整式的乘法与因式分解-题型

1、第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法22）5x（x2+2x+1）- （2x+3）（ x-5 ）2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b ）（3a+b）题型一：整式乘法与整式加减的综合例 1：计算：（ 1）（ a+b）（ a-2b ）- （ a+2b）（a-b ）变式训练：（ 1）（ x+3 ）（ x+4） -x （x+2） -5题型二：整式乘法与方程的综合例 2：解方程（ 3x-2 ）（2x-3 ） =（6x+5 ）（ x-1 ）变式训练：解方程 2x （ x-1 ）- （ x+1 ）（ 2x-5 ） =12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例 3 :解不等式（3x+4） （3x-4 ）

2、9 （x-2 ） （x+3）变式训练：解不等式（2x-1 ）-（ 2x-1 ）（ 2x+5） （2x-5 ） -2题型四:整式的化简求值例 4:先化简，再求值（-2a 4x2+4a*3-a 2x4）*（ -a 2x3）,其中 a=, x=-4.。变式训练：已知 2x-y=10，求代数式（x2+y2） - （ x-y ） 2+2y （ x-y ） * 4y的值。题型五：整式乘法的实际应用例5:西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为a cm,宽为a cm的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为b cm的小正方形（2bva）,然后沿虚线折起即可，如图

3、14-1所示，现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以 用以下两种方法求得： 直接法, 小盒子外部表面的面积 =四个侧面的面积 +底面的面积 =2（a-2b）b+（a-2b）b+（a-2b）（a-2b ）；间接法，小盒子外部表面的面积=原长方形的面积-四个小正方形的面积=a a-4b2。请你就是一下这两种方法的结果是否一样。变式训练：如图所示，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片 C类各若干张，若干要拼一个长为（a+2b）,宽为（a+b）的大长方形，那么需要C类卡片多少张？题型六：逆用幂的运算法则xyz例 6 :已知 2 =m, 2 =n

4、, 2 =mn 求证 x+y=z变式训练：已知10m=5,10 n=6,求102m+3n的值。题型七：逆用积的乘方运算法则简化计算例 7 ：计算：2017 2016 6变式训练：计算：-8 x（）+X 2100752） 2100与 375题型八：运用幂的运算法则比较大小例 8：比较大小： （1） 1625与 290 变式训练：比较大小： 255,3 44,4 33 题型九：多小时整除问题例9:已知一个多项式初一多项式a根据上面的规律：写出(a+b) 5展开式：5432 利用上面的规律计算：2 -5 X 2 +10 X 2 -10 X 2+5 X 2-仁+4a-3所得的商式是2a+1，余式是2a

5、+8,求这个多项式。变式训练：已知多项式x乘法公式+ax2+bx+c 能够被 x2+3x-4 整式。(1)求 4a+c 的值；( 2)求 2a-2b-c 的值；(3)若 a， b， c均为整数，且 O a 1，试确定a, b, c的大小关系。题型十:利用整式乘法求字母的值例10:如果(x+q) (x+)的结果中不含 x的一次项，那么q=2232变式训练：已知(-2x ) (3x -ax-6 ) -3 x + x中含x的三次项，贝U a=题型十一:利用整式的乘法探索规律例 11:先探索规律，再用所得规律计算。 (1 )根据多项式的乘法法贝计算并填空:(x-3 ) (x+4) =(x+2) (x+

6、3) =(x+7) (x-1 ) =(x-5 ) (x-2 ) =(2) 观察积中一次项系数、常数项与乘法算式中两个常数之间的关系，得出规律，用式子表示为(x+p) (x+q) =_(3) 利用所得规律计算：(x+1) (x-5 );笑(x-3 ) ( x+7) ;3( a-2 ) (a-1 )变式训练:观察下列各式:2( x-1 )( x+1 ) =x2-1 ;23( x-1 )( x2+x+1 )=x3-1(x-1 ) (x3+x2+x+1 ) =x题型一：平方差公式的重复运用-1 (1) 根据观察以上规律，则(x-1 ) (x例 1：计算：(1)(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1

7、 )(16x4+1)+x24+x4+x3+x2+x+1) =(2) 你能否由此归纳出一般性规律：(x-1 ) (xn+xn-1 +x+1) =(3) 根据求出：1+2+22+234+235的结果。题型十二：有关整式乘法的探索题例 12：新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识;第二类是在某些旧知识的基础上通过联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。( 1 多项式成多项式的法则， 是第几类知识？( 2在学多项式乘多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？(写出两条即可( 3请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘多项式的法

8、则是如何获得的。(用( a+b ( c+d来说明变式训练：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两书之和，他给出了(a+b) n (n为整数)的展开式(按 a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1,2 , 1，恰好对应(a+b) 2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数 1,3,3,1 ，恰好对应(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数。242)变式训练：计算： (1)( 2+1)(22+1)(24+1)；题型二：运用乘法公式

9、简算例2:运用乘法公式简算：(1) 102X 98;(2) 1022;( 3) 992变式训练：用简便方法简算：(1 ) 982;(2) 99 X 101题型三：乘法公式的灵活运用2例 3:计算：(1) (x+2y-3 ) (x-2y+3 );(2) ( a+b+c) ;(3) (y+2) ( y-2 ) - (y-1 ) ( y+5)变式训练：计算： (1)(a+b+c)(a+b-1 );2)(2a-3b+1 )(2a+3b-1 )3)( x-2y+3z )题型四：整式的混合运算例 4:计算：(1) (3m-4n) ( 4n+3m) - (2m-n) (2m+3r);2 (2) 3 (a+1

10、) -5 ( a-1 ) (a+1) 2 (a-1 )2( 3)2x2- ( x+y)( x-y )( 2-x )( 2+x) +( -y-2 )( 2-y )2 2 2 2 2 2 2( 4)( 2x+y )2( 2x-y )2+( x2+y2)2-2( 2x2+xy)( 2x2-xy )变式训练：计算：(1)( x+2)2+( 2x+1)( 2x-1 )-4x(x+1)(2) (x+y) (x-y ) + (x-y ) 2- (6x2y-2xy 2) 2y 题型五：乘法公式变形的应用2 2 2 2例 5:已知(a+b) =7,(a-b ) =4,求 a +b 和 ab 值。变式训练：(1)

11、已知实数x满足=3,则的值为(2)若 x+y=5, x-y=1 ,则 xy=。题型六：整式的化简求值例 6：先化简，再求值：( x+1 )( x-1 ) +x( 3-x )，其中 x=2.变式训练：求值：已知4x=3y，求代数式(x-2y ) 2- (x-y ) (x+y) -2y题型七：乘法公式与方程结合2例 7：解方程： 2( x-2 )+x2=( x+1 )( x-1 )+3x变式训练：解方程： 2( x-2 )+x2=( x+1 )( x-1 )+x题型八：乘法公式与不等式(组)结合例 8:解不等式 x (x-3 )( x+7) (x-7 )变式训练：解不等式组：(x+3) (x-3

12、) -x (x-2 ) 1(2x-5 ) (-2x-5 )V 4x (1-x )题型九：完全平方公式的变形应用2 2 2 2例 9 :已知 a+b=5, ab=7，求 a +b , a -ab+b 的值。变式训练：2 2 2 2( x+y) =9,( x-y ) =5,求 x +y 级 xy 的值。题型十：应用完全平方公式求字母的值例 10：二次三项式 x2-kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是变式训练：若x2+ ( m-3) x+4是完全平方式，求 m的值。题型十一：出发公式在复杂计算中的应用例 11:计算(2+1) (22+1) (24+1).(22n+1) 变式训练：计算因式分解

13、题型一：提公因式法与公式法的综合运用 例 1： 分解因式： ax2-ay 2=变式训练：分解因式：a2b-2ab+b=题型二：利用因式分解整体代换求值22例2 :已知a+b=2, ab=1，则a b+ab的值为变式训练：若 a=2, a-2b=3，贝U 2a2-4ab的值为题型三：因式分解与三角形知识的结合例 3：若 a， b， c 是三角形的三边，且满足关系式a2-2bc=c 2-2ab ，试判断这个三角形的形状。变式训练：已知三角形三边长为 a, b, c,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断三角形的形状。题型四：在实数范围内分解因式2x y-3y=3x -6x=2 2 2 2

14、 2+3p( 2)64m2n2- (m2+16n2)222( 4) 16( a-b ) 2-9 ( a+b) 22(2)(ax+by)2+(bx-ay)p+1 )例 4：在实数范围内分解因式： 变式训练：在实数范围内分解因式： 题型五：分解因式： (1)(p-4)( 3) a4-2a 2b2+b4变式训练：(1) (x+y) ( x-1 ) -xy-y题型六：平方差公式的灵活运用例 6：计算变式训练：若 248-1 能被 60与 70直径的两个整数整除,求这两个数。题型七：完全平方公式的灵活运用例 7：已知 a2+b2-4a-6b+1 3=0 ,求 a+b 的值。变式训练：求证：当 x 表示整

15、数时, ( x+1 )(x+2)(x+3)( x+4)+1 是一个整数的完全平方数。题型八：开放型问题例 8：多项式 9x2+1 加上一个单项式后,能成为一个完全平方式,那么加上的单项式可能是什么？(把符合要求的都写出来)2 2 2变式训练：给出三个多项式： 2x +4x-4 :2x+12x+4 :2x -4x，请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所 有可能的结果) ,并把每个结果因式分解。2 题型九： x2+( p+q) x+pq 型式子的因式分解例 9 ：阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用(1)的酒类分解因式。(1) 形如X2+ ( p+q) x+pq型的二次三项式，有以下特点：二次项系数是1;常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因式之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：22x +( p+q) x+pq=x +px+qx+pq2=( x +px) +( qx+pq) =x( x+p) +q(x+p)=(