求阴影面积的常用方法.doc

1、求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难 点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图 形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。 现介绍几种常用的方法。一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不 规则图形的面积。例1.如图1,点C、D是以AB为直径的半圆0上的三等分点，AB=12则图中由弦AC AD和O围成的阴影部分图形的面积为。图1分析：连结CD OC 0D如图2。易证AB/CD，则山CD和在。CD的

2、面积相等, 所以图中阴影部分的面积就等于扇形 ocd勺面积。易得 s-Q，故二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达 到化繁为简的目的。例2.如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=B=为.圆，求阴影部分面积分析:所以,经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形 ABCD扇形ADE 血吹。45阴罢=S龙十召私4 -竹伽口 =36。+4 x8- x4 x 12 = 4- + 8三、重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的 重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清

3、其结构， 理顺图形间的大小关系。例3.如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成 阴影部分图形的面积。解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。例 4.如图 5，在四边形 ABCDK AB=2 CD=1ZJ3 = ZJD=90，求四边形ABCD所在阴影部分的面积图5解：延长BC AD,交于点E,因为df，所以山二缈，又ZDC = 90%所以=DE =也，易求得呢二2羽，所以五、拼接法 例5.如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草

4、地上，有一条弯曲的柏油小路（小 路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移 c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为 b, 水平方向的长变成了 ，所以草地的面积为 - 1二一宀。图6图7六、特殊位置法例6.如图8,已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切, 那么图中阴影部分的面积等于 。匚y 0分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可 将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图 9）。C00) D图g解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图

5、 9。设切点为H,连结OH OB由垂QV 二丄 AB = 2径定理，知。又AB切小半圆于点H,故二，故加严 宀！=盼=4E孵 =-OB2 - -jsOH2 = OH2） = 2址丄斗七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。例7.如图10，正方形的边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画 弧，求图中阴影部分的面积。图10解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图1中正方形的面积是1，而二：是以半径为a的圆面积的：。故有厂，x -y = a2x = (-V)a2( -24 。解得 ？。即阴影部分的面积是

6、 2o需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时， 要具体问题具体分析，从而选 取一种合理、简捷的方法。思考吧 如图11,正方形的边长为1,以CD为直径在正方形内画半圆，再以点 C为圆心、1为半径画弧BD,则图中阴影部分的面积为 o图11D例6:如图6，已知 ABC内接于O 0,且AB = BC = CA = 4cm，则图中阴影部分的面积是2cm oB例7如图7, A、B、C、D是圆周上的四点，且 AB + CD = AD + BC，如果弦AB的长为8,弦CD的长为4，那么图中两个弓形(阴影部分)的面积和是 。(二取3)环形 例&如图，在两个同心圆中， P是大圆上任一点，PA切小圆于点 A，设

7、PA = 4,则 图中阴影部分面积是 。扇形 例9:如图，在矩形 ABCD中，AB = 1, AD = . 3，以BC的中点E为圆心的 MPN与AD相切于P,则图中阴影部分的面积为2 二 3 :(A)亍(B) T (C)子(D)-二、组合图形1四边形与圆组合例10:如图，四个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是(A) 0; ( B) 2; (C) 3; (D) 4。2、圆与圆组合例11:如图，AB、AE分别为两个半圆的直径，弦 CD / AB，且与小圆相切，若 CD = 12, 则图中阴影部分的面积为 。例12:如图，设计一个商标图案 （如图阴影部分），在矩形ABCD中，AB = 2BC，且AB =28cm，以点为圆心，AD长为半径作半圆，则商标图案面积为 cm .DCAACOBD4、扇形与圆组合例13：如图，O O半径为2cm,直径AB垂直于直径 CD，以B为圆心, CED，则CED与CAD所围成的阴影部分的面积是 ;三、动态图形BC的长为半径作1翻折例14:矩形ABCD的长、宽分别为