一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总结材料(上).doc

1、一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总结材料(上)实用标准文档实用标准文档文案大全文案大全精华名师辅导教学内容：一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总结（上）【基本目标要求】一、经历由具体实例建立不等式模型的过程了解不等式和一元一次不等式的有关概念掌握不等式的三条基本性质?二、了解不等式的解和解集的概念掌握一元一次不等式的解法会在数轴上表示不等式的解集.三、初步认识一元一次不等式的应用价值.四、了解一元一次不等式组及其解集的概念掌握一元一次不等式组的解法会用数轴表示一元一次不等式组的解集.五、会用不等式和不等式组解决有关不等关系的简单实际问题感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系发

2、展学生分析问题、解决问题的能力.【基础知识导引】一、不等式及其基本性质1定义凡用符号“V”（或“W”）,“”（或）连接的式子叫做不等式.性质性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式不等号的方向不变.性质2不等式两边都乘以（或除以）同一个正数不等号的方向不变.性质3不等式两边都乘以（或除以）同一个负数不等号的方向改变.二、不等式的解集不等式的解集一般地说一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解的集合简称为这个不等式的解集.解不等式求不等式的解集的过程叫做解不等式.0L23456-图1-1-1012345不等式的解集可在数轴上直观地表示出来如5x15的解集为x3,即在数轴上（

3、图1-1）用表示3的点及其右边部分来表示这里的黑点表示包括3这一点.如果不等式的解集为-1<_V4（图1-2）则用数轴上表示-1的点和点4的左边之间的部分来表示这里的黑点表示包括-1这一点在内而右边的圆圈表示不包括4这一点在内.三、一元一次不等式和它的解法一元一次不等式左右两边都是整式只含有一个未知数并且未知数的最咼次数是1像这样的不等式.叫做一元一次不等式.元一次不等式标准形式ax+bv0或ax+b<0,ax+b0或ax+b0(a丰0).同解不等式如果两个不等式的解集相同那么这两个不等式叫做同解不等式.不等式的同解原理原理I不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式所得的不

4、等式与原不等式是同解不等式；原理2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数所得的不等式与原不等式是同解不等式；原理3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数并且把不等号改变方向后所得的不等式与原不等式是同解不等式.一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表1-1所示.表1-1解一兀一次方程解一兀一次不等式解法步骤(1)去分母；(2)去括号；移项；合并同类项；(5)系数化成1。(1)去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1。在上面的步骤(1)和步骤(5)中如果乘数或除数是负数要把不等号改变方向解的情况一兀一次方程只有一个解一兀一次不等式的解集含有无限多个数四、一

5、元一次不等式组和它的解法1?一元一次不等式组的解集一般地几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集.2.解不等式组求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.3?解一元一次不等式组的两个步骤求出这个不等式组中各个不等式的解集；利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即求出了这个不等式组的解集.【重点难点点拨】本章的重点是一元一次不等式的解法.本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解集以及运用不等式基本性质3,要注意变号.另外要特别重视搞清一元一次不等式与一元一次方程、一次函数三者之间的关系.要掌握以上重点、难点必须注意以下问题.一、一元一次不等式与一元一次方程、一次函

6、数的区别与联系一元一次不等式、一元一次方程含有一个未知数一次函数含有两个未知数它们的左右两边都是整式.一元一次不等式表示不等关系一元一次方程表示相等的关系一次函数不仅表示相等关系更重要的它表示因变量关于自变量的依存关系.元一次方程和一次函数的图象都是一条直线一元一次不等式的图象是直线一侧(有时包含直线有时不包含直线）的区域.一元一次方程的解是其图象（直线）与x轴交点的横坐标的值至于一次函数y=kx+b（k工0）的解析式只须依据两个独立条件确定k、b,即可求出一次函数.二、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用令一次函数y=kx+b（k工0）中的y=0,即可得一元一次方程将一元

7、一次方程中的等号改为不等号一元一次方程则转化为一元一次不等式.【发散思维导练】发散思维分析本章的主要内容是一元一次不等式和它的解法及一元一次不等式组和它的解法.它们是在有理数大小比较、等式及其性质、解一元一次方程、研究一次函数的基础上引入的、一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具是学习其它不等式的基础.正确地解一元一次不等式关键在于正确地理解不等式的解的集合的意义和准确运用不等式的三个同解原理.学习不等式、一元一次不等式的有关内容可与等式、一元一次方程、一次函数的有关内容对比找出它们之间的联系和区别用数轴表示不等式的解集利用数轴求不等式的解集等都体现了数形结合的思想方法.本章安排了一定数量

8、的迁移发散题迁移发散利用数学式、图形在不同的数学分科中的不同含义与等价形式把一个分科里的公式、定理、原则或方法巧妙地迁移到另一个分科中达到化难为易的目的.发散思维应用不等关系不等式的基本性质不等式的解集一元一次不等式【典型例题】1.解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来.x4x1,(1)1;4613_1LcCL0.5562.5。34解(1）去分母,得3(x4)2(x1)12,去括号得3x122x212,合并同类项得x<-2;原不等式的解集在数轴上表示如下（图1-3）TOCo“1-5”hz-5-47-2T012图133x1133x151,43x1厂53,43x1-2,4x3.TOCo“

9、1-5”hz原不等式的解集在数轴上表示为（图1-4）?I丁,?一0123456FR1-42解不等式2（x1）1并把它的解集在数轴上表示出来.2解原不等式化为x22（x1）2,x22x22,/?x-2.它在数轴上表示为（图1-5）2-102-10图）53求使方程组xym3求使方程组xym24x5y6m的解x,y都是正数的m的取值范围.3xym2解解方程组得4x5y6m3xm7y2m5.它的解为正数,m70,2m50.m7,5m2.525故当52m7.m7时原方程的解都是正数.【题型发散】发散1选择题把正确答案的代号填入题中的括号内.(1)下面列出的不等式中正确的是a不是负数可表示成a0x不大于3

10、可表示成xv3m与4的差是负数可表示成m-4v0x与2的和是非负数可表示成x+20(2)下列不等式中一定成立的是(A)4a3a(B)3-xv4-x3(C)-a-2a(D)2aa(3)不等式5(x+1)-3x2x+3的解集为()(A)x-1(B)x1(C)无解(D)一切实数如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数那么(A)m=6(B)m等于5,6,7(C)无解(D)5<m<7不等式14x-7(3x+8)v4(2x-5)的负整数解是(A)-3,-2,-1,0(B)-4,-3,-2,-1(C)-2,-1(D)以上答案都不对已知(a2)2|2a3bn|0中b为正数则n的

11、取值范围是(A)nv2(B)nv3(C)nv4(D)nv5解(1)用直接法?a不是负数可表示成a0;x不大于3,应表示成x<3;x与2的和是非负数应表示成x+20,只有(C)正确.故本题应选(C).用排除法.由不等式的性质若av0,则(A),(C),(D)三个选项都不正确可排除(A),(C),(D).故本题应选(B).(3)用直接法.解不等式经移项、合并同类项得0-2.上面不等式与x无关它的解集为一切实数.故本题应选(D).(4)用直接法./x+2m-3=3x+7解得x=m-5.依据题意得OWx<2,即0Wm-5W2,.5wmW7.故本题应选（D）.用排除法.14x-7（3x十8）

12、V4（2x-5）,14x-21x-56V8x-20,14x-21x-8xV-20+56,-15xV36,所以(A),(B),(D)均可排除.故本题应选(C).(6)用直接法.(a2）2|2a3bn|0.得a-2=0则a=2.2a-3b-n=0以a=2代入得b为正数4-n0,/?nV4.故本题应选（C）.发散2填空题TOCo“1-5”hz若方程kx+仁2x-1的解是正数则k的取值范围是.若丨2a+3|2a+3则实数a的取值范围是.在下面横线上填上等号或不等号.设mn,那么m-5n-5;-5m-5n;mn;mpnp。1010有一个两位数其个位数字比十位数字大2,已知这个两位数大于20而小于40,则

13、这个两位数为.已知0waW15,且awx<15则当x时式子|x-a|+|x-15|+|x-a-15|的值最小.解(1)?/kx+1=2x-1,(k-2)x=-2,由题意得2iT2仁-1不成立.k-2v0,.?.kv2.当仁-1不成立.(2)依据绝对值的概念如果2a+30时|2a+3|=2a+3,只有2a+3v0时才有|2a+3|2a+3,解不等式2a+3v0得3a2设mn,那么m-5n-5(根据不等式性质1);-5mv-5n(根据不等式性质3);(根据不等式性质2):0当p0时mpnp,当p=0时mp=np当pv0时mp<np.(4)设十位数为x,由题意可得20v10x+(x+2)

14、v40,得20vllx+2v40,即18v11xv38,.1838x1111Tx为整数x=2或x=3,所求的两位数为24,35.T0<aw15,且a<x<15,a+1515,x-(a+15)w0,又awxw15,x-a0,x-15w0,Ix-a|+|x-15|+|x-a-15|=(x-a)+(15-x)+(a+15-x)=x-a+15-x+a+15-x=30-x.要使上式值最小只需x最大而awxw15.当x=15时上式取最小值为15.发散3解答题(1)解不等式3(2x-5)-5(1-x)x-2(x-6);(2)解不等式3x14(3)解不等式2x13解(1)3(2x-5)-5(

15、1-x)21；3x10.5(3x5)1.250.6x-2(x-6),去括号得6x-15-5+5xx-2x+12,移项得6x+5x+2x-x15+5+12,合并同类项得12x32,系数化为1得x8；3x14去分母得去括号得32(x2)1,33(3x-1)4_2(x-2)+12,9x-38x-16+12,移项得9x-8x-16+12+3,合并同类项得x-1TOCo“1-5”hzo“CurrentDocument”2x1x1丁0.5(3x5)w依,将小数全部变为分数得o“CurrentDocument”2x13x5x150o“CurrentDocument”3264去分母得4(2x-1)-6(3x-

16、5)-2(x+1)+3_50,去括号得8x-4-18x+30-2x-2+150,合并同类项得-12_+390,移项得-12x-39,1系数化为1得x3.4解法指导既含有分母又含有小数的不等式可将小数化为分数也可将分数化为小数,但后者有可能出现无限小数会使运算答案不准确故常将小数全部化成分数后再解.纵横发散发散1已知发散1已知6<mrc12,n3m.求m+n的取值范围.分析由已知得出和3m的取值范围再确定m+n的范围.3解?/6<m<12,又又4,18W3m<36,3m,2wnv36,故8wm+rv48.111发散2p为何值时方程x-(3xp)-(2x7p)3(_6p)有

17、负数解.522分析先解方程求出x的值.在本题中这是关于字母p的表达式然后再由xv0的条件解关于p的不等式确定p的取值范围.解解方程得19x=30-3p,303p19x19实用标准文档实用标准文档1,61,6.文案大全/方程有负数解即xv0,即p0,19解此不等式得p10.发散3当y取什么值时代数式的值满足下面条件:4(1)大于11y的值；21不大于y1的值;2是非负数.解(1)根据题意得2y11ly2y-14+6y,-54y,5y4y5时代数式4(2)根据题意得42y-1<6y-4,1<4y,1y41当y1时42y1-的值大于41彳2y111y的值(3)根据题意得的值不大于1y42

18、2y1门0,2y-1o,41的值.1y21二当y时,2【变形发散】的值是非负数.4发散题分析的不等式.a取什么值时关于x的方程-4a的代数式来表示本题将原方程变形以含x2a12x-426彳6a17【转化发散】2a2xa1的解大于1.2x从而利用x1的条件解关于a实用标准文档实用标准文档文案大全文案大全1发散1当x分别为何值时代数式(3_)的值2不小于1;为正数.1解(1)根据题意有(3x)1解这个不等式得x<1.21当x取小于或等于1的值时代数式(3x)不小于1；21根据题意有(3_)0解这个不等式得xV3.21当x取小于3的值时代数式(3x)的值为正数.2x发散2当x取何值时代数式4的

19、值32x1(1)小于21的值；62x1不小于的值.6分析依题意将比较2个代数式之值大小的问题转化为解不等式问题.x2x1解(1)根据题意要求不等式4-的解集.36解这个不等式得24-2xV2x+1,23V23V4x得x423x2x1所以当x取大于仝的值时4x的值小于么的值;436(2)根据题意要求不等式4-32x1仝一(2)根据题意要求不等式4-32x1仝一1的解集,6解这个不等式得23x4所以当x取不大于【逆向发散】的值时,4x2x1心士3的值不小于的值.发散1已知|x21(3xym)20.(1)当m为何值时y0;当m为何值时yV-2.解?.Tx-2|0,(3xym)20,只有在丨x-2|只

20、有在丨x-2|=0且(3xym)20时它们的和才能等于0,因此x=2,3x-y+m=0,将x=2代入得-y+m=-6.即y=m+6.要使y0,即卩m+60,得m-6.当m-6时y0;要使yv-2即m+6<-2得mv-8.当m<-8时yv-2.发散2若|3x12|(5xym)20.当y0时求m的范围；当yv0时求m的范围；当y=0时求m的值.解/|3x121(5xym)20,3x-12=0,5x-y-m=0,x=4,y=5x-m=20-m.vy=20-m0?mv20.即当yO时mv20;vy=20-mvOm20.即当yvO时m20;vy=20-m=0?m=20.即当y=0时m=20【

21、变更命题发散】2发散1当k取何值时方程x3k5(x3分析先解方程求x.2解x3k5(xk)1,32x-9k=15(x-k)+3,2x-9k=15x-15k+3,13x=6k-3,6k3x13令6k_306k-30,1312.1、时原方程的解为正数.22当k取何值时方程x3k5(x3k)1的解是正数.-k即当k发散2k)1的解是负数.分析先解方程求x.2解x3k5(xk)1,32x-9k=15(x-k)+3,2x-9k=15x-15k+3,13x=6k-3,6x313令6x3o.6k-3vo.131k2.即当k1时原方程的解为负数.2【构造发散】xx发散1求同时满足不等式6x-23x-4和12的整数x.4