预备知识：高斯随机过程

1、预备知识预备知识 （三）（三） 高斯随机过程高斯随机过程 通信原理第四讲通信原理第四讲 随机过程（噪声信号）示例随机过程（噪声信号）示例 相关函数相关函数 R（t ，t+ ） 利用随机过程基础解决通信中问题利用随机过程基础解决通信中问题 随机过程随机过程(t)（噪声、信号）（噪声、信号） 数学期望数学期望 E(t) 方差方差 D(t) 统计、观测、计算统计、观测、计算 如果平稳如果平稳与时间起点无关与时间起点无关 E(t)=mD(t)=2 R（ ） 如果各态历经如果各态历经用时间平均代替集平均用时间平均代替集平均 aa 22 )()( RR 通信系统中所遇到的信号通信系统中所遇到的信号 与噪声

2、一般都能满足各态与噪声一般都能满足各态 历经条件历经条件 最终求出功率谱，从而获得了频率域最终求出功率谱，从而获得了频率域 上的功率分布，获得其带宽、功率性上的功率分布，获得其带宽、功率性 能，达到了研究通信系统的目的能，达到了研究通信系统的目的 数字特征的计算数字特征的计算 数学期望数学期望 方差方差 相关函数相关函数 dxtxxftmtE),()()( 1 2 1 2 2 2 )(),( tmdxtxfx tEtEttD ）（）（）（）（ 212111221 2121 ),( xddxttxxfxx ttEttR ， ），（ 2.3 随机信号分析 2.3 随机信号分析随机信号分析 随机过程

3、基础随机过程基础 高斯随机过程高斯随机过程 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 窄带随机过程窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 随机过程（噪声信号）示例随机过程（噪声信号）示例 为什么研究高斯过程 中心极限定理表明：中心极限定理表明： 一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机 变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影 响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。 高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪 声

4、，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯 过程的特性。过程的特性。 高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪 声的重要数学模型。声的重要数学模型。 高斯随机过程：定义 若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维（维（n=1, 2, ）分布都是正）分布都是正 态分布，则称它为高斯随机过程或态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。正态过程。 其其n维维 正态概率密度函数表示如下：正态概率密度函数表示如下： 为归一化协方差矩阵为归一化协方差矩阵 ）（；）（式中：式中： B atEtEa ax ax B B B tttxxxf kk

5、kkk n j k kk j kj n k jk n n nn 2 2 11 2/1 21 2/ 2121 )( 2 1 exp 2 1 ),( 高斯随机过程：重要性质 高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数学期望、个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。 只需要其数字特征，就可以确定高斯过程只需要其数字特征，就可以确定高斯过程 对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价 如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是 统计独立的。统计

6、独立的。 高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程 ），（），（），（ nn nn txftxftxf tttxxxf 2211 2121 ),( a=0， =1 一维高斯分布* ) 2 )( exp( 2 1 )( 2 2 ax xf a=+/-2， =0.8/1.2 一维高斯分布* ) 2 )( exp( 2 1 )( 2 2 ax xf a a dxxfdxxf dxxf 2 1 )()( 1)( 一维高斯分布的数值计算 在通信系统中，通常需要计算随机变量在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数大于某常数 的概率：的概率： aC QCXP d

7、z z Q dz z CXP ax z dx ax dxxfCXP aC C C ) 2 exp 2 1 )( 2 exp 2 1 ) 2 )( exp 2 1 )() 2 2 2 2 （ （ （ 无法直接无法直接 计算出计算出 查查Q数值数值 计算表计算表 一维高斯分布的数值计算 Q函数的意义函数的意义 面积面积=Q（ ） 0),(1)( 0)( 2 1 )0( 1)( QQ Q Q Q 查查Q函数表可以求出概率函数表可以求出概率 一维高斯分布的数值计算 误差函数误差函数 互补误差函数互补误差函数 X2时互补误差时互补误差 函数近似表示函数近似表示 Q函数与误差函函数与误差函 数关系数关系

8、0 22 )(dteerf t ）（ ）（ erf dteerfc t 1 2 2 21 )( eerfc ) 2 ( 2 1 )( erfcQ 一维高斯分布的数值计算 例例 0 1 1-0 0-1 误码率误码率 1错成错成0的概率加的概率加0错成错成1的概率，的概率， 已知均值、方差，查已知均值、方差，查Q表即可求出表即可求出 白噪声 信号在信道中传输时，信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声，常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随

9、机 过程。过程。 式中式中n0为一常数，单位是瓦为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自赫。白噪声的自 相关函数可借助于下式求得，即相关函数可借助于下式求得，即 2 0 n P ）（ )( 2 0 n R 高斯白噪声 如果白噪声又是高斯分布的，如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯我们就称之为高斯 白噪声。白噪声。 由由 可以看出，高斯白噪声在任可以看出，高斯白噪声在任 意两个不同时刻上的取值之间，是统计独立的。意两个不同时刻上的取值之间，是统计独立的。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分实际中是

10、不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分 布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就 可以把它视为白噪声。可以把它视为白噪声。 )( 2 0 n R 2.3 随机信号分析 2.3 随机信号分析随机信号分析 随机过程基础随机过程基础 高斯随机过程高斯随机过程 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 窄带随机过程窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 随机过程通过线性系统 确知信号通过线性时不变系统时确知信号通过线性时不变系统时 线性时不变系统线性时不变系统 ）（ ）（ X tx ）（ ）（ H th ）（ ）（ Y ty ）（）（

11、）（ ）（）（）（ HXY thtxty 随机过程通过线性系统 平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立 线性时不变系统线性时不变系统 ）（ ）（ ）（ ）（ P R tE t ）（ ）（ H th dth thtt ）（）（ ）（）（）（ ）（ ）（ ）（ ）（ P R tE t ？ 随机过程通过线性系统 输出过程的数学期望输出过程的数学期望 ）（ ）（ 0)( )()()( )()( 0 Hadeha dhadtEh dthEtE j 输入直流分量输入直流分量 与直流增益的积与直流增益的积 随机过程通过线性系统 输出过程的自相关函数输出过

12、程的自相关函数 )()()( )()()( )()()()( )()()()( 21 21 2121 Rhh dudvvuRuhvh dvduvtutEvhuh dvvtvhduutuhE ttEttR ）（）（），（ 输出也是平稳输出也是平稳 过程过程 随机过程通过线性系统 输出过程的功率谱密度输出过程的功率谱密度 ）（）（ ）（）（）（）（ ）（ PH PHHP RhhR 2 )()()( “功率功率”谱增益谱增益 随机过程通过线性系统 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 线性时不变系统线性时不变系统 ）（ ）（ ）（ ）（ P R tE t ）（ ）（ H th ）（）（）（ ）（

13、）（）（）（ ）（）（ ）（）（）（ PHP RhhR HatE ttht 2 0 随机过程通过线性系统 例例:输出过程的概率分布输出过程的概率分布 从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通 过下式：过下式： 总可以确定输出过程的概率分布，其中一个十分总可以确定输出过程的概率分布，其中一个十分 有用的情形是：有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，如果线性系统的输入过程是高斯型的， 则系统的输出过程也是高斯型的则系统的输出过程也是高斯型的。但要注意，由于线。但要注意，由于线 性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数性系统的介入，与输入高

14、斯过程相比，输出过程的数 字特征已经改变了。字特征已经改变了。 dth thtt ）（）（ ）（）（）（ 随机过程通过线性系统 例题：例题：带限白噪声带限白噪声 试求功率谱密度为试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的的白噪声通过理想矩形的 低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均 功率。理想低通的传输特性为：功率。理想低通的传输特性为： 0 e H t -j 0 K H）（ 随机过程通过线性系统 HO n KP 2 0 2 0 ）（ H H H rj oo nK dePR sin 2 )( 2 1 )( 0 2 0 fO Po() O

15、 Ro() fHf H n0 2 K0 2 1 2fH 1 2fH K0n0 fH 2 2.3 随机信号分析 2.3 随机信号分析随机信号分析 随机过程基础随机过程基础 高斯随机过程高斯随机过程 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 窄带随机过程窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 窄带随机过程 窄带窄带( (带通带通) )信号信号( (过程过程) )示意示意 通信中信号与噪声都满足通信中信号与噪声都满足“窄带窄带”假设，即假设，即 ffc。f为信号带宽，为信号带宽，fc为载频。其包络和相为载频。其包络和相 位相对于位相对于fc是缓慢变化的，波形和频谱示意如下是缓慢变化的

16、，波形和频谱示意如下: : f c -f c )(s 0 ff f t s(t) 缓 慢 变 化 的 包 络 a(t) 频 率 近 似 fc 窄带随机过程 窄带信号的两种描述方法窄带信号的两种描述方法 包络与相位参数的描述方法包络与相位参数的描述方法 同相分量和正交分量的描述方法同相分量和正交分量的描述方法 两种描述方法对随机过程仍然适用两种描述方法对随机过程仍然适用 ）（）（）（tttAtX XcX cos ）（）（）（ ）（）（）（ ）（）（）（ ttAtX ttAtX ttXttXtX XXQ XXI cQcI sin cos sincos 窄带随机过程 ）（ tX I ）（ t X ）

17、（ tA X ）（ tX Q 窄带随机过程的性质 数学期望数学期望 0 0 sincos sincos sincos ）（）（必必然然 ）（如如 ）（）（ ）（）（）（ ）（）（）（ tXEtXE tXE ttXEttXE ttXttXEtXE ttXttXtX QI cQcI cQcI cQcI 窄带随机过程的性质 相关函数相关函数 Rx是平稳过程，与是平稳过程，与t无关无关 ）（）（）（ ）（）（）（ ）（）（）（ ）（）（）（ ）（）（），（ tttXtXE tttXtXE tttXtXE tttXtXE tXtXEttR ccQQ ccIQ ccQI ccII X sinsin cos

18、sin sincos coscos 0 t c t 2 窄带随机过程的性质 cQIcQX cIQcIX RRR RRR sincos sincos ）（）（）（ ）（）（）（ 广广义义平平稳稳 ）（）（tXtX QI ）（）（ ）（）（ QIIQ QI RR RR ）（）（ 互互相相关关函函数数的的性性质质： IQQI RR 000 000 222 ）（）（ ）（）（）（ IQQI QIXQIX RR RRR 方差相等方差相等 相相互互独独立立 ）（）（tXtX QI 窄带随机过程的性质 输入为高斯过程时输入为高斯过程时 根据平稳性，因此：根据平稳性，因此：I、Q分量也是高斯过程分量也是高斯过

19、程 一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分 量量I和正交分量和正交分量Q也是平稳高斯过程，也是平稳高斯过程， 而且均值都为而且均值都为 零，方差相同，零，方差相同， 在同一时刻同相分量和正交分量互在同一时刻同相分量和正交分量互 不相关。不相关。 )()( 2 )()( 0 sin)(cos)()( 22 2 11 1 tXtX t tXtX t ttXttXtX Q c I cIcI 高斯变量高斯变量 包络和相位的统计特性 将同相与正交的联合分布函数进行二维转换，将同相与正交的联合分布函数进行二维转换， 变成包络与相位的联合变成包络与相位的联合PD

20、F Q x I x X A X XXQ XXI Ax Ax sin cos XXQ XXI Ax Ax QIQI XX xxJxxf Af sin cos ），（），（ ），（ 包络和相位的统计特性 Q x I x X A X XXQ XXI Ax Ax sin cos 2 2 22 22 2 2 exp 2 1 2 exp 2 1 X X XX QI X QIQI A xx xfxfxxf ）（）（），（ 相互独相互独 立立 包络和相位的统计特性 200 2 exp 2 2 2 2 sin cos XX X X X X XX X Q X Q X I X I QI Ax Ax QIQI XX

21、A AA Af x A x x A x xxJ xxJxxf Af XXQ XXI ， ），（ ），（ ），（），（ ），（ 利用雅各比利用雅各比 行列式行列式 包络和相位的统计特性 20 2 1 2 exp 2 0 2 exp 2 exp 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 X X X X X X XXXX X X X X X X X X X X XXXX dA AA dAAff A AA d AA dAfAf ），（）（ ），（）（ 包络包络 符合符合 瑞利瑞利 分布分布 相位相位 符合符合 均匀均匀 分布分布 求条件求条件 边际分布边际分布 窄带高斯噪声 高斯噪声时域波形

22、高斯噪声时域波形 近似高斯白噪声近似高斯白噪声 频谱示意图频谱示意图 窄带滤波窄带滤波 窄带高斯噪声示窄带高斯噪声示 意图意图 包络符合瑞利分布包络符合瑞利分布 平稳高斯过程通过窄带系统输出结论平稳高斯过程通过窄带系统输出结论 一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的 同相分量同相分量I和正交分量和正交分量Q也是平稳高斯过程，也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差相同，而且均值都为零，方差相同， 在同一时刻同在同一时刻同 相分量和正交分量互不相关。相分量和正交分量互不相关。 均值为零的窄带平稳高斯过程均值为零的窄带平稳高斯过程 ，其包络符，其包络符 合瑞利分布

23、、相位符合均匀分布。合瑞利分布、相位符合均匀分布。 2.3 随机信号分析 2.3 随机信号分析随机信号分析 随机过程基础随机过程基础 高斯随机过程高斯随机过程 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 窄带随机过程窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 发送端信道接收端 噪声源 窄带调制后，窄带调制后， 近似为高频近似为高频 正弦波正弦波f c -f c )(s 0 ff f t s(t) 缓 慢 变 化 的 包 络 a(t) 频 率 近 似 fc 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 f c -f c )(s 0 ff f t s

24、(t) 缓 慢 变 化 的 包 络 a(t) 频 率 近 似 fc )(cos)( sincos sinsin coscos cos tttz ttzttz ttnA ttnAtr tntAtr c cQcI cQ cI c ）（）（ ）（ ）（）（ ）（）（）（ 等效为同相等效为同相 正交分量正交分量 222 sin cos nzz Q I Q I AtzE AtzE ）（ ）（ 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 同相、正交分量的联合概率密度同相、正交分量的联合概率密度 包络、相位联合概率密度包络、相位联合概率密度 求包络、相位的条件边际分布求包络、相位的条件边际分布 同相、正交分量相互独立的高斯过程同相、正交分量相互独立的高斯过程 雅各比行列式进行变换雅各比行列式进行变换 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 0)()( 2 1 exp)( 2 0 22 22 z Az IAz z zf 2 )cos( 1)(sin 2 exp )2(2 )cos( 2 ) 2 exp( )/( 2/1 2 2 2 2/1 2 2 A erf A A A f 广义瑞利分布，莱斯分布广义瑞利分布，莱斯分布 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 2 2 2 2 0 A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 01346578 1 24