模态分析的基本理论 上海交通大学课程中心

1、动态测试技术动态测试技术 余征跃余征跃 上海交通大学上海交通大学 工程力学实验中心工程力学实验中心 54743053 1334176341754743053闵行校区电工力学楼闵行校区电工力学楼101101室室 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 2 现代模态分析与参数识别技术现代模态分析与参数识别技术 结构与机械系统各参数之间的联系结构与机械系统各参数之间的联系 模态参数：模态频率、模态阻尼、模态向量模态参

2、数：模态频率、模态阻尼、模态向量 物理参数：质量、刚度、阻尼物理参数：质量、刚度、阻尼 FEA (几何形状、材料性能、支撑形式、运几何形状、材料性能、支撑形式、运 动参数，载荷参数等）动参数，载荷参数等） 通过动态测试和计算机模拟可对系统进行通过动态测试和计算机模拟可对系统进行 动力参数修改动力参数修改 优化设计优化设计 使得产品达到减振和降噪要求，提高竞争力使得产品达到减振和降噪要求，提高竞争力 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 3 现代模态分析与参数识别技术现代模态分析与参数识

3、别技术 现代模态分析与参数识别技术现代模态分析与参数识别技术 一门综合性与跨学科技术，集振动理论、动态测试技术和系统识一门综合性与跨学科技术，集振动理论、动态测试技术和系统识 别技术等学科于一身别技术等学科于一身 通过力学分析、数值计算与试验研究相结合通过力学分析、数值计算与试验研究相结合 采集和处理试验数据采集和处理试验数据 直接获得系统模态参数信息直接获得系统模态参数信息 分析解决各种复杂结构与机械系统的动力学正问题和逆问题，已在分析解决各种复杂结构与机械系统的动力学正问题和逆问题，已在 振动与噪声控制、机器状态监测和故障诊断等领域广泛应用振动与噪声控制、机器状态监测和故障诊断等领域广泛应

4、用 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 4 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.1 模态分析与模态参数识别模态分析与模态参数识别 振型或模态振型或模态 一个线性系统按自身某一阶固有频率作自由谐振时，整个系统具一个线性系统按自身某一阶固有频率作自由谐振时，整个系统具 有确定的振动形态有确定的振动形态 振型向量或模态向量振型向量或模态向量 描述系统各质点振幅之比的向量描述系统各质点振幅之比的向量 （无阻尼，实向量；有阻尼，一般复向量（无阻尼，实向量；有阻尼，一般复向量,

5、实向量实向量) 模态正交性模态正交性 诸模态向量具有的重要的特性诸模态向量具有的重要的特性 无阻尼时它们中任两个关于质量矩阵或刚度矩阵正交无阻尼时它们中任两个关于质量矩阵或刚度矩阵正交 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 5 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.1 模态分析与模态参数识别模态分析与模态参数识别 振动模态分析振动模态分析 利用系统固有的模态正交性，将方程从具体的物理坐标空间变化利用系统固有的模态正交性，将方程从具体的物理坐标空间变化 到抽象的模态坐标空

6、间中，目的是为解除方程耦合，单独求解各到抽象的模态坐标空间中，目的是为解除方程耦合，单独求解各 独立的正则方程。独立的正则方程。 任意响应的组成任意响应的组成 可视为系统各阶模态的线性组合或叠加，各阶模态叠加的比重或可视为系统各阶模态的线性组合或叠加，各阶模态叠加的比重或 权数不一样，高阶比低阶小得多。权数不一样，高阶比低阶小得多。 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 6 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.1 模态分析与模态参数识别模态分析与模态参数识别 各阶模态

7、参数各阶模态参数 固有频率和模态向量固有频率和模态向量 模态质量、模态刚度、模态阻尼模态质量、模态刚度、模态阻尼 模态参数识别模态参数识别 通过试验测量各测点的激励和响应，来计算得到模态参数通过试验测量各测点的激励和响应，来计算得到模态参数 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 7 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 设有一个具有粘性阻尼和设有一个具有粘性阻尼和N个自由度的振动系统个自由度的振动系统 ) 1 ()(tfkxxcxm )2( 1

8、1 ckmkcm 1958年年Foss首次采用状态变量法，将这类非比例阻尼系统由二阶降为一阶首次采用状态变量法，将这类非比例阻尼系统由二阶降为一阶 系统，进而使一阶微分方程对应的系数矩阵对角化，求得自由振动频率和相系统，进而使一阶微分方程对应的系数矩阵对角化，求得自由振动频率和相 应的振型。应的振型。 此时，频率和振型为复数，故称之为复模态理论。此时，频率和振型为复数，故称之为复模态理论。 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 8 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.

9、2 复模态理论复模态理论 ) 1 ()(tfkxxcxm )3( st Xex 设其齐次方程的通解（自由振动解）为设其齐次方程的通解（自由振动解）为 其中其中s是待定的复特征值，把（是待定的复特征值，把（3）代入（）代入（1），的线性代数齐次方程），的线性代数齐次方程 )4(0)( 2 Xkcsms Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 9 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 相应的特征方程相应的特征方程 )5(0 2 kcsms 特征值特征

10、值s为为N对共轭复根对共轭复根 r s 和和 * r s),.2 , 1(Nr 代入式（代入式（4）中，）中，)4(0)( 2 Xkcsms 可解出相应的可解出相应的X，即得，即得 r )( 和和 * )( r ),.2 , 1(Nr Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 10 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 引入辅助方程引入辅助方程 )6(0 xmxm 和新的坐标向量，即状态向量和新的坐标向量，即状态向量 )7( x x y 式（式（1

11、）和式（）和式（6）组合成）组合成 )8( 00 0 0 f y m k y m mc Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 11 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 )8( 00 0 0 f y m k y m mc )9(PByyA 0 , 0 0 , 0 f P m k B m mc A Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 1

12、2 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 ) 3( st Xex )9(PByyA )7( x x y )10( stst e sX X Yey 由由 得得 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 13 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 )4(0)( 2 Xkcsms )11(0)(YBAs 把式（把式（10）代入式（）代入式（9），得特征问题），得特征问题 其特征方程其特征方程 )12(0 BAs

13、由于式（由于式（11）和式（）和式（4）是解决的同一系统的自由振动，所以式（）是解决的同一系统的自由振动，所以式（12）和式（）和式（5 ）具有相同的特征根）具有相同的特征根 )5(0 2 kcsms r s * r s),.2 , 1(Nr 和和 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 14 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 rr r r s)( )( ) ( 其特征向量其特征向量 式中式中 rr r r s)( )( ) ( * * *

14、)13( * * rr ss r s * r s 为为N阶对角阵，主元分别为阶对角阵，主元分别为 N sss,., 21 * 2 * 1 ,., N sss N . 21 * 2 * 1 * . N Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 15 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 若若m,c,k均为对称阵，这均为对称阵，这A,B也是对称阵，可证明模态向量分别对于也是对称阵，可证明模态向量分别对于A,B具有正具有正 交性。所以交性。所以 )14(

15、 0 0 0 0 * * r rT r rT b b diagB a a diagA Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 16 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 )16(,.2 , 1)()( )()( )15(,.2 , 1)(2()( )(2()( * 2 * 2 * Nrskb mskb Nrcmsa cmsa r r T r rr T rr rr T r rr T rr r r 若令若令 qy 将式（将式（15、16）代入式（）代

16、入式（9），两边前乘），两边前乘 T 并利用式（并利用式（14）表示的正交性，则得到一组解耦的模态方程）表示的正交性，则得到一组解耦的模态方程 )17( 0 0 0 0 * Pq b b q a a T r r r r Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 17 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.2 复模态理论复模态理论 )18(,.2 , 1, * * * Nr a b s a b s r r r r r r 称称 r a * r a 为模态质量为模态质量 r b

17、 * r b 为模态刚度为模态刚度 r s * r s 为复模态频率为复模态频率 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 18 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.3 系统频率响应函数系统频率响应函数 )9(PByyA FourierFourier变换变换 )()()(jPjYjAB )()()( jPjYjZ )19()()( )(jPjHjY )20()()( )( 11 AjBjZjH 导纳导纳阻抗阻抗 Shanghai Jiaotong University -

18、 Engineering Mechanics Experimental Ceneter 19 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.3 系统频率响应函数系统频率响应函数 利用式（利用式（1414）复模态向量对）复模态向量对A A，B B的正交性，对的正交性，对 进行变换，可得进行变换，可得 )( jH 111 ) )( ()( AjBjH TT )21( 1 * T rr rr a a j b b 可改写为可改写为 0 )( )( )( )( jF jH jXj jX Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Ex

19、perimental Ceneter 20 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.3 系统频率响应函数系统频率响应函数 感兴趣的是感兴趣的是)()()(jFjHjX T T rr rr ajbajbjH * 1 * 1 )( T N rrN rr ajbajb * 1 *2 1 1 21 . . Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 21 1.振动模态分析的基本理论振动模态分析的基本理论 1.3 系统频率响应函数系统频率响应函数 N r T r N r rr T rr

20、rr r ajbajb 1 * * 1 N r T r N r rrr T rr rrr r sjasja 1 * * 1 )()( 其中，第其中，第l l行第行第p p列元素，即为在列元素，即为在p p点激振和在点激振和在l l点响应的点响应的 位移导纳函数：位移导纳函数： N r T prlr N r rrr T prlr p l lp rrr sjasjajF jX jH 1 * * 1 )()()( )( )( （2222） （2323） pl 同点导纳，原点导纳同点导纳，原点导纳 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics

21、 Experimental Ceneter 22 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.1 概述概述 模态参数识别法是使用实测的频响函数数据或数据，并模态参数识别法是使用实测的频响函数数据或数据，并 根据频响函数的模态展开式，求解系统的模态参数根据频响函数的模态展开式，求解系统的模态参数 单模态识别法，单模态识别法，SDOFSDOF 多模态识别法，多模态识别法，MDOFMDOF SISOSISO SIMOSIMO MIMOMIMO 输入输出方式：输入输出方式： Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experiment

22、al Ceneter 23 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.2 单模态识别法的理论基础单模态识别法的理论基础 N r T prlr N r rrr T prlr p l lp rrr sjasjajF jX jH 1 * * 1 )()()( )( )( 若系统的各阶固有频率相距较远，模态之间的耦合若系统的各阶固有频率相距较远，模态之间的耦合 性较弱，当激振频率接近某一阶固有频率时，该阶性较弱，当激振频率接近某一阶固有频率时，该阶 模态占主导地位，因此其频响函数可近似为模态占主导地位，因此其频响函数可近似为 * * * * )()( )( rrrrr sj A sj A sjas

23、ja jH lpr rr lpr T prlr rrr T prlr lp （2424） （2525） Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 24 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.2 单模态识别法的理论基础单模态识别法的理论基础 * * * * )()( )( rrrrr sj A sj A sjasja jH lpr rr lpr T prlr rrr T prlr lp 2* 2 * 1 rrr rrrr r r ss j s s （2525）极点极点 （26.126

24、.1） Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 25 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.2 单模态识别法的理论基础单模态识别法的理论基础 * * * , r a A a A T prlr lpr r T prlr lpr 留数留数 （26.226.2） 对于比例粘性阻尼系统即为实模态情况：对于比例粘性阻尼系统即为实模态情况： 2 1 rrrrr js 2 12 22)2( rrr rrrrrrr T rr mj msmcsa 2* 12 rrr mja r （2727） Sh

25、anghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 26 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.2 单模态识别法的理论基础单模态识别法的理论基础 （2525） 从上述可得，任意一个频响函数包含了各阶模态参数从上述可得，任意一个频响函数包含了各阶模态参数 固有频率和阻尼的全部信息。固有频率和阻尼的全部信息。 但要确定各阶模态向量，则必须测得导纳矩阵的一行但要确定各阶模态向量，则必须测得导纳矩阵的一行 和一列。和一列。 * * * * )()( )( rrrrr sj A sj A sjasja j

26、H lpr rr lpr T prlr rrr T prlr lp Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 27 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.2 单模态识别法的理论基础单模态识别法的理论基础 （2828） 若令激振频率若令激振频率 N r rrrr rpr Nr r r N r rrrr pr Np p p jKjK H H H 1 2 2 1 1 2 2 1 2)1 (.2)1 (. 1 r rr 模态向量归一化处理模态向量归一化处理1 pr 则有则有 11 22 (

27、) .2 pr pprr pprr rr NpNr H H Hj jK H Np p p rpp r H H H jH.)( 1 2 1 （2929） （3030） Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 28 12 11 (). NN T ijrirrrNrrirr i rr Row HYY FRFs矩阵一行： FRFs矩阵一列： 1 () N T ijrjrr j r Col HY Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanic

28、s Experimental Ceneter 29 )(tfxKxCxM 如：如：多自由度系统有阻尼模型多自由度系统有阻尼模型 KMC比例阻尼 21 1 2 1 2 F jk F kcjm X N r r r r r T rr N r rrr T rr r r r m k Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 30 N r r r r r T rr N r rrr T rr jk F kcjm F X 1 2 1 2 21 /r N r rrrr j T jrir i jk F X 1

29、 2 21 假定只在结构的 j 点作用有激振力Fj，任一点 i 处的响应： 0.0.00 j FF N r rrrr T jrir j i ij jkF X H 1 2 21 互易性： jiij HH 频响函数定义频响函数定义 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 31 N NiiiNiNiii F F F HHHFHFHFHX . . 2 1 212211 jiji FHX 0.0.00 j FF . 21N FFFF . . . . . . 2 1 21 22221 12111 2

30、 1 FH F F F HHH HHH HHH X X X X NNNNN N N N 频响函数阵频响函数阵 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 32 1 2 F kcjm X N r rrr T rr N r rrr T rr kcjm H 1 2 展开可得 Nrrr Nr r r N r rrr kcjm H . . 1 21 2 1 1 2 频响函数阵与模态参数之间的关系频响函数阵与模态参数之间的关系 Shanghai Jiaotong University - Enginee

31、ring Mechanics Experimental Ceneter 33 rrr r kcjm Y 2 1 Nrrrrrr N r r T rNr T rr T rr N r r NrNrrNrrNr Nrrrrrr Nrrrrrr N r r N r r YY YHH . . . . . . 21 1 2 1 1 21 22212 12111 11 频响函数阵与模态参数之间的关系频响函数阵与模态参数之间的关系 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 34 （1）频响函数矩阵中任一行

32、 T rir N r riNii YHHH 1 21 . N r iNririr HHH 1 21 . Nrrr N r rrr ir kcjm . 21 1 2 单点激励法单点激励法 频响函数的任一行包含所有模态参数，而该行的频响函数的任一行包含所有模态参数，而该行的r阶阶 模态的频响函数的比值，即为模态的频响函数的比值，即为r阶模态的振型。阶模态的振型。 频响函数阵与模态参数之间的关系频响函数阵与模态参数之间的关系 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 35 （2）频响函数矩阵中任

33、一列 N r Nr r r rrr jr jr N r Nr r r r N r Nj j j Nj j j cjmk Y H H H H H H 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 . 11 221 . rjr rjr rjr rNjNr H H Y H 频响函数阵与模态参数之间的关系频响函数阵与模态参数之间的关系 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 36 模态振型的规格化模态振型的规格化 （1）以激励点为参考点，取该点的振型元素为1，若激 振点为 点，对于 来说，必然

34、是 ，其它元 素的值与此相比而确定。 （2）以质量归一化， 则有 （3）模态向量归一化， 即 （4）模态振型中最大元素为1。 j r 1 jr 1 r T rr Mm 2 rr k 1 1 2 N r ir 1 r T r Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 37 模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.3 峰值共振法峰值共振法 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 38

35、2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.3 峰值共振法峰值共振法 1 1）固有频率）固有频率 r 可用幅频曲线的峰值点或相频曲线可用幅频曲线的峰值点或相频曲线 的共振点所对应的频率来近似确定。的共振点所对应的频率来近似确定。 2/ rr f 2 2）模态阻尼因子）模态阻尼因子 r 可用半功率点所对应的带宽来确定可用半功率点所对应的带宽来确定 rr r f ff 22 1212 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 39 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.3 峰值共振法

36、峰值共振法 3 3）模态向量）模态向量以实模态为例，只需将同一频率下幅以实模态为例，只需将同一频率下幅 频曲线的峰值频曲线的峰值 )( rlp H以以l 排列，同相为正，反相为负。排列，同相为正，反相为负。 )( . )( )( )( 1 . 2 1 2 1 rNp rp rp rpp Nr r r r H H H jH 若按激励点归一化若按激励点归一化 r Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 40 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.3 峰值共振法峰值共振法 4 4）模态

37、刚度）模态刚度和模态质量和模态质量 )(2 1 r I r r jH K pp r K r M 2 / r rr KM Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 41 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.4 正交分量法正交分量法 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 42 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 2.4 正交分量法正交分量法 R C rrr r r pr

38、lrR lp H K jH 22 2 )2()1 ( 1 )( I C rrr rr r prlrI lp H K jH 22 )2()1 ( 2 )( )( )( 1 r I lp r I pp r H H )(2 1 r I ppr r H K Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 43 2.模态参数频域识别法模态参数频域识别法 矢量分析法（导纳圆）矢量分析法（导纳圆） YRjI 2 2 22 1 12 R k 2 22 2 12 I k 22 2 11 44 RI kk Shan

39、ghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 44 悬臂梁的三阶振型、幅频相频、实频虚频图像悬臂梁的三阶振型、幅频相频、实频虚频图像 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 45 3.模态参数时域识别法模态参数时域识别法 模态参数时域识别法是利用实测的脉冲响应或仅利用实测的振动响应（包括自由 响应或随机响应）。 根据系统的单位脉冲响应函数或自由振动方程特征值和特征向量与模态参数之间 的关系或者时

40、间序列模型与脉冲响应函数间的关系。 求解系统各阶模态参数。 Ibrahim时域法 实际是一种求解系统自由振动方程的特征值和特征向量的过程。 它是粘性阻尼多自由度系统的自由响应为基础 1）通过一定的采样方法得到自由响应函数数据矩阵 2）由响应与特征值的复指数关系建立特征矩阵数学模型 3）解特征问题得到数据模型的特征值与特征向量 4）根据模型特征值与振动系统特征值的关系求系统固有频率、阻尼和振型。 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 46 时域法： 频域法： 时域信号时域信号频域信号频域

41、信号传递函数传递函数模态参数模态参数 FFT传递函数估计参数识别 时域信号时域信号数学模型数学模型模态参数模态参数 建模参数识别 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 47 3.模态参数时域识别法模态参数时域识别法 最小二乘复指数法，最小二乘复指数法，LSCE，也称脉冲响应法，也称脉冲响应法 NN2N =1=1=1 . lrprlprlpr lp rrr rrrr AA Hs assssss 作傅立叶逆变换 N2N =1=1 . rr s ts t lplprlpr rr htA eA

42、 e 2 1 rrrrr sj Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 48 3.模态参数时域识别法模态参数时域识别法 实测数据 x(t),f(t) 传递函数 ( ) ( ) lp X s Hs F s 脉冲响应 2 1 N ss lplp r htA e r 自回归模型 2 1 N MKMK K ha h 系数 K a 极点 留数 模态频率 模态阻尼 振型 rr A FFTIFFT 参数估计参数估计 解解Prony方程方程 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 49 4.振型演示振型演示 Shanghai Jiaotong University - Engineering Mechanics Experimental Ceneter 50 4.振型