整式的加减典型例题.doc

1、整式的加减典型例题类型一：用字母表示数量关系眉(1) 商店运来一批梨，共 9箱，每箱n个，则共有 个梨.(2) 小明x岁，小华比小明的岁数大 5岁，则小华 岁.(3) 个正方体边长为 a,则它的体积是.(4) 一个梯形，上底为 3 cm下底为5 cm,高为h cm,则它的面积是 cm2.(5) 辆客车行驶在长 240千米的公路，设它行驶完共用a个小时，则它的速度是每小时千米240解析：31.9 n 2. x+5 3. a 4.4 h 5.-总结升华：用字母表示实际问题中的数量关系时， 若式子是积或商形式， 则将单位名称 写在式子的后面即可；若式子是和或差的形式，则应把整个式子用括号括起来， 再

2、将单位名 称写在后面。举一反三：变式一(1) 香蕉每千克售价3元，m千克售价元。(2) 温度由5C上升t C后是C。(3) 每台电脑售价x元，降价10%后每台售价为 元。(4) 某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为。解析：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出 来。答案：(1)3m(5 +1)(3) 0.9x (提示：(1 10% )x=0.9x )(4)-变式二某校学生给“希望小学”邮寄每册&元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5%，则共需邮费元。解析：邮费是书价的5%因此，共需邮费是 fl5%-240=12a元。答案：12a类型二：整式的概念刊6

3、把下列式子按单式进行归类。1兀5 x2y,二 a b, x + y2 5,二， 29, 2ax + 9b 5, 600xz，二 axy, xyz 1,1一。思路点拨：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。解析：单项式有：x 2y， 29,600xz， - axy多项式有： 二 a b, x+ y2 5,2ax + 9b 5, xyz 1整式有：x 2y，二 a b, x+ y2 5,二,29, 2ax + 9b 5,600xz，二 axy ,xyz 1。举一反三：变式指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。37?

4、目二 x + 1; (2)a = 2; (3) n; (4)S =n R2; (5) ； ； (6)】-.3分析：根据整式的定义，二x+ 1是整式；单独的一个数或一个字母也是整式，所以nZ和也是整式；而a = 2, S=n R2,-:，含有等号或不等号，因此它们都不是整式。37答案：(1)- x+ 1 ,(3) n,(5)二都是整式；(2)a = 2,(4)S =n R2,(6) -都不是整式。总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。类型三：同类项3 若： 与 -是同类项，那么a, b的值分别是()(

5、A) a=2, b= 1(B) a=2, b=1(C) a= 2, b= 1(D) a= 2, b=1思路点拨：解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同,要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由同类项的定义可得：a仁一b,且2 a+b=3,解得 a=2, b= 1,故选A。举一反三：变式在下面的语句中，正确的有()2 1f-lf1一3 a2b3与2 a3b2是同类项；L 。丿x2yz与zx2y是同类项；1与亍是同类项；字母相同的项是同类项。(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个2 解析：中-；a2b3与二a3b2所含的字母都是a, b,但a的次数分

6、别是2,3 , b的次数分别是3,2 ,所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz与zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，正确，根据可知不正确。故选B。类型四：整式的加减空)(A) 0(B) 2m(C) 2n(D) 2m 2n思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”化简m n( m+n)的结果是号去掉，括号里各项都改变符号。解析：原式=m nm n=2n,故选(C)。答案：C举一反三：变式一 （2011四川南充市）计算a+（ a）的结果是（）（A） 2a（ B）0（ C） a2（ D） 2a分析：先去括号再合并同

7、类项答案：B变式二（2011重庆西南师大附中期中）计算：整式一一 一 去括号应为（）（A） _二_匕_（ B） _二_ 十匕（C） _二_1十：-（分析：按去括号法则进行计算，先去小括号，再去中括号答案：A（1）方格中，除9和7外其余字母各表示一个数，已知方格中任何三个连续方格中的数之和为 19,求A+H+M+劭值.A9HMOX7思路点拨：由任何三个连续方格中的数之和相等得A+9+H=9+H+M M+0+X=0+X+7进步求出A+H+M+O值.解析：由方格中任何三个连续方格中的数之和为19,得 A+9+H =9+H+M A=M M+O+X=O+X+7M=7;所以 A=M=7 H+M+0=19

8、所以 A+H+M+O=26.答案：26.丄 丄（2）（化简代入求值法）已知x =，y= 1；,2222求代数式（5x y 2xy 3xy） （2xy + 5xy 2xy ） 思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。2 2 2 2解析：原式=5x y 2xy 3xy 2xy 5x y+ 2xy = 5xy当x一勺，y=鼻时，原式一5丿l弓丿3 o总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时, 应先合并同类项化简原式，再代入求值。举一反三:1变式1当x = 0,

9、x =二,x= -2时，分别求代数式的 2x2 x+ 1的值。解：当2 2x= 0 时，2x x + 1 = 2 X 0 o+ 1= 1 ；22x x + 1 = 2X2 2当 x = -2 时，2x x + 1 = 2X( -2 )( -2 )+ 1 = 2X 4+2 + 1 = 11。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。变式2先化简，再求值。丄2222心3(2x y 3xy ) (xy 3x y

10、)，其中 x =, y= 1。解：3(2x2y 3xy2) (xy 2 3x2y) = (6x 2y 9xy2) xy2+ 3x2y2 2 2 2 2 2=6x y 9xy xy + 3x y = 9x y 10xy。ipy i.当 x = - , y = 1 时，原式=9 X X ( 1) 10X 二 X ( 1)2 =总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y 10xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。变式3求下列各式的值。(1)(2x(2)2mn + ( 3m) 3(2n mn),其中 m+ n= 2, mn= 3。解析：(1)

11、 (2x 2 x 1)-3-2 “ 2 2 - 2 ,=2x x 1 x + x+一 + 3x - = 4x 411 3卩丫1=当 x= -时，原式=4 X - 4 = 9 4 = 5。(2) 2mn + ( 3m) 3(2 n mn)=2mr 6m 6n + 3mn=5mn- 6(m + n)当 n = 2, mn= 3 时原式=5X ( 3) 6X 2 = 27。当x = 1时，代数式类型五：整体思想的应用題px3 + qx + 1的值为2013，则当x = 1时，代数式px3 + qx+ 1的值为()A、一 2011B、 2012C、一 2013D 2011思路点拨：这是一道求值的选择题

12、，显然p, q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。解析：当 x = 1 时，px3 + qx + 1 = p+ q + 1 = 2013，而当 x= 1 时，px3+ qx + 1 = p q + 1,可以把p+ q看做一个整体，由 p+ q + 1 = 2013得p+ q= 2012,于是一p q=(p + q) = 2012,所以原式=2012+ 1 = 2011。故选 A。举一反三：232变式1已知x + x 1 = 0,求代数式x + 2x 7的值。分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。解析：/x + x 1 = 0,二 x = 1 x, x3

13、+ 2x2 7= x(1 x) + 2(1 x) 7= x x2+ 2 2x 72 2=-x -x-5 = ( -x -x+1 ) -6 = 6。2 2变式2已知x + x + 3的值为7,求2x + 2x 3的值。分析：该题解答的技巧在于先求x2 + x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。解析：由题意得x2 + x + 3=乙所以x2 + x= 4，所以2(x2 + x) = 8，即2x2 + 2x = 8,2所以 2x + 2x 3= 8 3= 5。总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法

14、应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中 考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。变式3已知A= 3x3 2x + 1, B= 3x2 2x+ 1 , C= 2x2+ 1，则下列代数式中化简结果为 3x3 7x2 2 的是()A A+ B+ 2CB、A+ B 2CC、A B 2CD A B+ 2C分析：将A, B, C的式子分别代入 A, B, C, D四个选项中检验，如： A B 2C= 3x3 2x + 1 (3x2 2x + 1) 2(2x 2+ 1) = 3x3 2x + 1 3x2 + 2x 1 4x2 2 =

15、3x3 7x2 2。故选 Co答案：C变式4化简求值。(1) 3(a + b c) + 8(a b c) 7(a + b c) 4(a b c)，其中 b = 2(2) 已知 a b= 2，求 2(a b) a+ b + 9 的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将a + b c, a b-c分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a, b的值，再代入求值，显然行不通，应视a b为一个“整体”。解析：(1)原式=3(a + b c) 7(a + b c) + 8(a b c) 4(a b c)=4(a + b c) + 4(a b c)=4a 4b +

16、 4c + 4a 4b 4c = 8b。 因为b= 2,所以原式=一 8x 2 = 16。(2)原式=2(a b) (a b) + 9=(a b) + 9 因为a b= 2,所以原式=2+ 9= 11。类型六：综合应用固7 .已知多项式 3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7)的值与 x 无关，试求 5a2 2(a 2 3a + 4)的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7) = 3ax2+ 6x 3 9x2 6x + 7 = (3a 9)x 2+ 4。 因为原式的值与 x无关，故3a

17、9 = 0,所以a= 3。又因为 5a 2(a 3a+ 4) = 5a 2a + 6a 8= 3a + 6a 8, 所以当 a= 3 时，原式=3 x 32 + 6X 3 8= 37。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。举一反三：变式1当a(x丰0)为何值时，多项式 3(ax 2+ 2x 1) (9x 2 + 6x 7)的值恒等为 4。 解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7) = 3ax2+ 6x 3 9x2 6x + 7 = (3a 9)x 2+ 4。因为(3a 9)x2+ 4 = 4，所以(3a 9)x 2= 0。又因为 0，故有 3a 9 = 0。即卩 a =3,所以当a= 3时，多项式 3(ax 2+ 2x 1) (9x2 + 6x 7)的值恒等于 4。变式2当a = 3时，多项式 3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)的值为多少？解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7) = 3ax2+ 6x 3 9x2 6x + 7 =(3a 9)x + 4，当 a = 3 时，原式=(3 x 3 9)x + 4= 4。8 .已知关于x的多项式(a 1)x 5 + x|b + 2| 2x + b是二次三项式，则a=, b =