高数下要点含微分方程——自己整理的

1、第六章微分方程一、一阶微分方程一阶线性方程dy dxP(x)yQ(x)2、伯努利方程dydxP(x)yQ(x)yn (n 0,i)i ni d yi n dxP(x)yi nQ(x).令 z yi n.二、可降阶的高阶方程i . y(n)f(X)n次积分2. yf(x,y)不显含y令y p(x)，化为一阶方程p f(x, p)3. yf(y,y)不显含自变量d2ydp令yp(y),2 P ，化为一阶方程。 dxdy三、线性微分方程y(n) ai(x)y(n1)ani(x)y a.(x)yf(x)，f (x)0时称为齐次的,f (x)0称为非齐次的1.二阶线性齐次线性方程y P(x)y Q(x)

2、y 0(1)如果函数yi(x)与y2(x)是方程的两个解，则y Clyl(x) C2 y2 (x)也是的解，其中Ci ,C2是任意常数如果yi (x)与y2 (x)是方程的两个线性无关的特解，则y Gyi(x)C2y2(x) (Ci，C2是任意常数)是(1)的通解.两个函数yi(x)与y2(x)线性无关的充要条件为%(x)而C (常数)2 .二阶线性非齐次线性方程设y (X)是二阶线性非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f (x)的一个特解，丫(x)是它对应的齐次方程(1)的通解，则y Y(x) y*(x)是该方程的通解 设y； (x)与y；(x)分别是二阶线性非齐次方程y P(x)y

3、Q(x)y f；(x)与 y P(x)y Q(x)y f2(x)的两个特解。则y；(x)y2(x)是的特解。(叠加原理)3.二阶线性常系数齐次方程y” py qy 02特征方程r pr q 0，特征根r； , D特征方程的根1,2y py qy 0的通解两个不相等的实根1,2两个相等的实根 12一对共轭复根1,2i4 二阶线性常系数非齐次方程y py qy f (x)i)如果 f (x)Pm(x)ex,则二阶线性常系数非齐次方程具有形如y x Qm(x)e的特解其中，Pm(x)是m次多项式，Qm(x)也是系数待定的 m次多项式； k 0,1,2依照 为特征根的重数而取值.xi) 如果 f(x)

4、 e P(x)cos x Pn(x)sin x ,则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为其中Rm)(x), Rm2)(x)是系数待定的m次多项式,m max l,n ,k0,1依照i特征根的重数取值.四、欧拉方程cos三、一阶欧拉方程x ypxyqyf(x) t.,dydydt1 dy作变换x e，则有dxdtdxx dt ,原方程变为二阶线性常系数方程d2y.2(p 1)，其中d2ydx2第七章1、II I II Isin,其中向量积满足下列运算律:反交换律结合律 (左分配律右分配律巴qydta2b2a3baaibia3jbsa1, a2, as0 ,则ai2 2a2a3,cos , cos

5、1、旋转面方程yoz平面上的曲线C：轴的旋转面方程为f (y,方程.2、柱面方程aibia2b2的方向余弦.f(y,z)x 0；x2z2)p ,q为常数.1 d2yx2 dt2空间解析几何与的夹角;)，其中是数量i jai a2D b2称为a3baf)。单位化向量，并有cos ,cos ,cosdy dt 。I I 0.此时其中0绕z轴的旋转面方程为f ( x2 y2 , z) 0 ;绕y0 .类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面以xoy平面上的曲线C :f（x0y）z 00为准线，母线平行于 z轴的柱面方程为f(x,y) 0 .同理方程 g(y,z) 0和 h(x,z)0分别表示母线平

6、行于x轴和y轴的柱面.3、曲线在坐标面上的投影在空间曲线的方程C：；1：,；） 0中，经过同解变形分别消去变量x，y，z，则可得到在 yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为:F(y,z) 0 ； G(x,z) 0 ；x 0； y 0；H (X, y)z 0四、1、平面方程点法式：过点F0(x0,y0,z)，法向量 n AB,C的平面方程A(x Xo)B(y yo) C(z zo)2) 一般式：Ax By Cz其中A,B,C不全为零.x y z3)截距式：a b c 14）两个平面之间的关系设两个平面n i与口2的法向量依次为niABi,Ci和 n2A,B2,C2. ni 与n 的夹角规

7、定为它们法向量的夹角（取锐角）.此时con4In1 | |n21| A1 A22 2 / 2B1C1” A2B1 B2 C1 C2 I2 2B2 C2若直线L经过点P0（X0,y,Z0）且与方向向量vl,m,n0平行，则L的方程为xi）对称式：-X。yy0zzx x0 Itii）参数式：y y。mt,t.z zo nt3）两条直线之间的关系设两条直线Li和L2方向向量分别为Wli,mnd ,V2I2E2g，Li与L2的夹角规定为它们方向向量的夹角（取锐角）.于是3、直线与平面的关系设直线L的方向向量为v l,m,n,平面n的法向量为n A,B,C . L与n的夹角规定为L与它在n上投影直线L的

8、夹角（锐角）.这时sin|v|v?n |lA mB nC I| n | 一 l2 m2 n2 x A2B2 C2L与n垂直的充要条件是L与n平行的充要条件是lA mBnC 0五、1、椭圆抛物面：z2x-2a2y_b2，其中a0,b0 （图 3）.例如zx2x2y2 等.2、椭圆锥面:2x2a2b2，其中a 0, b 0（图 4）.k 2例如，圆锥面zzy-xO 图34图图52 2 23、单叶双曲面 令占勺 1,a b c其中 a 0,b 0,c0 （图 5）., 2 2 2例如X y z 1 .4、双叶双曲面其中a 0,b2(图6).例如Z一、1 .偏导数6)对某一个自变量求偏导数，就是将其余

9、的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数.2 .高阶偏导数Zx x2z2fxx(x,y)fn(x, y)，或 fn，乙1 ;xzy x2fxy(x,y)f12(X, y)，或 f12，乙2 ；x y二元函数f(x,y)的二阶偏导数fxy(x,y)及fyx(x,y)称为二阶混合偏导数3、全微分二元函数z f (x, y)在点(x,y)处的全微分三元函数u f (x, y,z)的全微分，并有4、可微、可导、连续的关系在多元函数中，可微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同.在多元函数1 )可微必可导，可导不一定可微;2)可微必连续，连续不一定可微;3 )可导不一定连续，连续不一定可导5、复

10、合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式(链式法则)a. 若 z f(u,v)， u (x)， v (x)，则复合函数z f (x), (x)的导数为dz二上 du + 上 a ；dx u dx v dx b. 若 z f (u,v)， u (x, y)，v (x, y)，则复合函数z f (x, y), (x, y)的偏导数z z u z vz z u z v 匚一匚二+匚匚，匚=L + n;6、隐函数的偏导数1 )方程F(x,y) 0所确定的隐函数的导数为字 学dx Fy2 )方程F(x,y,z) 0所确定隐函数的偏导数为zFxzFyxFz，yF? 、1、取得极值的必要条件

11、如果函数zf (x, y)在点P0(xo,yo)的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值,则 fx(x,y。)o ，fy(xo,y) o 可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点.2 .取得极值的充分条件设z f(x, y)在驻点(xo, yo)的某个邻域内有二阶的连续偏导数.令 A fxx(xo, yo) ,B f xy(xo , yo),2Cfyy(xo,yo) ,B AC，于是有1 )如果 0，则点(X0,y。)是函数的极值点.当A 0时，f (xo, yo)是极大值 ，当A 0时，f(xo,y。)是极小值.2 )如果 0,则点(Xo,y。)不是函数的极值点.3)如果 0,贝愜数z f

12、(x, y)在点(X0,y)有无极值不能确定，需用其它方法判 另I.3条件极值1 )求二元函数zf(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值，可以按照如下步骤进行:i)构造拉格朗日函数L(x,y)f (x,y)(x, y)；fx(x, y)Xx(x, y) 0ii)解方程组fy(x, y)yy(x, y) 0.(x,y)0若0,X0,y。是方程组的解，则(x,y)是该条件极值问题的可疑极值点.三、多元微分学的几何应用1 .空间曲线的切线与法平面x x(t)给定空间曲线 L: y y(t)，其中的三个函数有连续的导数且导数不同时为z z(t)零(光滑曲线).L上的点P0(X0,y,Z0)对应的参

13、数为to 贝y曲线L在点P0(X0,y,Z0) 处的切向量为 x(to), y(to),z(to)，此时的切线方程为X Xo y yoz Zox(to)y(to) 73 .曲线L在点Po(Xo, yo, Zo)的法平面方程为2 .曲面的切平面与法线给定曲面的方程F(x,y,z) 0，函数F(x,y,z)有连续的偏导数且三个偏导数不同时为零(光滑曲面).点Po(Xo,yo,Zo)是 上的一个点.贝V曲面 在点Po(Xo, yo,zo)处 的法向量为Fx(Xo, yo ,Zo), Fy(Xo , yo, Zo) , Fz(Xo , yo, Zo),此时的切平面方程为Fx(Xo,yo,zo)(x X

14、o) Fy(Xo,yo,zo)(y y) Fz(Xo, yo,zo)(z zo) o,曲面 在点Po(Xo , yo，zo)的法线方程为x Xoy yoz zoFx(xo, yo, zo) Fy(xo, yo, zo) Fz(xo,yo,z) 四.方向导数与梯度1 .若函数u f(x,y,z)在点P(x, y, z)可微，方向1的方向余弦为cos , cos , cos ,则函数在点P(x,y,z)沿方向1的方向导数为 UUcosUcoslxyu cos .z2 .设函数uf(x,y,z)在空间区域G内可微，则函数在点Po(xo, yo, zo)处的梯度定义为一个向量grad f (x0, y

15、0,z0)=fx(Xo,yo, zo)ify(Xo,yo, z)jfz(x),y。, zo)k .梯度方向是函数变化率最大的方向.在梯度方向上函数的方向导数取得最大值|gradf (Xo, yo,zo)| .第九章重积分二重积分的计算1 .直角坐标下二重积分的计算1 )若积分区域可以表示为D: a x b, 心)y 2(x)，贝U2 )若积分区域可以表示为 D : c y d,心)x2(y),则d2(y)f (x, y)dxdydy f (x, y)dx .ci(y)D2极坐标下二重积分的计算直角坐标与极坐标的关系为x r cosy r sin0r02此时面积元素为 drdrd 或 dxdy

16、rdrd若在极坐标下积分区域可以表示为f (x, y)dxdyf (rcos ,r sin )rdrdDD分的计算1dvdv | |，| |表示 的体积.D : , 1( ) r 2( ) ，则d f (r cos ,r sin )rdr 二、三重积 1( )1 直角坐标下三重积分的计算1)“先一后二”法若积分区域可表示为:a x b, y1(x) y y2(x), z1(x, y) z z2(x,y) ，则其中Dxy是 在xoy坐标面上的投影.2) “先二后一”法设积分区域 在z轴上的投影区间为c, d.用平面z z (常数)去截 ，截面为 Dz .则df (x, y,z)dxdydz c

17、dz f(x,y,z)dxdy其中 f(x,y,z)dxdy 是将 Dz 投影DzDz到 xoy 坐标面上所做的二重积分.2 .柱面坐标下三重积分的计算xr cos0r直角坐标与柱面坐标的关系为yrsin ,02zzzIrtrFrpn -“iiiidxdydz rdrddz.则体积元素为 dv rdrd dz 或若积分区域在柱面坐标下可表示为面积微元 dS . 1 fx2(x,y) f；(x,y)dxrcossino ryrsinsin,ozrcos02或dxdydz r2sindrd df (x,y,z)dxdydz f(rcos , rsin , z)rdrd dzr2( )Z2(r,)d

18、 dr f(rcos , rsin , z)rdz ri( )z(r,)3 .球面坐标下计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系为体积元素为dv r.质量 3sin drd d如果积分区域在球面坐标下可表示为:,i()2( ),ri( , ) r 以，)f (x, y, z)dxdydzf(rcos sin ,rsinsin ,rcos )r2sin drd d4. 简算：对称奇偶性，重心公式三、重积分的应用1 .曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 Vf (x, y)dxdy.D密度为(x,y) 0，则平面板的质量M (x, y)dxdy.D密度为 (x, y, z) 0则物体的质量为M(x,y, z)

19、dxdydz .设曲面的方程为z f(x,y) , (x,y) D，其中D是有界闭区域,f (x, y)在D上有连续的偏导数则曲面的面积为S 1 f：(x, y) f；(x,y)d第十一章无穷级数1、a.收敛土收敛=收敛，收敛土发散=发散，发散土发散=敛散不定。b.收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变2、两个重要级数及其敛散性1 ）几何级数aqn 1 a aq aq2 Laqn 1 L （a 0）.n 1a当q 1时该级数收敛，其和为；当q 1时该级数发散1 q2） p-级数1p n 1 n1 11-L2p 3p1pL (p0).n当p1时，该级数收敛；当p1时，该级数发散1彳1 1

20、,1 ,当p1时称级数1n 1 n2 3L n L为调和级数，它是一个发散级数、正项级数的审敛法(nUn，Un0)11）（比较审敛法）设Un和vn都是正项级数，且Un%（门1,2丄）.n 1n 1若强级数Vn收敛，则弱级数Un收敛;n 1n 12)3)若弱级数 4发散，则强级数n 1（比较审敛法的极限形式）设Un与V都是正项级数.n 1n 1如果nim牛1vn则级数Un和级数n 1(若I0或I（比值审敛法）若正项级数Un满足n 1(01+),钻圈子原理破记录原理Vn同时收敛或同时发散.n 1如何？）.Un 1 lim -n u n则当 1时，级数收敛;1时，级数发散;1时，级数可能收敛也可能发

21、散（根值审敛法）若正项级数un满足nim unn 1n则当1时，级数收敛;1时，级数发散1时，级数可能收敛也可能发散.5. 交错级数的莱布尼兹审敛法n 1设Un 0,则称级数（1） 为交错级数.n 1定理（莱布尼兹审敛法）n 1设 （D Un为交错级数.如果un满足：n 11 ）对一切自然数n有un 1 un ；2）limUn 0，贝y（ 1）nUn 收敛，且其和 s 5.nn 16 .级数的绝对收敛和条件收敛如果级数Un收敛，则称级数Un绝对收敛.n 1n 1如果 Un收敛，而Un|发散，称级数Un条件收敛.n 1n 1n 1对任意项级数，如果它绝对收敛，则它必收敛.三、幕级数（an（X X

22、oT，盼“）n 0n 01 .阿贝尔定理n2 .幂级数anXn 0收敛半径0 R ；收敛区间（R, R）。收敛域：收敛区间加入收敛的端点收敛半径的求法1）对于幂级数nan 1 |_ 1anX，如果 nim，则 R ；n 1an2）对于幂级数anX，如果 lim M an 1，则 R n 1n2.幂级数的性质性质1.（和函数连续性）幂级数的和函数在收敛域内是连续的性质2.（逐项积分）n设幂级数已门乂和函数S（X）在收敛区间可逐项积分n 0s(t)dtX0 (antn)dtn 0xantndt0 nn 0ann 1Xn 0 n 1逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径性质3.（逐项求导）n幂级数anX的和函数s（x）在收敛区间内有逐项求导公式:n 0s（X） （ anXn）（anXn）n a.xn 1n 0n 0n 0逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径3 .幂级数的运算1 ）幂级数的加减法若收敛域Ia lb，则 （ bJ