有理数的运算讲义.doc

1、有理数的运算一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根拯有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确泄和的符号：求和的绝对值，即确怎是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位巻，和不变.a + b = b + a (in法交换律) 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(“ + b) + c = “ + (b + c)(加法结合

2、律) 有理数加法的运算技巧： 分数与小数均有时，应先化为统一形式.带分数可分为整数与分数两部分参与运算. 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.a-b = a + -b)有理数减法的运算步骤：把减号变为加号(改变运算符号)把减数变为它的相反数(改变性质符号)把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法： 省略加号与括号：利用运算律及技巧简便计算

3、，求岀结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依拯上述法则转变为只有加 法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括 号均省略，写成省略加号和的形式.例如：(+3) + (-0.+ (-9) + (+5) + (-11) = 3-0.15-9 + 5-11,它的含义是正 3,负 0.15,负 9,正 5,负 11 的 和.【例 1 】 计算：(-2.39) + (-1.57) + (+3-) + (-5-5-) + (-2-) + (-7.61) + (-32-) + (+1.57)6 767312

4、i|-W： 1-2-1.75 + 3-21?计算：(+738) - (+7&36) -(-53) + (-13.64)-(-43)2323【巩固】若/?0、贝Ij ab【巩固】若avO, b-1991,按一定的规律排列,那么这串数中前个数的和最小.【例2】 计算:（一3）-（+ + （-35）-（一14）：【例5】设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1,“+方，“的形式，又可分别表示为的形式，则“2004 +/严1 =【例6】给岀一连串连续整数：-203, -202,.,2003, 2004,这串连续整数共有个：它们的和是【例7】1997个不全相等的有理数之和为0,则这1997个有理数中（）

5、A.至少有一个是零B.至少有998个正数C.至少有一个是负数D.至多有995个是负数【巩固】若abOcd,则以下四个结论中，正确的是（）月a + h+c + d 一定是正数.B. + ? “一/?可能是负数C. 一 c一”一“ 一泄是正数.D. c-d-b-a 一左是数.【例8】北京市2007年5月份某一周的日最髙气温（单位：C）分别为：25, 28, 30, 29, 31, 32, 28,这周的日最髙气温的平均值为（）A. 28 CB. 29 CC. 30D. 31 C【例9】超市新进了 10箱橙子，每箱标准重量为50仗，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数,不足的千克数记为

6、负数）:+0.5, +0.3, -0.9, +0.1, +0.4, -0.2, -0.7, +0.8,-0.3, +0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？【巩固】电子跳条在数轴上的某一点K。，第一步K.向左跳1个单位到点 ,第二步由点K,向右跳2个单位到点K2, 第三步有点心向左跳3个单位到点心，第四步由点心向右跳4个单位到点，按以上规律跳了 100步时，电子跳虽落在数轴上的点所表示的数恰好是19.94 .求电子跳条的初始位宜点K.所表 示的数.二、有理数基本乘法、除法I :有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律： 两个

7、数相乘，交换因数的位置，积相等.ab = ba (乘法交换律) 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.abc = u(bc) 法结合律) 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.a(b + c) = ab + ac法分配律)有理数乘法法则的推广： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决立，当负因数的个数是偶数时，积为正数：负因数的个 数是奇数时，积为负数. 几个数相乘，如果有一个因数为0,则积为0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分：若有小数及分数，一般先将小数化为分数， 或凑整计算：利用乘法分配律及其逆用，也可简

8、化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例10】(-3)x(-4)-5x-8- 2x(-6)计算：12彳2卜 1* + 1卜1甘【例11】计算:(3)x3X 117 3 5【巩固】计算：芯+汽一)x(-36)计算：36x(* +卜卜冷.【例12】(1 + 3)(1 + 24)(1 + 35)-1 + 987I3o|(1 +199x101的值的整数部分是【例13】设“(n22)个正整数q，6，$，.，d”，任意改变他们的顺序后，记作b，S，S 若户=(“】-勺)仏-妨)仏-*)(”-化)，则0, b、c 同号B. b0 , a y c 异号C. c0, a

9、、方异号D. a、b、c同号【巩固】若，b, f三个数互不相等，则在g, 二中，正数一泄有()A. 0个C. 2个D. 3个n：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于o的数，等于乘这个数的倒数丄,（心0）b两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除:0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确左商的符号，然后再求出商的绝对值.【例17】计算:计算:(吗卜(TO)【巩固】讣算:5315计算：十詁汀75）x（巧） +#【例18】用或“V填空（1）如果竺0,心0那么b0 :c（3）如果 0 t - 0 试确泄ac的符号. bc如鹫0,、。那么”0.【例19】观察下而的式子：2

10、x2 = 42+2 = 4：丄2 1-3丄4 456 =- 3 4 5 + + + 3-2 4 一3 5一4 1 一 2 1 -3 1 -4 456 - 3 4 5 XXX3 一2 435-4（i）小明归纳了上而各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳岀一个猜想，并证明你的猜想【例20】已知a、互为相反数，c、互为负倒数，入的绝对值等于它相反数的2倍.求 x3 + ahcdx + “ 一bed 的值.【例21】计算：（1 +扣（吋）x（叫如扣（1 +护（”（戶）x（卜映（卜1）三. 有理数的混合运算顺序（1）“先乘方，再乘

11、除，最后加减”的顺序进行：（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。四、有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕（power） a中，a叫做底数（base number）, n 叫做指数（exponent ）根据有理数的乘法法则可以得岀：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数。正数的任何次幕都是正数，0的任何正整数次幕都是0。五. 有理数常考经典计算题型一.应用定律【例22】计算:10-10r5.2x14-591x5.2 + 5.4x3-4.6x115102二、应用公式【例23 i|-算：103x97x10009

12、计算：（2 + 1）（22 +1）（24 +1）（2 +1）（2 +1）（232 +1）三.整体代换【例24】计算:1,1 1+ + +2 32004,2003,1 1 1IF +2004 A 2 3 2003 7四、裂项【例25】计算:（1 +丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄）x1228 24 48 80 120 168 224 288五.分离法1 3312 15【例26】计算：8丄一3二+ 13二一2丄一6二一4丄+二2 58 6 5 3 8【例27】1,数轴的原点O上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B点. 求O、3两点之间的距离（用单位长度表示）. 若点C与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O点多远？【例28】2,形(1)(2【例29】3,【例30】4,【例31】5,【例32】6,【例33】7,在数学活动中,小明为了求卜茅茅吕请你用这个几何图形求扫存卄+存勺值(结果用“表示),设计了如图所示的几何图请你用图2,再设计-个能求卜存卜.+的值的几何图形（1998_1）（1997_1）（1996_1）（1000_1）=如果 b,