数值分析计算方法超总结

1、工程硕士数值分析总复习题（2011年用）由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字（注意根据什么？）:a）对 e 二 取兀* 二 2. 71828b）数学家祖冲之取幣作为兀的近似值.c）经过四舍五入得出的近似值12345, -0. 001, 90. 55000,它们的有效数字位数分别为位，位，位。2）简述下名词：a）截断误差（不超过60字）b）舍入误差（不超过60字）c）算法数值稳定性（不超过60字）3）试推导（按定义或利用近似公式）：计算X3时的相对误差约等于X的相对 误差的3倍。4）计算球体积V = 7tr3时，为

2、使其相对误差不超过0. 3% ,求半径r的相对误差的允许范围。5)计算下式P(x) =5731(1)4(X-1)3(I)?时，为了减少乘除法次数，通常采用什么算法？将算式加工成什么形式？6）递推公式Jo = V2儿 i)R 7如果取y0 = V2 1.41 = y；（三位有效数字）作近似计算，问计算 到比0时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？二. 插值问题:1）设函数/（兀）在五个互异节点x15x2,x3,x4,x5上对应的函数值为人寸2,仏，fs 了5,根据定理，必存在唯一的次数（A）的插值多项式P（X）,满足插值条件（B ）.对此，为了构造Lagrange插值多项式 L（x）

3、,由5个节点作（C ）个、次数均为（D ）次的插值基函数 /,（X）二_ （E）,从而得Lagrange插值多项式L（X）=（F）,而插值余项 R（x） = /（x）- L（x）=（G）2 ）试用三种方法求过三个离散点：A （0, 1） 、B （1, 2） 、C （2, 3）的 插值多项式。3）求函数/（兀）=一*在0 , 1 上的近似一次插值多项式。4 ）由函数值表：X :123ex :0. 367879441 ,0. 135335283 ,0.049787068求e2A的近似值.n n x_ j5）利用插值方法推导Ztni=Q 戶 0 J知 1 - J三. 拟合问题：1）对离散实验数据做最

4、小二乘拟合的两个主要步骤是和 （B ） 2）对同一个量的多个近似值，常取其算术平均作为该量的近似值，这种做法的意义是什么？3）设有实验数据如下：X1.361.731.952.28f14.09416.84418.475 20.963按最小二乘法求其拟合曲线。4）已知某试验过程中函数/依赖于兀的试验数据如下：341.82.0S = ax + bx2的经验公式。小：12:0.81.5试按最小二乘法拟合出一个形如5 ）设有实验数据如下：101826按最小二乘法拟合出一个形如S = a + bx2的经验公式。四. 数值求积:1) 写出数值求积公式的一般形式，指出其特点，并说明它对计算机的计算有什 么意义

5、？2) 简述数值求积公式的”代数精度”的概念bn3) 插值型求积公式f(x)dxyAkf(xk)中，每个系数可用公式儿二k=Qn(A)计算，它们之和 为人二(B),其代数精度 (C).k=0又Newton-Cotes公式的一般形式为(D ),其主要特点是(E ),其nCotes系数之和屮=(F ),其代数精度 (G );k=Q4) 考察数值求积公式f f(x)dx u A_J(-1) +4/(0)+ 4/(1),J1直接指出：它是什么类型的公式？为使其精度尽可能高，A-, A。，A】应取什么确值？它是不是Gauss型公式？11+X3d兀的近似值，试写出使用11个等分点函数值的求积公式(要求只列

6、出数值公式，不需要求出具体结果)。26) 利用复化Simpson公式求积分I =長dx的近似值(只需列出算式)17) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式T”和复化Simpson公式S“计算积分V4-sin2 (p02龙/361.99810012龙/361.99244733刃361.98318254龙/361.97053865 龙/361.95483866刃361.9364917五. 解线性代数方程组的宜接法:1）Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪儿项？A.提高计算速度；B.提高计算精度： C.简化计算公式;D.提高计算公式的数值稳定性：E.节省存储空间。2）采用“列主

7、元Gauss消去法”解下列方程组：_ 2 3 5 53 4 7兀2=61 3 3一勺一5a）用”列主元Gauss消去过程”将方程组约化成上三角方程组;b）用”回代过程”依次列式计算出方程组的解。3）设方程组-326_410 -7 0兀2二7_ 5-1 56现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答：a）所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？b）要用儿步消元？c）每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）？d）现经第1步消元结果，上述方程组己被约化为_10-707 _%06兀2=%_ %5_兀3_请你继续做消元计算，直至约化成上三角方程组。e）对所得上三角方程组依次列式计算出

8、方程组的解。六. 解线性代数方程组的迭代法：1）解线性代数方程组x=Bx + f的基本型迭代公式xk+i） = Bxk）+f , k = 0丄其中B称为什么？兀又称为什么？如果迭代序列#有极限T （即迭代公式收敛），则极限是什么？2) 设解线性代数方程组Ax = b (其中A e Rnxn非奇异，/?工0)的迭代公式为x(k+i)=兀一 A(Ax(k)-b), k = 0丄则其迭代矩阵是什么？此迭代公式对任意的初始向量x收敛的充分必要条 件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量x(0)收敛的一个充分条件是什 么？3) 设线性方程组试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式：试问所作的两

9、种迭代公式是否收敛，为什么？试用初值兀=(0,0)T计算GS迭代公式的前三个值.4 )设方程组1-5兀1-49 -1一兀2._ 8 _试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公 式，并说明两者收敛的根据；求出这两种迭代的迭代矩阵.5)设线性方程组1 0.5aAx = b, A= -0.52-0.5 , x,b e R3-a 一0.51请按便于计算的收敛充分条件，求使J法和GS法均收敛的CI的取值范围.七. 一元方程求根：1) 写出求方程f(x) = x3-3x-l = 0在1, 2 中的近似根的一个收敛 的不动点迭代公式，并证明其收敛性。2) 己知方程

10、x-lnx = 2( X 1 )的有根区间3, 4 .试写出求该方程在3,4中的根的一个不动点迭代公式；证明所给出 的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.3) 用Newton迭代法求方程/(X)= 3兀一 1 = 0在XQ = 2附近的根,试写其Newton迭代公式；并说明其收敛情况。4）试写出求的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。八. 常微分方程初值问题：1）常微分方程定解问题分为初值问题和亠2_问题.初值问题是指由（B）和yr = -x y2 - y , 0 x 0.6（C）两部分联立起來构成的问题。研究常微分方程初值问题时，通常针对基 本形式 （D）进行研究。设函数yO）是某初值

11、问题的解析解，则该初值问 题在X”处的解为（E）而数值解（通常记）为（F），它们的关系是（G）. 若记（+1）是初值问题在点兀+i处的解， 儿+i是由某数值方法得出的 X”+l处的数值解，则该数值方法在X,J+1处的局部截断误差是指 （H） 2）设初值问题Vy（0） = 1试用Euler方法取A = 0.2,求解上述初值问题的数值解。yr = 8-3y. 1 x 2y(l) = 23 ）设初值问题试用梯形方法求其解在两点兀=1.2, 1.4处的值y（1.2）, y（1.4）的近似值。y(o)= i试用改进的Euler方法，并取A = 0.1,设计一个求解上述初值问题数值解的 求解方案（或称计算

12、机算法描述；不必求出解的具体数值）。设初值问题V = 3y/(l + x), 0xl 7()=1试用4阶经典R-K方法，并取A = 0.1,设计一个求解上述初值问题数值解 的求解方案（或称计算机算法描述；不必求出解的具体数值）。九、下列各小題任选其中已学过的小题作练习：Q 设兀= （0,2, 3）,求，|赵,|刘2 |L；设 4=12 ，求 |A3 4110(A)。2 )用较简捷的方法分别求下列的插值多项式H(x)和p(x),并写出其余项公式:a) H(l) = 1, H(0) = H(0) = 0, H(l) = 1b) p(0) = l, p(l)= p(l) = 0,p(2) = 23

13、）用插值方法求在兀=0处与cosx相切，在x = tt/2处与COSX相交的二次多项式p2（X）,并推导插值余项的估计式为|cosx-p2（x）|-x2|x-|OZ4 ）试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解：2xj + 4x2 =113兀-5x2 = 3* = 0, 1厂，局部收敛于X* = V5的；I的取值范围。9）试给出求-J=,C0的Newton迭代公式，使得迭代公式没有开方和除法运算.10）由迭代公式心利=丄+主，比=0,1,，产生的序列耳对任何耳2初值X。均二阶收敛于什么？解释其原理。11）写出求方程X2-2X+1 = O的Newton迭代公式，并指出其收敛阶（数）。（可以有两