面面垂直的判定和性质

1、平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分， 其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面。 1 1、半平面、半平面 l 面面垂直的判定定理和性质定理 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半 2、二面角的定义二面角的定义 3、二面角的平面角二面角的平面角 角角 的平面角的平面角 一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平的棱，并与两半平 面分别相交于射线面分别相交于射线PA、PB 垂足为垂足为P，则，则APB叫做二面叫做二面 A B P 平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角 记作：记作： 二面角二面角 A B P A

2、PB 与与 APB是否相等是否相等?相等相等(利用等角定理利用等角定理) 注：二面角的平面角取值范围是: 00,1800 2、二面角的平面角的特点、二面角的平面角的特点： 3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱角的顶点在棱 上上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 l O A B A O B (1) (2) 1、直二面角：平面角是直角的二面角是直二面角， 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就 说这两个平面垂直。 10 A B C D 问题问题2 引入引入 引入引入 问题问题 它就是本节课的内容之一：它就是本节课的内容之一：平面与平面垂平

3、面与平面垂 直的判定定理。直的判定定理。 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的 线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果 系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面 与地面垂直。与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？大家知道其中的理论根据吗？ 判定定理证明过程证明过程 平面与平面垂直的判定定理是：平面与平面垂直的判定定理是： 判定定理判定定理 证明证明判定方法判定方法 如果一个平面经过另一个平面的一条垂如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。线，那么这两个平面相互垂直

4、。 A B C D 判定定理判定定理证明过程证明过程证明 已知：直线已知：直线AB 平面平面 ，直线，直线AB 平面平面 。 求证：求证：平面平面 平面平面 。 判定定理判定定理 证明证明判定方法判定方法 A B C D E 判定定理判定定理 已知：直线已知：直线AB 平面平面 ，直线，直线AB 平面平面 。 求证：求证：平面平面 平面平面 。 证明：设证明：设 =CD =CD，则，则AB AB =B =B ， 在平面在平面内过内过B B点作点作BECDBECD。 证明过程证明过程证明证明判定定理判定定理判定方法判定方法 A B C D E C CD D A AB B CDCDABAB CDC

5、DBEBE C CD DA AB BE E是是二二面面角角 的的平平面面角角 BEBEABAB 9090ABEABE 。为为直直二二面面角角C CD D二二面面角角 平面平面。平面平面 BEBE ABAB 性质定理性质定理 问题 问题问题证明证明结论结论证明证明 过程过程发现发现 猜想猜想注注 在刚才的命题中，直线在刚才的命题中，直线AB，平面平面 ，平面，平面 有以下三种关系：有以下三种关系： 平平面面。平平面面 平平面面直直线线A AB B 平平面面直直线线A AB B 如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一 个条件作为结论构造这样的一个命题：个条件作

6、为结论构造这样的一个命题： 。平平面面直直线线A AB B 平平面面直直线线A AB B 平平面面平平面面 请判断命题的真假。请判断命题的真假。 性质定理性质定理 问题问题证明证明结论结论证明证明 过程过程发现猜想猜想注注发现发现 该命题是假命题。该命题是假命题。 由由平面平面 平面平面 ，平面，平面 内的直线内的直线AB不一定不一定 能与平面能与平面 垂直。垂直。 那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，那么在已有条件的基础上，再添加什么条件， 可使命题为真？可使命题为真？ C A B D A B C D 性质定理性质定理 问题问题证明证明结论结论证明证明 过程过程发现发现猜想注注猜想猜想

7、若增加条件若增加条件AB CD，则命题为真，即，则命题为真，即 。平平面面直直线线A AB B 平平面面直直线线A AB B 平平面面平平面面 C CD DA AB B C CD D平平面面平平面面 A B C D 问题问题结论结论证明证明 过程过程发现发现 猜想猜想注注证明证明 性质定理性质定理 已知：平面已知：平面 平面平面，平面，平面 平面平面=CD=CD， 求证：直线求证：直线ABAB平面平面。 ABCDABCD且且AB CD=BAB CD=B。A平面平面 ， A B C D E 提示：在平面提示：在平面内过内过B B点作点作 BECDBECD 问题问题证明证明结论证明过程证明过程发现

8、发现 猜想猜想注注结论结论 如果两个平面相互垂直，那么在如果两个平面相互垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的性质定理是：平面与平面垂直的性质定理是： A B C D 练习2 问题问题证明证明结论结论证明过程证明过程发现发现 猜想猜想注注注 性质定理性质定理 面面垂直面面垂直线面垂直；线面垂直； 平面平面 平面平面，要过平面，要过平面 内一点引平内一点引平 面面的垂线，的垂线，只需过这一点在平面平面 内作内作 交线的垂线。交线的垂线。 （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）（线是一个平面内垂直于两平

9、面交线的一条直线） C D A B C D A B 例例1题目题目解答解答 应用应用 例例1、已知直线、已知直线PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面， A为垂足。为垂足。求证：平面求证：平面PAC 平面平面PBD。 A B D P C O 例例1题目题目解答解答解答 例例1已知直线已知直线PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面， A为垂足。求证：平面为垂足。求证：平面PAC 平面平面PBD。 证明：证明： 。平平面面P PB BD D平平面面P PA AC C B BD DC C正正方方形形A AB BC CD D中中，A A B BD DP PA A 平平面

10、面A AB BC CD DB BD D 平平面面A AB BC CD DP PA A A AP PA AA AC C 平平面面P PA AC C平平面面P PA AC C，P PA AA AC C 平平面面P PA AC CB BD D 平平面面P PB BD DB BD D A B D P C O 例例2题目题目例例2解答解答 例例2已知直线已知直线PA垂直于垂直于O所在的平面，所在的平面， A为垂足，为垂足，AB为为O的直径，的直径，C是圆周上是圆周上 异于异于A、B的一点。的一点。求证：平面求证：平面PAC 平平 面面PBC。 例例2解答解答 例例2解答解答例2题目例例2题目题目 例例2

11、已知直线已知直线PA垂直于垂直于O所在的平面，所在的平面，A为垂足，为垂足， AB为为O的直径，的直径，C是圆周上异于是圆周上异于A、B的一点。的一点。 求证：平面求证：平面PAC 平面平面PBC。 证明：证明： 例例2解答解答 A AB B是是圆圆O O的的直直径径 的的一一点点C C是是圆圆周周上上异异于于A A、B B A AC CB BC C 平平面面A AB BC CP PA A 平平面面A AB BC CB BC C P PA AB BC C 平平面面P PA AC C平平面面P PA AC C，P PA AA AC C A AP PA AA AC C 平平面面P PA AC CB

12、 BC C 平平面面P PB BC CB BC C 平平面面P PB BC C。平平面面P PA AC C 判定方法判定方法判定方法证明证明判定定理判定定理证明过程证明过程 找二面角的平面角找二面角的平面角说明该平面角是直角。说明该平面角是直角。 （一般通过计算完成证明。）（一般通过计算完成证明。） 1、面面垂直的判定方法：、面面垂直的判定方法： （1）定义法：）定义法： （2）判定定理：）判定定理： 要证要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找两个平面垂直，只要在其中一个平面内找 到另一个平面的一条垂线。到另一个平面的一条垂线。 （线面垂直（线面垂直面面垂直面面垂直） 小结小结 3、“转化思想” 线面关系线线关系面面关系 线面平行线面平行线线平行线线平行 线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直面面垂直面面垂直 面面平行面面平行 2、两个平面