有理数与无理数.doc

1、谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育阶 段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的 知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、山于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小 数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即仝，其中m和n都是整数，且nnHO。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不 为0）四则运算所得的结果仍是有理数。我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：当有理数殳的分母n能分解质因数为2X5”（其中ci、B为自然

2、数）时， n有理数殳能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小数的互 n化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，、伍、e、兀等等 都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四则运 算结果不一定是无理数，象根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理 与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数H任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b, a-b, a b （a#0）, a/b （aHO）都 是无理数。下面着重介绍实数无理性的判定方法。在现行初中数学范用内

3、所遇到的无理数主要有这样儿种类型：与开方运算有 关，如忑，VFT :与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20 , sinl ；此外还有象e （自然对数的底）、n （圆周率）这样的特殊值。判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。 原因有二：笫一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否 定方式给岀的；第二、当反设要判定的实数C1不是无理数时，山有理数和无理数 的关系，a就是有理数，故a=- （nHO）,于是就得到一个具体的等式，这为 n我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍儿种常见的初等方法，主要 适用于前三类无理数的判定。一利

4、用整数的性质整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。例1求证：亦是无理数。证明：反证法。设岳是有理数，则应=牛（牛为既约分数）。将两边平 方并整理，得6n2=m2,（1）由于6卍是偶数,因此rr?是偶数,从而m是偶数，设m=2k,代入（1）式, 得6n2=4k2,（2）化简得3n2=2k2o同理31?也是偶数，而3是奇数，所以n是偶数。这与原假设仝 n 为既约分数矛盾。故后是无理数。请证明：V2+V3是无理数。二、利用算术基本定理算术基本定理是数论中的重要定理，它不仅在数论而且在其它数学问题中都 有着广泛的应用。有时它也被称作整数的唯一分解定理，内容如下：对于任意的自然数N

5、（NHO, 1）,它总可以唯一地分解成一些质数相乘的 形式。即N=P1P2Ps，其中Pl、P2、Ps都是质数,并且PlWp2WWps。例2求证：运是无理数。证明：反证法。设血是有理数，则V2=-（其中m和n都是自然数）。n将两边平方并整理，得2n2=m2o（1）山于m和n都是自然数，则根据算术基本定理，它们都可以分解为质数的乘 积，设 m二pip2ps，n=qiq2*-q（其中每一个p和q都是质数。代入（1）式，得2 （qiq2q（）2=（pip2ps） 2（2）由于2也是质数，故（2）式的左右两边均是一些质数的乘积，并且结果都 是自然数，既然相等，那么左右两边质数个数应该相同。但这是不可能的

6、，因为 （2）式左边共有2t+l个质数，而右边却是2s个质数，奇数不可能等偶数。说 明我们假设血是有理数是错误的。故运是无理数。从以上的证明过程可以发现，2的作用就在于它是一个质数，这样可以推想: 对于任意的质数p,都是无理数。与根式有关的无理数还有很多，基本上都有可以利用算术基本定理解决。下 面的两个问题更具有一般性。问题1若n, N均是自然数（nHO, 1）,而且帧不是整数，则阿是无 理数。问题2幕函数尸阪（nl的自然数），当x取无理数时，y值必为无理 数；而仅当x表成既约正分数的分子和分母均是整数的n次完全乘方数时，y值 才是有理数。请证明：丽是无理数。例3求证：log221是无理数。证

7、明：反证法。设log221是有理数，B|J log221=-（其中m和n都是自然 n数）。由对数定义，得27=21,两边n次方，得2m=21% 由于 21=3 7,则2-=3n 化 显然这个等式是不能成立的，因为2, 3, 7都是质数，这样等 式左右两边岀现的质因数不相同，这与算术基本定理矛盾。故log221是无理数。关于对数值的无理性有以下结果：设a, b均为正整数，并且其中之一包含 的某个质因数不为另一个所包含，贝0 logab是无理数。三、利用整系数方程有理根的性质在一元多项式方程的理论中，有一个关于整系数一元方程是否有有理根的重 要定理，即设一元k次方程为noxk+n! xk1+ +n

8、k-1 x+nk=0（*）其中no, -nk.H nk均是整数，这样的方程称为整系数方程。如果殳（nnHO）是方程（*）的一个有理数根，则（1）m 一定是nk的约数；（2 ） n 定是no的约数。在利用这个定理判定实数a的无理性时，需有以下三个步骤：（1）构造一个整系数多项式方程，使得。是它的根；（2）求出no和nk的所有因数，只有它们的组合才能是方程的有理根；（3）检验这些组合是否为方程的根，于是或者方程没有有理数根，而Q是 方程的根，故。为无理数；或者方程有有理数根，但经比较这些有理根都与a不 相等，从而。为无理数。例4求证：cos20是无理数。证明：讨论三角函数值的无理性时，三角函数公式

9、起着非常重要的作用。首先注意到余弦函数的三倍角公式，即cos3 0 =4cos3 0 -3cos 0 ,将0 =20 代入公式，有cos60 =4cos320 -3cos20 ,由于 cos60 =,则有2_ =4cos320 -3cos20c ,整理，得28cos320 -6cos20 -1=0,（1）这说明cos20是整系数方程8x、6x40的根。山定理方程（1）若有有理根仝，则m定是-1的因数，n是8的因数，从而仝只可能是1, 土丄，土丄， nn24丄，逐一检验可知，它们均不满足方程(1),故方程(1)只可能有无理根， 8即cos20是无理数。请证明：迈-是无理数。四、利用“有理数不等于

10、无理数”这一基本性质例5设m和n是两个正有理数，并且陌和亦都是无理数。求证：、血+亦 是无理数。证明：首先我们知道有(yfm +y/n ) ( y/m -y/n ) =mn( 1)和(+yfn ) + ( yfm yii ) =2 yfm (2)设J乔+乔是有理数。则由(1)式，得原-麻=H，由于屎+長是有理数，叶n也是有理数，则根据 J m + y/n有理数的性质，扬-丽也必是有理数：进一步由(2)式，得(ym +yn ) + ( ym-4n ) =2yfm是有理数，这显然与已知J亦是无理 数矛盾。故、飯+、斤是无理数。由以上证明可以看出：J乔+亦和扬-乔的有理性无理性是相同的。作为 特例有

11、血+盯和血-巧都是无理数。一般地，请证明：近+ +麻(n是大于1的自然数)是无理数。例6求证：若有有理数a, b, c使得a+b y/2 +c V3 =0(1)成立，则a=b=c=0o证明：反证法。分情况讨论如下：i)a, b, c中只有一个不为0。当aHO, b=c=O时，有a=0,矛盾；当bHO, a二c=0时，有b血二0,矛盾；当 cHO, a=b=O 时，有 c/3=0,矛盾。ii）a, b, c中恰有两个不为0。当 a=0,b, cHO 时,有有理数严令易证-备是无理数,矛盾;当 b=0,a, cHO 时,当 c=0,a, bHO 时,iii)a b, c 全不为 0。a+b yj2

12、 =_c /3有有理数-=-V3,矛盾;c有有理数-=-V2,矛盾。 b（1）式可变形为那么(2)将（2）式两边平方，得(a+by2 ) 2= (-cVJ )整理为a+2、/2 ab+2b2=3c2,将用Cb b, C表示，有2ab(3)b, c均为不为0的有理数，从而右边是一（3）式左边是一个无理数；由于a, 个有理数，岀现“无理数二有理数”的情形，矛盾。综上述，待证结论正确。作为结束，我们再给出一个是无理数的例子。例7求证：无限小数A=0.1010010001-（相邻两个1之间0的个数逐次加 1）是无理数。证明：反证法。若A是有理数，则它必是无限循环小数。设其循环节的长 度为t,显然tHl。一方面，根据A的构造，1CP+I 定出现在A的某一位置上, 即在A中有一个包含2t+l个0的片