整式的乘法与因式分解教师版讲义.doc

1、。环球雅思教育集团教师讲义辅导科目：数学学员姓名：年 级：九学科教师：胡静婷课时数： 3k第 _2_次课课题整式的乘法与因式分解课 型预习课同步课复习课习题课授课日期及时段2015年3月 14日F段1. 掌握整式的加减、乘除，幂的运算；并能运用乘法公式进行运算;2. 掌握幂的运算法则，并会逆向运用；教学目的3. 熟练运用乘法公式；4. 掌握整式的运算在实际问题中的应用。1. 能运用乘法公式进行运算,掌握幂的运算法则，并会逆向运用；重点与难点2. 熟练运 用乘 法公 式 , 掌握整式的运算在实际问题中的应用。教学内容整式的乘法一、 整式的乘法（一）幂的乘法运算一、知识点讲解：1、同底数幂相乘：

2、a ma n推广： a n11a n2a n3a nnan1 n2n3nn （ n1 , n2 , n3 , nn 都是正整数）2、幂的乘方： amn推广： (an1 )n 2n3a n1n 2n3（ n1 ,n2 , n3 都是正整数）3、积的乘方： abn推广： ( a1 a2 a3am ) na1n a2n a3namn二、典型例题：精选资料，欢迎下载。例 1、（同底数幂相乘）计算：（1） x2 x5（2） ( 2)9( 2)8( 2)3变式练习：1、a16 可以写成（）A a8+a8B a8 a2Ca8a8D a4 a42、已知 2 x3,那么 2x 3 的值是。3、计算： (1) a

3、? a 3?a5（2） ( x) 2x 5（3）x3x 3x2x2（4）( + ) n( x+y) m+1x y（5）（ n m）（ mn）2 （ nm）4例 2、（幂的乘方）计算：（1）（ 103）5（2）( a3 m ) 2（3）2xy 2 5(4)( mn) 2 ( nm) 3 5变式练习：1、计算（ x5） 7+（ x7） 5 的结果是（）A 2x12B 2x35C 2x70D 0精选资料，欢迎下载。2、在下列各式的括号内，应填入b4 的是（）A b12=（ ）8B b12=（）6C b12=（ ）3D b12=（ ）23、计算：（ 1）34（ ）a4 22 3( m)2a（3）243

4、53410238p( p)(4)）+m m+m mm( p)（ m例 3、（积的乘方）计算：（1）（ ab） 2（2）（ 3x）2（3） (3a 2b3 c) 3变式练习：1、如果（ ambn）3 =a9b12，那么 m， n 的值等于（）Am=9， n=4B m=3，n=4C m=4，n=3Dm=9，n=62、下列运算正确的是（）(A) x x2x 2(B)( xy) 2xy 2(C)( x 2 ) 3x6(D) x2x2x43、已知 xn=5， yn =3，则（ xy）3n=。4、计算：（ 1）（ a）3（2）（ 2x4）3（3）4 1042（二）整式的乘法精选资料，欢迎下载。一、知识点讲

5、解：1、单项式单项式（1）系数相乘作为积的系数（2）相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式（3）单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式注意点：单项式与单项式相乘，积仍然是一个单项式2、单项式多项式单项式分别乘以多项式的各项；将所得的积相加注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数相同3、多项式多项式先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。二、典型例题：例 1、计算：（ 1） 3ab21 a 2b) 2abc32224(（ ）xy) (x y4xyy)32(233（3）(x-3y)(x

6、+7y)（ 4） (x 1)(x 1)( x21)变式练习：、计算：（xm1z322222221）(4) x yz)(2) ( a b) (ab a b a)1(22（3）(x+5)(x-7)(4)1 ( a 5)( 2a 1).2精选资料，欢迎下载。(5) 5ab3 ?（ a 3b）（ ab 4c）（6） 8m(m 23m 4) m2 (m 3)2、先化简，后求值： (x 4)(x 2) (x 1)(x 3) ，其中 x5 。2（三）乘法公式一、知识点讲解：1、平方差公式：a ba b；变式：（ 1） (ab)(ba)； （ 2） ( ab)(ab)；（3） ( ab)( ab) =； （

7、4） (ab)(ab) =。2、完全平方公式： (a b) 2 =。公式变形：（ 1） a 2b 2(a b) 22ab (a b)22ab（2） (ab) 2(ab)24ab ； （3） (ab) 2( ab) 24ab（4） (ab) 2(ab) 24ab ； （5） (ab)2(ab) 22(a2b 2 )二、典型例题：例 、计算：（1）(x2)(x2)（ ）a)(-5a)22 (5精选资料，欢迎下载。（3） ( 2x5 y)( 2x5y) （4）3x 2y 2y 23x 2变式练习：、直接写出结果：（1） (xab x ab； （ ）xy)(2x y；1)()=2 (255 )=（ ）

8、x y)(xy)=；（ 4）(12 b2)(b212)_；3 (5) (-2x+3)(3+2x)=；（ 6）（ a5 -b 2）（ a5+b2）=。2、在括号中填上适当的整式：（ ）（ mn）（22 x）（） x2）nm； （ ）（121 3193、计算：（ 1） 2a 5b2a5b（ 2） (3a2b)(3a2b).22（3）16（ ）2n2)(2109 mn 2)74 (m75、已知 x 2y26, xy20 ，求 xy5 的值。变式练习：1. 已知 a，b， c 是ABC 的三边，且 a2b2c2abbcca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形B等腰三角形C等边三角形D 等腰直角三

9、角形2. 分解因式： 3(x+y) 2-27精选资料，欢迎下载。课后作业1、设 (3m2n) 2(3m2n) 2p ，则 P 的值是（）A 、 12mnB、 24mnC、 6mnD、 48mn2、若 x2 - 6 xk 是完全平方式，则k=3、若 a+b=5，ab=3，则 a2b2 =.4、若 (x1) 22 ，则代数式 x22x5的值为。5、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： (ab)2a 22abb2 , 你根据图乙能得到的数学公式是。6、已知： a15, a21_ aa27、计算：（1）（ 3a+b） 2（2）( 3x25y) 2（

10、3）(5x-3y) 2（4）( 4x32 2mn ab）2（ ）a b c)27y )（5）（356(8、化简求值： (2x 1)( x 2) ( x 2) 2(x 2)2 ，其中 x1129、已知 (xy) 249 ， ( xy) 21，求下列各式的值：（1） x 2y2 ；（ 2） xy 。精选资料，欢迎下载。专题讲解一、分组分解法（一）分组后能直接提公因式1、分解因式： 2ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay)(5by bx)原式 =( 2axbx)( 10ay5by )=2a(x5y

11、)b(x 5y)=x(2ab)5 y(2ab)=( x 5y)(2ab)=(2ab)( x5 y)（二 ) 分组后能直接运用公式2、分解因式： x 2y2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =( x2y 2 )( axay )=( xy)( xy)a( x y)=( xy)( xya)3、分解因式： a 22ab b2c 2二、十字相乘法（一）二次项系数为1 的二次三项式精选资料，欢迎下载。直接利用公式x 2( pq)xpq(xp)( xq) 进行分解。特点： （1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数

12、的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。十字相乘的基本规律 ：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求b24ac 0 而且是一个完全平方数。1、分解因式： x 25x6分析： 将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2) (-3)=1 6=(-1)(-6) ，从中可以发现只有23 的分解适合，即 2+3=5。解： x 25x6 = x2(2 3) x 2 31213=(x2)( x3)12+1 3=5用此方法进行分解的关键： 将常数项分解成两个因数的积， 且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。2、分解因式： x 27 x6解：原式 = x 2(

13、1) (6) x (1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7（二）二次项系数不为1 的二次三项式 ax 2bxc条件：（ 1） aa1 a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2（ 3） b a1c2a2 c1b a1c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 x c1 )(a2 xc2 )3、分解因式：3x 211x 10分析：1-2精选资料，欢迎下载。3 -5（ -6 ）+（-5 ）= -11解： 3x211x10 =( x2)(3x5)（三）二次项系数为1 的二次多项式4、分解因式： a 28ab128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式

14、看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab128b 2 = a2 8b ( 16b)a 8b( 16b)=(a8b)(a 16b)（四）二次项系数不为1 的二次多项式例 9、 2x27xy6 y 2例 10、 x 2 y 23xy 21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2y)(2x3y)解：原式 =( xy1)( xy 2)三、换元法1、分解因式（ 1） 2005x 2(2005 21) x 2005（ 2） (x 1)( x

15、 2)( x 3)( x 6) x2解：（ 1）设 2005=a ，则原式 = ax 2( a 21)x a=(ax 1)( xa)=(2005x1)( x 2005)（2）型如 abcde 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。精选资料，欢迎下载。原式 = (x 27 x 6)( x 25x 6) x2设 x25x 6A ，则 x27 x 6 A 2x原式 =(A2x) A x2 = A22 Ax x 2=( A x) 2 = ( x26x 6) 22、分解因式（ 1） 2x4x36x2x2观察：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多

16、项式属于“等距离多项式”。方法： 提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x 2 (2x2x6112 ) = x 22( x 212 )(x1 )6xxxx设 x1t ，则 x 21t 22xx2原式 =x2222)t6= x22t2t10（ t=x 2 2t5 t2 = x 2 2x25 x12xx=212 =2x25x 2 x22x 1x 2 xx5 x xx=(x1) 2 (2x1)( x2)（2） x44x 3x 24x1解：原式 =x2( x24x141)= x2x214 x11x2x2xx设 x1y ，则 x21y22xx211原式 = x2 ( y24

17、y3) = x2 ( y1)( y3) = x2 ( x1)( x3) = x2x 1 x 23x 1xx四、 添项、拆项、配方法1、分解因式（1） x33x24解法 1拆项。解法 2添精选资料，欢迎下载。原式 =31323原式= x33x24x 4x 4xx= ( x1)( x2x 1) 3( x 1)( x 1)= x( x23x4) (4 x 4)= (x1)( x 2x 1 3x3)=x( x 1)( x 4) 4(x 1)= (x1)( x 24 x4)=( x 1)( x 24x 4)= ( x 1)( x 2) 2=( x 1)( x 2)2（2） x9x6x33解：原式 = (

18、 x91)( x 61) ( x 31)= (x31)( x6x31) ( x31)( x31) ( x31)= (x31)( x6x31x31 1)= (x 1)( x2x1)(x 62x33)五、待定系数法1、分解因式 x2xy6y 2x13y6分析：原式的前3项 x 2xy6 y2可 以 分 为 ( x3 y)( x2y) ， 则 原 多 项 式 必 定 可 分 为( x 3ym)( x2 yn)解：设 x 2xy6 y 2x13 y6 =( x3 ym)( x 2 yn) (x 3ym)( x2 yn) = x2xy6 y 2(m n) x (3n2m) y mn x2xy6y 2x1

19、3y6 = x 2xy6y2( m n) x(3n2m) ymnmn113 ，解得 m2对比左右两边相同项的系数可得3n2m3mn6n原式 = (x3y2)( x2y3)2、（ 1）当 m为何值时，多项式x 2y 2mx5 y6 能分解因式，并分解此多项式。（2）如果 x3 ax2bx8 有两个因式为 x1和 x2 ，求 ab 的值。精选资料，欢迎下载。（1）分析： 前两项可以分解为 ( xy)( xy) ，故此多项式分解的形式必为( x y a)( x y b)解：设 x 2y 2mx5 y6 = (xya)( xy b)则 x2y 2mx5y6 = x2y2( a b) x (b a) y

20、 ababma2a 2比较对应的系数可得：ba5 ，解得： b3或 b3ab6m1m1当 m1时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = (xy2)( xy3) ；当 m1时，原式 = (xy2)( xy3).（2）分析： x3 ax 2bx8 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 xc 的一次二项式。解：设 x3ax 2bx8 =( x 1)( x2)( xc)则 x3 ax2bx8 = x3 (3 c) x2(2 3c)x 2ca3ca7 b23c解得 b14 ，2c8c4 a b=21注意一因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各

21、项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解精选资料，欢迎下载。二从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法三因式分解要注意的几个问题：每个因式分解到不能再分为止相同因式写成乘方的形式因式分解的结果不要中括号如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“- ”号，使括号内的第一项系数为正数因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面巩固

22、练习：A组一、选择题1、下列各式运算正确的是（）A. a 2a3a5B. a2 a 3a 5C. ( ab2 )3ab 6D. a10a2a 52、计算2x2 (3x3 ) 的结果是（）A.6x5B.6x5C.2x6D.2x63、计算 (1 a 2 b) 3 的结果正确的是（）2A. 1 a4 b 2B.1 a 6b3C.1 a 6b3D.1 a5b348884、如图，阴影部分的面积是 ( )A 7 xyB 9 xyC 4xyD 2xy22精选资料，欢迎下载。5、 xax2ax a2的计算结果是 ()A.x32ax2a3B.x3a3C.x32a2 xa3D.x22ax22a2a36、28a4b2 7