)(1)5页

1、 证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；二项式放缩: , (5)利用常用结论：. 的放缩 ：. 的放缩(1) ： （程度大）. 的放缩(2)：（程度小）. 的放缩(3)：（程度更小）. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:和

2、记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：，从而实现利用函数单调性质的放缩：。一 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消例1数列，其前项和为 ，求证：解：令，的前项和为当时， 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。（二）放缩后转化为等比数列。例2. 满足：（1） 用数学归纳法证明：（2） ，求证：解：(1)略(2) 又 ， 迭乘得： 点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然

3、后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！三、裂项放缩 例3.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以奇巧积累：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) (13) (14) (15) (16) (17) 例6.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是

4、显然成立的，所以例7.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有例8.已知,求证:.解析:所以 从而 四、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.例9. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例10.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有五、均值不等式放缩 例11.设求证 解析: 此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重

5、要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例11.已知函数，a0,ba.0,若，且在0，1上的最大值为，求证：解析: 例12.求证:解析:一方面:(法二) 另一方面:六、二项式放缩 , 例13.设，求证.解析: 观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例14. , 试证明：. 解析: ,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有. 例15. 求证： 简证如下：利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有 例16.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)七、部分放缩(尾式放缩) 例17.求证: 解析: 例18. 设求证： 解析: 又（只将其中一个变

6、成，进行部分放缩），于是 例19.设数列满足，当时证明对所有 有； 解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 八、数列递推关系放缩 例20. 若,求证: 解析: 所以就有 例21.求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到所以 例22. 求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到 九、函数放缩 例23.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以 例24.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造

7、形式: ,例7.求证:解析:提示:函数构造形式: 例25.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以十、分类放缩 例26.求证: 解析: 例27. 已知函数，若的定义域为1，0，值域也为1，0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 练习：1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

8、由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可

9、。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证： 证明： ， 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。1

10、、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证3、若是自然数，求证证明： = =注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。4、求证：证明：由（是大于2的自然数） 得 5、若a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证：证：n 2 n 2时, 7、思路分析：对于学生来说，他们非常清楚证明此题的方向，即先放缩再求和，但是学生的问题就是放缩的误差过大，而不能判断是什么原因导致的误差过大 . 学生解法： 提出以下改进方案 . 方案 1 ：通项放缩不变，减少放缩的项数 尝试 1 ：第一项不放缩，从第二项开始放缩 仍