勾股定理笔记要点

1、精品文档勾股定理基础知识汇总一、已经学过的有关直角三角形中的边4. 勾股数的几种表达方式角关系C(1).2n1,2n22n, 2n22n 1（毕达哥拉斯）ba(2) n21,2n,n21（柏拉图）hADB(3) m2n2 , 2mn, m2n2 （丢番图）c请探究上述三个表达式， 思考下列问题1两锐角之间的关系：AB90o2.边与高的关系： ab ch（1）你能从勾股数 3,4,5 ； 5, 12,13；7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30角勾股数有何特征？所对的直角边等于斜边的一半；4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。二、勾

2、股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜（2）柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？边的平方。即 a2b2c2与你已经学过的哪些公式有关联？三、勾股定理逆定理如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。四、勾股数组1. 如果三个正整数 a, b,c 满足关系 a2b2c2，那五、勾股定理应用（ 1）学习过勾股定理之后三角形的特殊关系么 a, b,c 叫做勾股数。Ao，那么 a : b : c1: 3:2如果302. 勾股数的性质Ao，那么 a : b : c1:1:2如 果 a, b, c 是 勾 股 数 ， k 为 正 整 数 ， 那 么如果45如果 a

3、, b,c 是直角三角形的三条直角边，那么以 aka, kb,kc 也是勾股数+ b， c + h， h 的长为边的三条线段能组成直角三思考：勾股数的定义中有何限制？角形如果 a,b,c 是直角三角形的三条直角边，那么以3. 常用勾股数：3,4,5 ；5,12,13 ；7,24,25；8,15,17 ；1 ， 1， 1的长为边的三条线段能组成直角三角形a bhL。1欢迎下载精品文档（ 2） 藤绕树问题的解法（ 4）蚂蚁最短路径问题公式我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地F上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周EF而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，ADADE把枯木看作一

4、个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱c的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠HGHc绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处则问题bGB中葛藤的最短长度是尺aCBbab CFEEDFaADAcHcHGGb（ 3）长方体盒子对角线的长度公式FEAD六、典型例题例 1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制H了一幅 “ 弦图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ”（如图（ 1），图（ 2）由弦图变化得到，它是由八G个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形BABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面积分别为CS、 S 、 S 若正方形 EFGH的边长为2 ，则123S+S +S =【

5、答案】 12123。2欢迎下载精品文档（ 3）伽菲尔德（Garfield ，1881 年任美国第20 届总统）利用（ 1）中的公式和图2 证明了勾股定理 （ 1876年 4 月 1 日，发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试该证明过程4. 问题情境2. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明两直角边长分别是a， b ，斜边长为 c 和一个边长为方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理进行了证明著名数学家华罗庚曾提出把“数形关的图形系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他（ 1）画出拼成的这个

6、图形的示意图星球“人”进行第一次“谈话”的语言（ 2）证明勾股定理定理表述请你根据图1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述） ：（ 3 分）DcAccaabBE ab（图 1）（图 2）尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b为底， 以 ab 为高的直角梯形 （如图 2）请你利用图 2，验证勾股定理； （ 4 分）知识拓展利用图 2中的直角梯形，我们可以证明a b2 其证明步骤如下：3. （ 1）如图 1是一个重要公式的几何解释请你写cQ BC ab ， AD出这个公式；又 Q 在直角梯形 ABCD 中有 BCAD（ 2） 如 图2 ， Rt ABC RtC

7、DE，（填大小关系） ，即BD 90o ，且 B，C，D 三点共线a b2 （3 分）c试证明ACE90o ；abAb。E3欢迎下载acacbB baDbC精品文档5. 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形（ 1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（ 2）如图，将 ABC绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60 得到 DBE，连接 AD， DC， CE，已知 DCB=30 求证： BCE是等边三角形；222 求证： DC+BC=AC，即四边形 ABCD是勾股四边形角分类 )(1) 当 ABC 三边长分别为6,8,9时， ABC 为

8、_c2；当 ABC三边长分别为6,8,11时， ABC为 _三角形 (4 分 )(2) 猜想：当 a2+b2_c2 时， ABC为锐角三角形；当 a2+b2_c2 时， ABC为钝角三角形 (4 分 )(3) 判断当 a=2, b=4 时， ABC的形状，并求出对应的 c 的取值范围 (4 分 )7. 阅读材料：x21x24 的几何意义，例：说明代数式3并求它的最小值解：x21x 324212x 32x 022，如图，建立平面直角坐标系，点P x，0是 x 轴上一点，则x0212可以看成点P 与点 A 01， 的距离，x222P与点 B 3，23可以看成点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是PAPB 的最小值设点A关于 x 轴的对称点为A PA PA，则，因此，求 PAPB 的最小值，只需求PA PB 的最小值，而点A B间的直线段距离最短，所以PA PB的、最小值为线段AB 的长度为此，构造直角三角形ACB ，因为 AC =3，CB=3 ，所以 AB3 2 ，即原式的最小值为32 根据以上阅读材料，解答下列问题：（ 1）代数式x122的值可以1x 29看成平面直角坐标系中点P x，0与点 A 11， 、点B _ 的距离之和 （填写点B 的坐标）（ 2）代数