复数典型例题原.doc

1、z2m 23m2(m 23m10)i 例 1 当 m 为何实数时，复数m 225；（ 1）是实数；（ 2）是虚数；（ 3）是纯虚数。m 23m100解：（ 1）z 为实数，则虚部 m 23m100 ，即m 2250解得 m=2 m=2 时， z 为实数m23m100（ 2） z 为虚数，则虚部m 23m100 ，即 m2250解得 m2且 m52m 23m20m23m100（ 3） z 为纯虚数m2250m1m122 时， z 为纯虚数解得 当101106 例 3 求同时满足下列条件的所有复数z：（ 1）zzz是实数，且z。（ 2） z的实部和虚部都是整数。解： 设 z abi (a, b R

2、 且 a 2b 20)101010(abi )则 zza bia bia bia 2b 210b2 ) b(110a(1a2a 2b 2 )iz101z106zz由（ 1）知是实数，且 b(110a2b2 )0即 b0或 a2b 2101 a(110)6a2b2又1a106当 b=0 时， * 化为a无解。1当 a 2b210 时， * 化为 1 2a 6a 3 2由（ 2）知 a1,2,3 相应的 b3 ，6 （舍），1因此，复数 z 为： 13i或 3i 例 4 设复数 | zi |1，且 zwz2i0 ， z2i 。又复数 w使 w2iz为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z 的集合是什

3、么图形，并说明理由。分析与解答： 设 zabi ， w xyi (a,b, x, y R)由题 z0 ， z 2i 且 | z i | 1 a 0 ， b0 且 a 2b22b 0uwz2ixyiabi 2i2izx yi2iabi记w( x2y 22 y)2xi(a 2b22b)2aix2( y2) 2a 2b2(x 2y 22y)2xi2aix 2( y2)2a 2b2已知 u 为实数x2y 22 y2a0 x2( y 2) 2 a2b 2 a 0 x 2y 2 w 在复平面上所对应的点2 y0 即 x2( y1)21Z 的集合是以（ 0， 1）为圆心， 1 为半径的圆又 w2i0 除去（

4、 0， 2）点。 例 5 设虚数 z1 , z2 ，满足 z12z2（ 1）若 z1 ,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1 , z2 。（ 2）若 z11mi（ i为虚数单位， m R ），| z1 |2 ，复数 w z23，求 | w |的取值范围。解：（ 1）z1 , z2 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设 z1abi(a,bR 且 b 0) ，则 z2 a bi由 z12z2 得 (a bi )2a bi即： a 2b22abiabia2b2a根据复数相等，2abba1a122b3b3 b0解得2或2z113iz113222i2z213 iz213 i22或

5、22（ 2）由于 z12z2 , z11mi ， wz2 3 w(1 mi) 234m22mi | w | ( 4 m2 ) 24m2(m 22) 212由于 |z1 |2 且 m令 m2u ， | w |在 u(0,1 上， (u0 ，可解得 0 m 21，(u2) 2122)212 是减函数 | w |13,4) 例 6 已知复数 z 满足 zzi (3z)1 3i ，求 z。方法一： 设 z xyi (x, yR) ，则 x 2y 2i3( x yi ) 1 (3i )即 x2y23y3xi13ix 2y 23y1由复数相等得3x3x1x1解得 y0 或 y3 z1或 z13i方法二：

6、zzi (3z)1 (3i ) zz13i3iz即 | z |213i ( z 1) R z 1 是纯虚数或 0可令 z1ai (a R)则 1 a2i (33ai ) 1 3i即 a23a0 a 0 或 a 3故 z1 或 z1 3i例 7已知复数z 满足 | z |解： 设 zxyi ( x, yx2y 21 （1）z212z z1z212z且zR) ，由已知得0，求 z 的值。(xyi ) 212(x yi )xyi(x 2y 23x) (2xy y)ix2y23x0(2)依题意得2xyy0(3)1由（ 3）得 y0 或x2（ 1）当 y0 时，由（ 1）知 x1但 x1与（ 2）矛盾

7、x1，即 z11132x1y2时，由（）得2（ ）当把 y 值代入（ 2）均成立综上可知： z1 1z213 iz313 i22，22例 8设 a, b 为共轭复数，且(ab)23abi4 6i ，求 a 和 b 。解： a, b 为共轭复数 设 a xyi (x, y R)则 b x yi由 (ab) 23abi46i 得4x 24(2x) 23( x2y 2 )i4 6i ，即3(x 2y2 )6x 21x1y 21y1 a 1 i ， b 1i ； a1i ， b1 i ；a 1 i ， b1 i ；a1 i ， b 1 i 。 例 9 已知关于 x 的方程 x 2(6i )x9ai0(

8、aR) 有实数根 b。（ 1）求实数 a, b 的值；（ 2）若复数 z 满足 | zabi | 2 | z |0 ，当 z 为何值时 | z | 有最小值， 并求出 | z | 的最小值。解：（ 1） b 是方程 x2( 6 i )x9ai0(aR) 的实根 (b 26b9)( ab)i0b 26b90ab0ab3（ 2）设 z x yi (x, y R) | z 3 3i | 2 | z | 0 | x yi3 3i | 2 | xyi |即 ( x 3)2( y 3) 24( x2y2 )整理，得 ( x1) 2( y1) 28 复数 z 对应点的轨迹是以 O1 (1,1) 为圆心，以

9、22 为半径的圆。如图所示连结圆心 O1 和原点 O，并延长交圆 O1于点 P，当复数 z 为点 P 对应的复数时 , | z |最小可求得 P(1,1) z1i , | z |min2【模拟试题】1.已 知 关 于 x的 实 系 数 方 程 x22ax a 24a 40 的 两 虚 根 为 x1 , x2 , 且| x1 | x2 |3 ，则 a 的值为。2.已知 (2 x1)iy(3y)i ，其中 x, yR ，求 x=，y=。3.i i 2i 3i 2005。xyit1t4.已知 x, y,tR ， t1且 t01 t()i( x, y) 的轨迹，求满足t时，点方程。5.计算（ 1） (

10、4i 5 )(62i 7 )(7i 11 )(4 3i )1 ( 22i )5(1)4(1 i )7（ 2） i1 i1 i(31 i)12( 22i)8（ 3）2213ii 2 3(5 i 19 )(1 i )226.计算：（1） 123i2(22i ) 4（2） (13i )513i ，计算： (12 )(12 )7.设22【试题答案】15xy 11.22.2 ； 43.i4.5.解析：（1）原式 = 2(4i )(3i)(7i)( 43i )2(123i4i i 2 )(284i21i3i 2 )2(117i)25(1i )4739i1 ( 22i )5(1)4(1 i )7（ 2） i

11、1i1ii(2 )5(1i) 2 2(1i )12 2i 7(1i )162 ( 1i )1i41)(162(1621)i4(31i) 12(22i) 8（ 3）2213i( i )12 (31 i) 121 i 82213 i221(21(2186.3(1i ) 2 4( 13 i )1222i )2( 13 i )3 3223 i ) 3 4( 8 8 3i )283i783ii 2 3(5 i 19 )(1 i ) 22解析：（ 1） 12 3i2(123i )i5(i 4 )4 i 2i( 1 i ) 2 11123i2i5i i 115i213 i31 ，于是22，则（ ）令(22i

12、 )424 (1i ) 4(2i ) 2(13i )525( 13 i )525222213i67.13 i解析：因为22210 ，31所以从而 12， 12所以，原式( 22 )(2)4342010 年高考数学选择题试题分类汇编复数（ 2010 湖南文数） 1. 复数 2 等于1 iA. 1+IB. 1-iC. -1+iD. -1-i（2010 浙江理数）（ 5）对任意复数 zxyi x, yR， i 为虚数单位，则下列结论正确的是（A） z z 2y（B） z2x2y2（C） z z 2x（ D） z x y解析：可对选项逐个检查，A 项， zz2y ，故 A 错， B 项， z2x2y2

13、2xyi ，故 B错， C项， z z2 y ，故 C 错， D 项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题23i（2010 全国卷 2 理数）（ 1）复数1i（A） 3 4i（ B） 3 4i（C） 34i（ D） 3 4i【答案】 A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.22【解析】3i(3 i)(1 i )(12i )234i .1i2（2010陕西文数）2. 复数 z= i在复平面上对应的点位于A1i(A) 第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义ii (1 i)11 i ，所以点（1 , 1 ) 位于第一象限1 i

14、2222 2（2010 辽宁理数） (2)设 a,b 为实数，若复数1+2i1 i ，则abi3 , b1（A） a(B)a3,b122(C) a13(D)a1,b3, b22【答案】 A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由12ii 可得 12i(a b)(aab1a1b)i ，所以b，解得bia2a31， b，故选 A。22（2010江西理数）1. 已知（ x+i ）（ 1-i ） =y，则实数 x，y 分别为（）A.x=-1 ， y=1B. x=-1， y=2C. x=1 ， y=1D. x=1， y=2【答案】 D【解析】考查复数的乘法运算。

15、可采用展开计算的方法，得( x i 2 )(1 x)iy ，没有虚部， x=1,y=2.（2010安徽文数）(2) 已知 i 21，则 i( 13i )=(A)3 i(B)3i (C)3i(D)3i2.B【解析】 i(13i)i3，选B.【方法总结】直接乘开，用i 21 代换即可 .（2010浙江文数）3. 设 i 为虚数单位，则5i(A)-2-3i(B)-2+3i1i(C)2-3i(D)2+3i解析：选C，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题（2010 山东文数）（ 2）已知 a 2ibi a,b R ，其中 i 为虚数单位，则 a bA. 1iB.1C. 2D. 3答案： B（2

16、010 北京文数） 在复平面内，复数6+5i, -2+3i对应的点分别为A,B. 若 C 为线段 AB的中点，则点C 对应的复数是（ A） 4+8i(B)8+2i（ C） 2+4i(D)4+i答案： C（2010 四川理数）（ 1） i 是虚数单位，计算i i 2 i 3（A） 1（B） 1（C）i（D） i解析：由复数性质知：i 2 123故 i i i i ( 1) ( i ) 1（2010 天津文数） (1)i 是虚数单位，复数3i =(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i(D)2-i1i【答案】 A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需

17、要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2 改为 -1.3i （3 i） (1+i )2 4i2i1-i(1-i )(1+i )12【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010 天津理数）（ 1） i是虚数单位，复数13i12i(A)1 i(B)5 5i (C)-5-5i(D)-1 i【答案】 A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2 改为 -1.13i（-1+3i ） (1-2i)5 5i12i(1 2i )(1 2i )1 i5【温馨提示】 近几

18、年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心， 不要失分哦。（2010 广东理数） 2. 若复数 z1=1+i ，z2=3- i ，则 z1 z2=（）A 4+2 iB. 2+iC. 2+2 iD.32. A z1z2(1i ) (3i )1 31 1(31)i42i（2010 福建文数） 4 i 是虚数单位 , ( 1i )4 等于 ( )1-iA iB -iC 1D-1【答案】 C【解析】 ( 1 i )4 = (1i) 24 =i 4 =1 , 故选 C1-i2【命题意图】本题考查复数的基本运算, 考查同学们的计算能力（2010 全国卷1 理数） (1) 复数 32i23i(

19、A) i (B)i (C)12-13i (D) 12+13 i（2010 山东理数） (2)已知 a 2ib i (a,b) a 2ibi （ a,b R），其中 i 为虚数单ii位，则 a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3【答案】 B【解析】由 a+2i =b+i 得 a+2i=bi-1 , 所以由复数相等的意义知a=-1,b=2 , 所以 a+b= 1, 故选iB.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。1. （ 2010 安徽理数） 1、 i 是虚数单位，i33iA、 13 iB、 13 iC、 13 iD、 13 i41241226261.B【解析】3

20、ii ( 33i )3i 313 i ，选 B.3i3912412i【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭33i复数3i ，然后利用复数的代数运算，结合i 21得结论 .2. （ 2010 福建理数）（2010湖北理数）1若i为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数 Z，则表示复数z的点是1iA E B.FC.G D.H1【答案】 D【解析】 观察图形可知 z3 i , 则z3i1 i12 i ，即对应点iH（ 2， 1），故 D 正确 .导数一导数的概念（一）导数的定义1.导数的原始定义：设函数 yf ( x) 在 xx0 处附近有定义， 如果x0 时， y

21、与 x的比y ( 也叫函数的平均变化率) 有极限即y 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫xx做函数 yf ( x) 在 xx0 处的导数， 记作 y /x x0 ，即 f / ( x0 ) limf ( x0x) f ( x0 )x 0x2导函数的定义：如果函数y f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x(a,b) ，都对应着一个确定的导数f/ ()/x ，从而构成了一个新的函数f ( x) , 称这个函数 f / ( x) 为函数 yf ( x) 在开区间内的导函数，简称导数。（二）导数的实际意义：1. 导数的几何意义：f / ( x0 ) 是曲线 y

22、f ( x) 上点 ( x0 , f (x0 ) ) 处的切线的斜率因此，如果yf ( x) 在点x0可导 ，则曲线yf ( x) 在 点(x0 , f ( x0 )处 的切线方程为yf ( x0 )f / ( x0 )( xx0 )2. 导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。（三）概念部分题型：1. 利用定义求函数yf ( x) 的导数主要有三个步骤：(1)求函数的改变量yf ( x(2)求平均变化率yf ( xx(3)取极限，得导数y/ f ( x)2. 利用导数的实际意义解题x) f (x)x) f (x)xylimx0x主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考

23、试重点为求切线方程。二导数的运算（一）常见函数的导数1C02 (xn )nxn 13 (e x )ex4 (ax )a x ln a5 (ln x)1x6 (log a x)1 loga e1xx ln a7 (sinx)cosx8 (cosx)sin x（二）导数的四则运算1和差： (u v)uv2积：(uv)u vuv3 商： ( u )u v uvvv2（三）复合函数的导数：1运算法则复合函数导数的运算法则为：fg( x)f (g) g (x)2 复合函数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。求复合函数的导数的方法步骤：(1) 分清复合函数的复合关系，选好中间变量(2) 运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数(3) 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数三 导数的应用（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。1. 导数和函数单调性的关系：(1) 若 f ( x)0 在 ( a， b) 上恒成