2 第二型曲面积分

1、2 第二型曲面积分 一、曲面的侧一、曲面的侧 二、第二型曲面积分概念二、第二型曲面积分概念 三、第二型曲面积分的计算计算法三、第二型曲面积分的计算计算法 四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系 一、曲面的侧曲面的侧 观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧 n 曲面的分类曲面的分类: 1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. . 典典 型型 双双 侧侧 曲曲 面面 莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面: 播放播放 实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的

2、流量. . A v n A cosA v Av nv A 流流量量 二、第二型曲面积分概第二型曲面积分概 念念 x y z o S i S ),( iii i v i n i v i n (2) 0 1 lim (,)(,) (,) yzzx xy n iiiiiiii T i iiii EPSQS RS 这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨 论的第二曲面积分。论的第二曲面积分。 定义定义1 0 1 lim( ,)( ,) ( ,) yzzx xy n iiiiiiii T i iiii PSQS RS 或 x y z o S 存在条件存在条件: 组合形

3、式组合形式: ( , , )( , , )( , , ) S P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 物理意义物理意义: ( , , )( , , )( , , ) S P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 第二型曲面积分也有如下性质第二型曲面积分也有如下性质 存在存在,则有则有 三、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 第二型曲面积分也是把它化为二重积分第二型曲面积分也是把它化为二重积分 来计算来计算. 定理定理 22.2 证证 由第二型曲面积分定义由第二型曲面积分定义 0 0 ( , , ) lim(, (,) li

4、m(, (,) xy xy S iiiii T iiiii d R x y z dxdy RzS RzS 0 ( , , ( , )lim ( , ( ,) xy xy iiiii d D R x y z x y dxdyRzS ( , , )( , , ( ,) xy SD R x y z dxdyR x y z x y dxdy 所以所以 类似地，类似地， 上连续时，有上连续时，有 上连续时，有上连续时，有 计算法 S ),(yxfz xy D x y z o xy s)( 0 1 ( , , )lim(,)() n iiiixy T i S R x y z dxdyRS ),( ,)()

5、(, 0cos, iii xyxyi z S 又又 取上侧取上侧 0 1 0 1 lim(,)() lim(, (,)() n iiiixy T i n iiiiixy T i RS Rz ( , , ) , , ( , ) xy SD R x y z dxdyR x y z x y dxdy 即即 ,)()(, 0cos, xyxyi S 取取下下侧侧若若 ( , , ) , , ( , ) xy SD R x y z dxdyR x y z x y dxdy 则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx ( , , ) ( , ), , yz SD P x y z dydzP x y zy

6、 z dydz 则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy ( , , ) , ( , ), zx SD Q x y z dzdxQ x y z x z dzdx 注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. . 解解 12 把把S分S分成成S 和S 和S S 22 11 :1;Szxy 22 22 :1,Szxy x y z 2 S 1 S 21 SSS xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxy DD dxdyyxxydxdyyxxy)1(1 2222 xy D dxdyyxxy 22 12 . 15 2 1cossin2 22

7、 xy D rdrdrr 则分别有则分别有 注注 例例2 计算计算 解解 曲面的参量方程曲面的参量方程 x y z o z D (8) 由由(5)式有式有 其中其中 四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系 xy D ),(yxfz S x y z o ds n (coscoscos ) S S PdydzQdzdxRdxdy PQRdS 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系 解解 2 () S zx dydz ,在在曲曲面面S上S上 有有 2 ()cos S zxds 2 cos () cos S zxdxdy 2 2 () ()() S S zx dydzzdxdy z

8、xxz dxdy xy D dxdyyxxxyx)( 2 1 )()( 4 1 2222 xy D dxdyyxx)( 2 1 222 2 0 222 2 0 ) 2 1 cos(rdrrrd . 1 1 cos, 1 cos 2222 yxyx x .8 六、小结 1 1、物理意义、物理意义 2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点 曲面的侧曲面的侧 “一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号” 思考题思考题 设设 为球面为球面1 222 zyx，若以其，若以其 球面的外侧为正侧，试问球面的外侧为正侧，试问 22 1zxy 之左侧之左侧（即（即oy轴与其法线成钝角的一侧）轴与其法线

9、成钝角的一侧） 是正侧吗？那么是正侧吗？那么 22 1zxy 的左侧的左侧 是正侧吗？是正侧吗？ 思考题解答思考题解答 此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧， 22 1zxy 而而 的左侧为的左侧为正正侧侧. 22 1zxy 莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面: 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 典型典型单