最新曲线积分与曲面积分习题及答案

1、精品文档第十章曲线积分与曲面积分（A）1 计算L x y dx，其中L为连接1,0及0,1两点的连直线段。2 计算L寸ds，其中L为圆周x2 y2 ax。3. 计算x2 y2 ds，其中 L 为曲线 x a cost tsi nt ，y a si nt tcost ，L0 t 2。 2 24. 计算e x y ds，其中L为圆周x2 y2 a2，直线y x及x轴在第一L角限内所围成的扇形的整个边界。445. 计算 x3 y3 ds，其中 L 为内摆线 x a cos31，y a si nt 0 tL2在第一象限内的一段弧。26 .计算rZ一 ds，其中 L 为螺线 x a cost ， y a

2、sint ，L x yz at 0 t 2。7. 计算l xydx，其中L为抛物线y2 x上从点A 1, 1到点B 1,1的一段弧。8. 计算L x3dx 3zy2dy x2ydz，其中L是从点A 3,2,1到点B 0,0,0的直线段AB。9. 计算l xdx ydy x y 1 dz，其中L是从点1,1,1到点2,3,4的一段直线。10. 计算 L 2a y dx a y dy，其中 L 为摆线 x a t si nt ，y a 1 cost的一拱（对应于由t从0变到2的一段弧）:11.计算L x y dx y xdy，其中L是：1） 抛物线y2x上从点1,1到点4,2的一段弧；2）曲线x

3、2t2 t 1，y t21从点1,1到4,2的一段弧12.把对坐标的曲线积分l P x, y dx Q x, y dy化成对弧和的曲经积分，其中L为：1）在xoy平面内沿直线从点0,0到3,4 ；2）沿抛物线y x2从点0,0到点4,2 ；3）沿上半圆周x2 y 2x从点0,0到点1,1 o13 . 计算 L ex si n y my dx ex cos y mx dy 其中 L 为 x a t si nt ,y a 1 cost , 0 t，且t从大的方向为积分路径的方向。14. 确定 的值，使曲线积分x4 4xy dx 6x 1y2 5y4 dy与积分路径 无关，并求A0,0 , B1,2

4、时的积分值。15. 计算积分CL 2xy x2 dx x y2 dy ,其中L是由抛物线y x2和y2 x 所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16. 利用曲线积分求星形线x a cos31， y asin31所围成的图形的面积。3 417. 证明曲线积分 I? 6xy2 y3 dx 6x2y 3xy2 dx在整个xoy平面内与路 径无关，并计算积分值。18. 利用格林公式计算曲线积分:L xy2 cosx 2xy sin x y2ex dx x2 sinx 2yex dy，其中 L 为正向星形2 2 2线 x3 y3 a3 a 0。19. 利用格林公式，计算曲线积分,;L 2x

5、 y 4 dx 5y 3x 6 dy，其中L 为三顶点分别为0,0、3,0和3,2的三角形正向边界。20. 验证下列P x, y dx Q x, y dy在整个xoy平面内是某函数u x, y的全微分，并求这样的一个 ux,y ， 3x2y 8xy2 dx x3 8x2y 12yey dy。21 .计算曲面积分 x2 y2 dx，其中 为抛物面z 2 x2 y2在xoy平面上方的部分。22.计算面面积分2xy 2x2 x z ds，其中 为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。24.求抛物面壳z 1 x2 y2 0 z 1的质量，壳的度为t z。20之间部分的重心坐标26.当 为xoy平面内的一

6、个闭区域时，曲面积分R x,y,z dxdy与二重积25 .求平面z x介于平面x y 1 , y 0和x精品文档分有什么关系?27.计算曲面积分 zdxdy xdydz ydzdx其中 为柱面x2 y2 1被平面 z 0及z 3所截的在第一卦限部分的前侧。28 .计算x2dydz y2dxdz z2 dxdy 式中 为球壳 x a 2 y b 2z c 2 R2的外表面。29 .反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积Px,y,zdydz Qx,y,zdzdx R x, y, z dxdy化成对面积的曲面积分，其中是 平面3x 2y 2 3z 6在第一卦限的部分的上侧30. 利用高斯公式计算曲面

7、积：1) x2dydz y2dzdx z2dxdy，其中 为平面 x 0, y 0, z 0, x a ,y a , z a所围成的立体的表面和外侧。2)x y dxdy y z xdydz,其中 为柱面 x2y21与平面z 0, z 3所围立体的外表面31. 计算向理穿过曲面流向指定侧的通量:1)2x z i x2y j流向外侧；2i xz k ,为立体Oxa , 0 ya , 0z a ,2 )x y z iy z xj z x y k ,为椭球面2 2 2笃爲乡 1，流向外侧。 abc32.求向理场axyicos xy jcos xz2 k的散度。33 .利用斯托克斯公式计算曲经积分：

8、ydx zdy xdz其中 为圆周,x2 y2 z2 a2， x y z 0，若从x轴正向看去，这圆周取逆时针方向。34.证明，： y2dxxydy xzdz0 ,其中为圆柱面x y2y与yz的交线。35 . 求向量场a x yi x3 yz j 3xy2 k ,其；中为I圆周z2 x2 y2 , z0。36.求向量场z sin y iz xcosy j的旋度。37 .计算y2 z2 dx z2 x2 dy x2 y2 dz ，其中 为用平面3x y z切立方体0 x a, 0 y a , 0 x a的表面所得切痕，若从ox轴的下向看去与逆时针方向。(B)1 .计算L yds，其中L为抛物线y

9、2 2px由0,0到x,yo的一段。2 .计算 Ly2ds ,其中 L 为摆线 x a t sint , y a r cost 拱0 t 2。3. 求半径为a ,中心角为24的均匀圆弧（线心度1）的重心。4. 计算 l zds，其中 L 为螺线 x tcost， y t si nt， z t 0 t 2。5. 计算212 ds，其中L为空间曲线 x t cost , yt si nt ,L x y zz t上相应于t从0变到2的这段弧。6. 设螺旋线弹簧一圈的方程为 x acost，y asint，z kt 0 t 2，它的线心度为 x, y, yz x2 y2 z2，求：1）它关于z轴的转动

10、惯量Iz ；2）它的垂心。7. 设L为曲线x t， y t2， z t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对 坐标的曲线积分l Pdx Qdy Rdz化成对弧长的曲线积分。8.计算。x 聲 笃 艸，其中l为圆周x2 y2 a2（按逆时针方向绕 Lx y行）。9计算 L ydx zdy xdz，其中 L 为曲线 x acost， y asint， z bt，从t 0到t 2的一段。10. 计算 l x2 y2 dx x2 y2 dy，其中 L 为 y 1 |x| 0 x 2 方向为 x 增大的方向。2,1 o11. 验证曲线积分I。2xey y dx x ey x 2y dy与路径无关并计算积分

11、值。12证明当路径不过原点时，曲线积分2,2 xdx ydy与路径无并，并计算11 2 2 7叩 x y积分值2 213利用曲线积分求椭圆 笃 爲 1的面积a b14利用格林公式计算曲线积分x2 y dxLx sin2 y dy，其中L是圆周y - 2x x2上由点0,0到点1,1的一段弧15利用曲线积分,求笛卡尔叶形线x3 y33axy0的面积。16计算曲线积分:也，其中l圆周x 1yL2 x2y22，L的方向为逆时针方向。17计算曲面积分3zds,其中为抛物面z 2y2在xoy平面上的部分。18.计算 xyyzzxds ,其中是锥面zx2y2被柱面x2 y22ax所截得的有限部分。19.求

12、面心度为0的均匀半球壳z 0对于z轴的转动惯20.求均匀的曲面z x2y2被曲面x2ax所割下部分的重心的坐标。21.计算曲面积分If x, y, zds，其中2-a2x y , zf x,y,z22.计算 xzdxdy xydydz yzdzdx，其中是平面x0，y0，z 0，x y z1所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。23.计算 丄dydz dxdz - dxdy，其中xyz2为椭球面仔a2yb22 z2 c1。24 .计算y z dydz z x dxdy xy dxdy ， 式t中为圆锥面2 2x yx2 y2 z 0 z h的外表面。25.设u x, y, z , v x,

13、 y, z是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，、-V依次表示ux,y,z, vx,y,z沿 外法线方向的方向导数。证n n明： u v v u dxdydz u v ds，其中 是空间闭区域 的整个边 n n界曲面，这个公式叫做格林第二公式。26.利用斯托克斯公式计算曲线积分x2 yz dx y2 xz dyz2 xy dz其中L是螺旋线x a cost , y a si nt , z 于t，从A 0,0,0到B a,0, h的一段。27.设u u x, y, z是有两阶连续偏导数，求证：rot gradu 0。(C)xa a x1 .求曲线的弧长 y aarcsin , z In

14、 从 O 0,0 到 A x0, y0, z0。a4 a x2 .计算 Ads，其中L为悬链线y ach。L ya3.求均匀的弧x et cost， y et si nt， z ett 0的重心坐标。24 计算L点X2 dx4x 2yln x . R2 x2dy ,其中e是沿x2由点A R,0逆时针方向到BR,0的半圆周。内有连续的导函数21 y f xy dxL二 y2f xy y1 dy，其中L是从点2A3,3 到点B1,2的直线段。径。6计算2,1,2 y 2 xyy yycos dx sin cosxx xxdy，沿着不与oy轴相交的路7已知曲线积分xysin x dxf x dy与路

15、径无关，f xx是可微函数,0，求 f x8 设在平面上有Fx_构成内场，求将单位质点从点2 2 3 2x y1,1移到2,4场力所作的功。9.已知曲线积分1: ydx 3x x3 dy，其中 L 为 x2 y2R2 R 0 逆时针方向曲线：1）当R为何值时，使I 0 ? 2）当R为何值时，使I取的最大 值？并求最大值。10. 计算 I x1 x2zdydz y 1 x2zdzdx z1 x2z dxdy 其中 为曲面zx2 y2 0 z 1的下侧。11. 计算 |xyz|ds，其中 的方程为| x | y |z| 1。12. 计算曲面积分I 21 x dydz，其中 是曲线y x 0 x 1

16、绕x轴 旋转一周所得曲面的外侧。13.计算 l x 2xy dxx2 2x y2 dy，其中L为由点A 4,0到点O 0,0的上半圆周x2 y2 4x14.证明 3y xdx占3xdy与路径无关，其中l不经过直线x y 0 , Lx y 3且求2,3 3y x dx葺3x dy的值。1,0x y315. 求圆锥z . x2 y2 0 z h的侧面关于oz轴的转动惯量。2 2 2 216. 选择a , b值使y 2xy ax x严by dy为某个函数口 x, y的2 2 2x y全微分，并求原函数ux,y。x17. 计算曲面积分o . e 2 dxdy，其中 为曲面z x2 y2，平面z 1 ,

17、vx2 y2z 2所围立体外面的外侧。18. 证明1) uv u v v u 2 u v ;2) x x第十章曲线积分与曲面积分(A)1.解：两点间直线段的方程为：y 1 x，0 x 1故 ds ,1 y 2dx 11 2dx 、2dx所以匚 x ydx ：x 1 x 2dx 2。2.解:xL的参数方程为1a cos21 .a sin23.解:4.解:Li :L2:L3 :ds所以ds如图2,xdx1acos,21|a|x 2 y 2ddsex2La costasi nt1 .a sin221 2cos22 1 Ia|a . sin 2cos - d2cos d2y 2dty2 dst3 dt

18、y2ds2sin21 | a I 2 1 cos 2cos-2a-cos22cos - d22 sin 2,at cost3 t22a2at si nt $costt4Lidsx 2 y 2dttsint 2v2 y2e x y dsds02dxdx2扣1dt atdtsint2t cost atdty2dse x2 y2 ds112dx 、2dxt22a sint a cost dtadt精品文档25解4x3ds4x373a3e,x4y32y dsaexdx0x ae |0cos41x 2 y 2 dt- 9a$ sin? tcos4y3 ds1 cos6t62aP0sin41e % . 2

19、dxaae 42 2 2 23a cos tsint3a sin t cost2tdt 3a s in t costdtcos4t4sin t sin t costdt!si n6t674a36解7解8解x故9解x 1LXdXdsx2 y2 z2dtyl asint 2 a cost 2a2 dt一 2adt2z2xl xydx直线段3t , yx3dxL2ds02 21y y yAB的方程为2丄2a ta cost 22、2adt asintt2dt3|2dy2 ：y4dy 21 y55舟:，化成参数方程为2t , z t , t从1变到02 23xy dy x03T 3 3t 2t187

20、t3dt871直线的参数方程为,y 1 2t , z 1ydy x y 1 dzydz2 22 3t 2t dt3t(0 t 1)精品文档精品文档精品文档01 t 212t31 t 12t 1dt106 14t dt1310.解:L2aydx9 y dy202a a 1costa 1 costaa122 2t co!st sin t dt2 21a1 cosa0022 a2 1dt a20 222y y11.解:1）原式21 yy 2ydy1cost asint dt1cos2tsin2t dt22y3y dy13y昇23432）原式2tt24tt2 12t22t dt12.解:lpx, y2

21、)dscoslp3)dscos110t010 4 t41)dx5t29t2dt9t2dt10 4 t45t239t222t13112L的方向余弦Q x, y dy1 2x 2dx ,sincosx, y dx Q x, y dy121x xx2dx，cos3 _P5cosx, y4 _Q5x, ydsdxdxP x, y 2xQ x, ycossin 1 2x x21、1dxds4x2ds故 l P x, y dx Q x, y dyL 2xx2 Px, y 1 x Q x, y ds13.解：因为y xxe cosy故原积分与路径无关，于是原式OB BAa0dx0acosy msin 2am

22、a2 o14.解:x44xy，Q 6x1yx4 xyx 2y2，解得故当3时，所给积分与路径无关1,20,03.几 24xy dx 6x5y4 dyx44xdx24y 5ydy795取AC CB计算,其中A 0,0，C1,0，B1,215.解:原式,L1L22x32x dx16.解取01 2y2yy2 dy2x5 2x3 x542y 4yP dxdy ydx2y2dxdy ydy1302x dxLPdxQdy10dyyy22x dx 30xAidxdyDxdy2 l yydx设A为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积1A 4A 4 xdy ydx2 oScost 3asin2tcost

23、 asin2t 3acos2t sint dt, 2亏 2 ,2 ,3 2ba2 sint co!s tdta08注：还可:利用dx:dy:l xdy lydxD17.解：P6xy23y,Q 6x2y 3xy2P12xy3y2Q12 xy3y2yx因为-QP所以积分与路彳至无关xy取路径1,23,23,4349y2 dy原式1 *24x8dx2 54y23618.解:Q2xsin x2x cosyx2 ye ,P2xx cosx 2xsinx 2yexy原式QP(dxdy 0。Dxy19.解:Q3,p1xy原式Qpdxdy31dxdy4dxdyDxyDD32x380dx 304dyxdx031

24、220.解：1)q2xPP，故2xydx x2dy是某个u x, y的全微分。xyu x, yx,40,0 2xydxx2dyx0dx0y0xdy2)Qx3x216xx,yx,y 20,0 3x y8xy2 dxx3 8x2y 12yey dyxy0dx00x38x2y 12yey dyy 4x12yey ey 1221.解:Dxy :2 , dx 12Zxz dxdy 1 4x2 4y2dxdy故原式x2,1 4x24y2dxdyDxy2020r2r cos 29 r sin,1 4 r cos 24 r sin 2rdrr2 .1 4r 2rdr22r2 一 1024r d rh22 0

25、u 1 4udu1493022.解：原式|x|y| x2Dxy 1 Zx Zydxdy4 xy x2 y2 . 14DxyIy2 dxdy这里Dxyl为Dxy在第一象限部分4 2d0r4 sin cos -1 4r2 rdr00鲁in21 74 . 1 4r2rdr00r4 1 4r d21 4r2 t 1r322 22t 1 t dt125-5142023.解：z 62x 2y, ds、12 2 dxdy3dxdy原式 2xy 2x2Dxy6 2x 2y 3dxdy24.25.33 dxo27T解：M解：平面3x2x22xy 2y dyzdsDxyy21 x22lr2 1 r27dr0 2z

26、 x这部分的面积S12 zx2zydxdyD.2 101dx0xdyV22因而x1xds2S421yds2yS石12zSzds,2dxdyDixdxo1dxo故重心坐标为-,-3 3 326.解：因为曲面积分xy2dy11xds -3有向曲面，所以12yR x, y,z dxdyR x, y,0 dxdyDxy当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解：Dxy AB，面积为 0， zdxdy 0xyDyz 0, y,z | x 0,0 y 1,0 z 3，Dzxx,0,z 10 x 1, y 0,0 z 3原式,1y2dydzDyz21 x dzdxDzx0dz?1 y2dy31o

27、dZo 1x2 dx2； 1 yh211 .arcs in y2 028.解：根据轮换对称,只要计算z2dxdyD xy: x a注意到：zz2dxdyb2 R2R2x a 2 y b 2Dxy于是原式 -329.解：原式D0再利用极坐标可得2 2 , 2c . R x a y b dxdycDxy4eDxy24eoR3 aPcos的法向理n的方向余弦而cos 0，取 n 3,2,2、3。cos；3222故原式?R5-Q5R2R2 x a 2 y b 2 dxdy2b dxdyr2 rdrR3eQcosRcosds，这里 cos ，cos ，cos 是是平面3x2y2、3z6在第一卦限部分的上

28、侧3，cos5cos精品文档2 xyz dxdydzp Q30.解：1) 一 上-2x 2y z2z原式dxdydz zadx020P故原式31 解:2)32解:pyexy故diva0dy 0dzadx0axay2a .dy23a_2y, z dxdydzPdydzdsa2a0exy3a .dx23a41rdr0xsi nz dzQdzdxRdxdydxdydz2xz dxdydzadx0a0dy2xz dz2 axdxdydza2x dxz dydzQ eosxsin xyxyye ybex dzdx4 abc。2cos xz2xzsin xz2xsin xy 2xzsin xzy dxdy

29、精品文档精品文档精品文档33 解：取为平面x0 ,被所围成的部分的上侧,的面积为a2,的单位法向量为n cos,cos,cos原式34.证:ds1 1 1 d33,33.3ds平面y z的单位法向理n cos ,cos ,cos-1 1a 2由斯托克斯公式得coscoscos左边dsz dsyxyz xz1 y 2 Dxyz dxdy数方程为x2 cos , y2 sin , z 0 02Rdx QdyRdzx z dx3 xyz dy202 cos2si n8 cos3 2 cosd224sincos d16 cosd0 1235.解：闭曲线是xoy平面上的圆周,故环流量为12 .00ij2

30、3xy dz2 xy24（逆时针方向），它的参36.解：rotxsinyxcosy37 .解：证平面x y3Z 2a合科立方体内的部分为,它在oxy平面上的射影为Dxy，面积为3a4取平面的上侧,单位法向量于是由斯托克斯公式得1,3原式ds6az2x21ds36a dxdyDxy6a3a24(B)x1.解：L的参数方程1t2Ptds x 2dt21 t 12dtPp2dt所以L ydsyoot1 ,t2Pp2dtP1t2yo13P2yo2.解：ds2 2 2 2.a 1 cost a sin tdta . 2 1 cost12 1 12sin2 t22a sin-2所以l y2ds2 2a 1

31、 cost02 a sin - dt28a3 20sin4-si n-dt28a3 202 cos-sin-dt2 216a3tcos-22 3 t cos 一3 21 cos5256 3a153.解：取坐标系如图，设重心坐标为Gx, y,由扇形的对称性可知L xdsl ds124a4a cos ad4asin244 a sin|44解:ds x 2 y 2 z2. costtsintsintt cost2 1dt2 t2dt所以zds:仁2 t2dtt2t05.解 x2y2 z2et costet sint2t2eds , x 2 y 2 z 2dtt丄e costet sint,et si

32、ntcostet 2 dt.3e2t dt3et所以L.x2ds2 z.3 22tdt6解:x, y, z ds2 .cos t2 2 .a sin tk2t2丿22丄22丄|2 i-.a sin t a cos t k dt1)Izx2y2x,y,z dsx22 2 2 2y x y z dsa2k2t2 a2k2dta2、a2 k2 3a24 2k22)x x,y,zds 丄 2LM 0acosta2 k2t2、a2 k2dt6ak23a24 2k2精品文档0精品文档M y x, y, z dsM Lasint a2 k2t2 . a2 k2dt7.dxds6 ak23T_4 2k2MM

33、Lz x,y,zdsM Lk2t2 一 a2 k2dt3 k a22 2kh23a242k2由xt, yt2,zdy2tdt2xdt,dz4x29y2dtdx1ds14x29y2dy2xds14x29y2dz3yds14x29y2M解:coscosdt ,3t2dt故cost3得3ydt故 LPdXQdy Rdz l P 2xQ4x2 9笄8.解：圆周的参数方程为 x acost , y asint 0 t 2x y dx x y dy2yx212 a12 a9.解:acostasi ntasint acost asinta cost dta2dtLydxzdy xdz2asint asint

34、0bt acost acost bdt2sin t abt cost abcost dt10.解：如图COA OB ,OA: y x , AB : y z x精品文档x1精品文档故原式1x2 2 .x dx2x22x 2 dx0122 2 .24x2 x dx1311.解：由于P2xey y，Q2x yx 2y又上卫2xey 1，故曲线积分与路径无关,y x0 2,02,1，则原式解：由于P x(2 2x y3 2 :又P -yQc23xy xxyh2径无关，取折线1,12,12原式xdx23 2ydy取折线12.x 14厂22xdx14ey1 02 2ydy 4e。13.解：取参数方程x5

35、2故当路径不过原点时，该曲线积分与路2,2 , 得a cost , y si nt 0 t 2面积 A xdy ydxab cos21sin21 dtab14.解：L不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图P dxdy， y因为-PxP 0y1 1 0故0,所以LABBO原式LABBO1 2 .01 sin y dyL AB BO2dx0tx，得曲线的参数方程知215.解：作代换y3at1 t33at2FT由于dx3a 1 2t33 2t3dt，dy3at 2 t33 21 t3dt精品文档0从而xdy ydx1t3,故面积1xdy2 L ydx9a20t2kdt3a2216.解

36、:由于xy 0时，被积函数无意义,故L所包围的区域不满足格林公式的条件,作一小圆挖去原点0,0，作逆时针方向的圆周I :x r cos ， y r sin ，0使I全部补L所包围，在L和I为边界的区域D内,根据格要公式，有QD1xP dxdy yydx xdyQ L2x2ydx xdyQ 2 | 2 2 y 1 2 x y2x2x y故上式为零ydx xdyydx xdyL2x2l2xyh22 r2 sin202 2 r cos2r217.解:Dxy :2 , ds1 z： z：dxdy.12 24x 4y dxdy原式 32Dxy,1 4x2 4yh2dxdyr2 1 4r2rdr 平18

37、.解：Dxy :x22ax， z . x2y222ds . 1 zx Zy dxdy2J xy22ydxdyx y 2dxdy原式 -2 xyDxy- x2y2 dxdy2acos2r sin0cos2r sin cosrd精品文档精品文档精品文档19.解:DxydsIz20.解:2 2 sin cos2半球壳的方程为2y ah2.1 z：z：dsa20ds质量为0ds从而垂心的坐标为0 xdxdyx2 y2 axsin cos i2acos4.a2 x2 y2dxdy65 2a4。x2Dxy. a2y2xdxdyy2rdra 2x ax x dx 0t2dta0 0dx-:ax x2ax y

38、dy1 2 M0 zdxdyx2 y2 ax即重心坐标为21.解：由于曲面:.x2 y2 得0x2dxdy 2y2 axaxdxa2a22ax xax dyacosdr8a3dt3 cosa2分成上下两部分,16a9记成S上 ,2 xSr，又由z2y、.、x2yh2解得:x2y2 dsOdsDxyx2a2a dxdy2 2x ya20 - 2va3 ardr 22r472a 4 sin048 5. 2622.解：证z在xoy , yoz, zox平面上的部分分别为3，在 x y z 1面上的部分为4。xzdxdy1xydydzyzdzdxxzdxdy1xDxy0dxdyxzdxdy2xydydzyzdzdxxydydz20Dyzydydzxzdxdy3xydydzyzdzdxyzdzdx20Dzxzdzdx故原式xzdxdy4xydydzyzdzdx3xzdxdy3 x1x y dxdy13 dx01 x10000x4Dxyy dy（另解