2017年新课标版高考数学大第二章函数与基本初等函数2函数的应用专题研究课件理

1、专题研究专题研究 函数的应用函数的应用 专题讲解专题讲解 ? 题型一 二次函数模型 例 1 某企业为打入国际市场，决定从A，B 两种产品中只 选择一种进行投资生产已知投资生产这两种产品的有关数据如 下表所示：(单位：万美元) 项目 类别 A产品 B产品 年固定 成本 20 40 每件产 品成本 m 8 每件产品 每年最多可 销售价 10 18 生产的件数 200 120 其中年固定成本与年生产的件数无关， m为待定常数，其值 由生产 A产品的原材料价格决定，预计m6 ，8另外，年销 售 x件B产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税假设生产出来 的产品都能在当年销售出去 (1) 写出该厂分别

2、投资生产 A，B两种产品的年利润y 1，y2与 生产相应产品的件数 x之间的函数关系，并指明其定义域； (2) 如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你作出规划 【解析】 (1) 由年销售量为 x 件，按利润的计算公式，得生 产 A，B两种产品的年利润y 1，y2分别为 y 110 x (20mx)(10m)x20(xN，0 x200)， y 218x (408x)0.05x0.05x10 x40(xN，0 x 120) (2) 因为 6m8， 所以 10 m0， 函数 y 1(10 m)x20在0， 200 上是增函数 所以当 x200 时，生产 A产品有最大利润为(10 m)200 20

3、1 980200m(万美元) 22 又 y 20.05(x 100)460(xN，0 x120)， 所以当 x100 时，生产 B产品有最大利润为460 万美元 因 为 y 1max y 2max 1 980 200m 460 1 520 ?0，6m7.6， ? 200m?0，m7.6 ， ?0 ，7.6m8. ? 所以当 6m7.6 时，可投资生产 A产品200 件； 当 m7.6时，生产A产品与生产B产品均可； 当 7.6m 8时，可投资生产 B产品100 件 2 【答案】 (1)y 1(10 m)x20(xN，0 x200) y 20.05x 10 x40(xN，0 x120) (2)

4、当 6m7.6 时，可投资生产 A产品200 件； 当m7.6时，生产 A产品与生产B产品均可； 当7.6m8时，可投资生产 B产品100 件 2 探究 1 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可 以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分 析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴 与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取 最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定 的区间内，最值都在区间的端点处取得 思考题 1 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与 预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图 1；B 产品的利 润与投资的算术平

5、方根成正比，其关系如图 2(注：利润和投资单 位：万元) (1) 分别将 A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2) 已知该企业已筹集到 18万元投资资金， 并将全部投入A， B两种产品的生产 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ 问：如果你是厂长，怎样分配这 18万元投资，才能使该 企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 【思路】 (1) 根据函数模型，建立函数解析式(2)根据资金 分配情况，建立利润解析式 【解析】 (1) 设甲、乙两种产品分别投资 x万元(x0)，所 获利润分别为 f(x)、g(x)万元， 由题意可设 f(x)k1x，g(x)k2x， 根据图像可解得 f

6、(x)0.25x(x 0)， g(x)2 x(x0) (2) 由(1)得 f(9) 2.25，g(9)2 96， 总利润 y8.25( 万元) 设 B产品投入x万元，A产品投入(18 x)万元，该企业可 获总利润为 y万元， 1 则 y (18 x)2 x，0 x18. 4 令 xt，t0 ，3 2， 1134 22 则 y ( t 8t 18) (t4). 444 34 当 t4时，y max 48.5 ，此时 x16 ，18x2. 当 A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企 业获得最大利润 8.5万元 【答案】 (1)f(x) 0.25x(x0)，g(x)2 x(x0) (2)

7、 8.25万元 A投入 2万元，B投入16万元，最大利 润 8.5万元 ? 题型二 分段函数模型 例 2 (2016 高考调研原创题)2015年 8月，天津港发生 危险化学品爆炸特大事故，某种有毒液体泄漏到一鱼塘中为了 治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染 体发生化学反应的药剂已知每投放 a(1 a4，且 a R) 个单位 的药剂， 它在水中释放的浓度 y(g/L) 随着时间 x(天)变化的函数关 ? 16 ?8 x1 （0 x4）， 系式近似为 yaf(x)， 其中f(x)? 若多次 ?5 1x（4x10）. ? 2 投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时

8、刻 所释放的浓度之和根据经验，当水中药剂的浓度不低于 4 g/L 时，它才能起到有效治污的作用 (1) 若一次投放 4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (2) 若第一次投放 2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的 药剂，要使接下来的 4 天中能够持续有效治污，试求 a 的最小 值(精确到 0.1 ，参考数据： 2取1.4) ? 64 ?4（0 x4）， 【解析】 (1) 因为 a4， 所以y?8x 则 ? ?20 2x（4x10）， 64 当 0 x4时，由 44， 8x 解得 x0，所以此时0 x4； 当 4x10时， 由20 2x4， 解得 x8， 所以此时4x8. 综上，可得 0

9、x8，即一次投放4个单位的药剂，有效治 污时间可达 8天 116 (2) 当 6x10时，y2(5 2x)a110 8（x6） 16a16a xa(14x)a4， 14 x 14 x 因为 14 x4，8，而 1a4， 所以 4 a4 ，8， 故当且仅当 14 x4 a时，y最小值为 8 aa4. 令8 aa44， 解得 24 16 2a4， 所以 a的最小值为24 16 21.6. 【答案】 (1)8 天 (2)1.6 探究 2 (1) 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律 不同， 可以先将其当作几个问题， 将各段的变化规律分别找出来， 再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端

10、点值 (2) 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重 不漏 思考题 2 某公司研制出了一种新产品，试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行 调整，结果 40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调 研，结果如图所示，其中图 (一条折线)、图(一条抛物线段) 分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每 件样品的销售利润与上市时间的关系 (1) 分别写出国外市场的日销售量 f(t) 与上市时间 t的关系及 国内市场的日销售量 g(t) 与上市时间 t的关系； (2) 国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元？若有，请说明是

11、上市后的第几天；若没有，请说明理由 【解析】 (1) 图是两条线段，由一次函数及待定系数法， 得 ? ?2t ，0t30， f(t) ? ? ?6t 240，30t40. 图是一个二次函数的部分图像， 3 2 故 g(t) 20 t 6t(0 t40) (2) 每件样品的销售利润 h(t) 与上市时间 t 的关系为 h(t) ? ?3t，0t20， ? ? ?60 ，20t40. 故国外和国内的日销售利润之和 F(t) 与上市时间 t的关系为 3 2? ?3t （ t 8t ），0t20， 20 ? ?3 2 F(t) ?60 （20 t 8t ），20t30， ? ? 3 2 60 （ t

12、240 ），30t40. ? 20 ? 3 2 9 32 当 0t20时，F(t) 3t( t 8t) t24t . 2020 27 2 27 F(t) 20 t 48t t(4820t)0. F(t)在0，20上是增函数 F(t)在此区间上的最大值为 F(20) 6 0006 300. 3 2 当 20t 30时，F(t)60(20 t 8t) 由 F(t) 6 300，得 3t160t 2 1000. 70 解得 t 3(舍去 )或t30. 2 3 2 当 30t 40时，F(t)60(20 t 240) 由 F(t) 在(30，40上是减函数，得 F(t)F(30) 6 300. 故国外

13、和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元， 为上市后的第 30天 【答案】 ? ?2t ，0t30， (1)f(t) ? ? ?6t 240，3022% Bx22% Cx22% D以上都不对 答案 B 5(2016 湖北八市联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放， 排放时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤过程中废气中的污 染物数量 P(单位：mg/L) 与过滤时间 t(单位：h)之间的函数关系为 PP 0e (k，P 0均为正的常数)如果在前 5个小时的过滤过程中 污染物被排除了 90% ，那么至少还需过滤( )才可以排放 15 A. h B. h 29 C5 h D10 h k

14、t 答案 C 解析 设原污染物数量为 a， 则P 0a.由题意有 10%a ae 5k ， 所以 5k ln10.设 t h后污染物的含量不得超过1%， 则有1%aae tk，所以 tk2ln10 ，t10.因此至少还需过滤 10 55 h才可以 排放 6某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的 这支股票先经历了 n次涨停(每次上涨10%) ，又经历了 n次跌停 (每次下跌10%) ， 则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用) 为( ) A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况 答案 B 解析 设该股民购进股票的资金为 a，则交易结束后，所剩 资金为：a(1

15、10%)(110%)a(10.01)a0.99 0.1 ? ? 解析 (1) 设 ykt(0 t0.1)，由图像知 ykt过点(0.1 ，1)， 则 1k0.1 ，k10，y10t(0t0.1) 由 ?1?t a y?16? 过点(0.1，1)，得 ? ?1?0.1 a 1?16? ，解得 ? ?1?t 0.1 a0.1 ，y?16 ?(t0.1) ? ?1?t 0.1 1 (2) 由?16 ?0.254，得 ? t0.6. 故至少需经过 0.6小时学生才能回到教室 11 一类产品按质量共分为 10个档次，最低档次产品每件 利润 8元，每提高一个档次每件利润增加2元，一天的工时可以 生产最低档

16、次产品 60件，提高一个档次将减少3件，求生产何 种档次的产品获利最大？ 答案 生产第 9档次的产品获利最大 解析 将产品从低到高依次分为 10个档次 设生产第 x档次的产品(1 x10，xN)，利润为 y元， 则 y60 3(x1)82(x1)(633x)(62x) （21x）（3x） 2 6(21x)(3x)6 2 6144864. 当且仅当 21 x3x，即 x9时取等号 12. 据气象中心观察和预测：发生于 M地的沙 尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h) 与 时间 t(h) 的函数图像如图所示，过线段 OC上一点 T(t ，0)作横轴的垂线 l，梯形OABC在直线l 左侧

17、 部分的面积即为 t(h) 内沙尘暴所经过的路程 s(km) (1) 当 t4时，求s的值； (2) 将 s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3) 若 N城位于M地正南方向，且距M地650 km ，试判断 这场沙尘暴是否会侵袭到 N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时 间它将侵袭到 N城？如果不会，请说明理由 答案 (1)24 3 ? ? t 2 ， t0，10 ， ?2 (2)s ?30t 150， t（10，20， ? 2 ? ?t70t 550， t（20，35 (3) 沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N城 解析 (1) 由图像可知：当 t4时，v3412 ， 1 s241224.

18、132 (2) 当 0t10时，s2t3t2t； 1 当 10t 20时，s2103030(t10)30t150； 11 当 20t 35时，s210301030(t20)302 (t20) 2(t20) t 70t 550. ? ?3 t 2 ， t0 ，10， ?2 综上可知，s?30t 150， t（10，20， ? 2 ? t70t 550， t（20，35. ? 2 3 2 (3) t0，10时，smax210150650， t(10 ，20时，smax3020150450650， 当 t(20 ，35时，令t70t550650， 解得 t 130 ，t 240. 20t35，t30

19、，沙尘暴发生30 h后将侵袭到 N城 2 1如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在 平均每年增长 9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995 年翻两番的年份大约是( )(lg2 0.301 0，lg30.477 1，lg109 2.037 4，lg0.092.954 3) A2015 年 B2011年 C2010 年 D2008年 答案 B 解析 设1995年总值为 a，经过x年翻两番，则a(1 9%) 2lg2 4a.xlg1.0916. x 2某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km( 不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时， 超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千 米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1元现某人乘坐一 次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了 _ km. 答案 9 解析 设出租车行驶 x km时，付费y元， ?9，0 x3， ? 则 y?82.15（x3）1，38. ? 由 y22.6 ，解得 x9. 3(2011 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市 的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/ 小时)是车流密度 x(单位：辆/ 千米)的函数当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当