ETF被动套利中指数复制设计及套利成本设定

1、精心整理ETF被动套利中指数复制设计及套利成本设定长城伟业期货公司特约研究员王红兵2007-05-10血14齐十0十(坷-引-爲1十卫(1十q)指数基金etf是投资股指期货的主力机构。在美国资本 市场，指数基金不到3年资产管理规模翻一番，约达 4500亿美元。2007年第一季度，美国新上市指数基金110只。而同期新上市的全部传统型共同基金仅50只。在股指期货被动套利的现货选择上，交易型开放式指数基金组合比较合适，但众所周知，指数基金ETF的流动性不尽如人意，那么目前 ETF是否可以用来进行股指期货被动套利？衍生的问题诸如ETF如何复制沪深300指数、在指数跟踪中发生哪些影响套利收益的成本、这些

2、成本的大小等，诸多细节 在套利实务中十分关键，直接影响着套利的成败。本文利用ETF进行被动套利的技术细节及相应的套利成本测定，解决以下五方面问题。一、套利了结时点选择：T+0还是T+1?由于ETF可当天赎回操作，赎回的一揽子股票可当天出售， 所以理论上利用ETF进行股指期货套利 可实现T+0交易，但因ETF存在最小申购赎回单位以及流动性不足的限制，T+0可能不成立。按一般原则，当日申购的基金份额可同日卖出，但不得赎回；当日买入的基金份额可同日赎回，但 不得卖出；当日赎回的证券可同日卖出，但不得用于申购基金份额；当日买入的证券可同日用于申购 基金份额。最小申购赎回单位指投资者进行ETF实物申购、

3、赎回申报的基本单位，又称“创设单位”(CreationUnit,CU)。每只ETF最小申购赎回单位不尽相同，其大小的确定主要取决于目标指数成份股构成与基金跟踪误差控制目标的设定，但相对ETF的交易单位而言普遍较大。深证 100ETF、上证50ETF最小申购赎回单位均为100万份基金份额，上证180ETF最小申购赎回单位为30万份。if jr从换手率来看ETF的流动性，如图1.1所示：上证50ETF流动性最好，深证100ETF其次，上证 180ETF 最差。图1.1?三只ETF日均成交数量(2006.07 2007.01)目前ETF的流动性还比较弱，尤上证 180ETF。为满足最小申购赎回单位，

4、仅上证50ETF流动性尚且满足。这样的流动性会导致巨大的冲击成本，套利过程中购买最小赎回单位的ETF必须承担一定的冲击成本。用分笔数据测试其冲击成本，由于流动性不足，最小赎回单位不可能一笔交易完成，连 续的购买可能经历几种成交价格，这里把购买过程中相对于购买开始时间多付出的累积交易成本称为 冲击成本。以2007年2月15日为例，配置最小赎回单位 ETF的CVaR (ConditionalValueatRisk)值如图1.2所示，95 %置信水平下上证50ETF最大损失平均值为0.1267 %，而上证180ETF最大 损失平均值为0.7307 %。流动性问题是利用ETF进行股指期货套利的主要障碍

5、，不过随着股指期货的发展会逐渐改善，届时 利用ETF进行股指期货套利比较合适。图1.2?配置最小赎回单位ETF的CVaR （95 %）风险值受最小赎回单位的约束，T+0套利中基金的配置不能以任意比例进行，否则将导致套利规模过大， 且如此局限的配置也将导致无法完全匹配期货头寸。以2007年2月合约为例，选取深证100ETF和上证50ETF （因流动性问题暂不考虑上证 180ETF ），ETF组合配置的比例及该比例下的规模如下表 1所示：表1?ETF头寸匹配（以2007年01月19日收盘价计算）图1.3?不同配置下ETF组合的CVaR风险值上证50ETF配置25 %时需1000万的套利资金。如套利

6、期间现货下跌，无法匹配的多余现货（0.6373/12= 5.31 %）市值减少的风险无法对冲。假定现货头寸有些“多余”，现货部分中不匹配的比例为K，则套利过程可用下表表示：表2?利用ETF进行股指期货套利期末现金流可表示为各项现金流的和，如下式所示:删心鬲+0+宙-射-叙1+闾（1+为(1)?期货结算价一般收敛于现货价，如ETF与指数拟合良好，则S0 X（ 1+RS ）与PT之间的差异接近于零，期末现金流可表示为公式（2），多余部分的市场风险暴露，且要承担多余部分的资金成本。也厂=绻疋（1 +饱）+坊一焉（1 +定）（1 + Q(2)?、最佳套利规模及规模下的套利成本设定套利了结时点选择T +

7、 1更为合适。由于套利资金规模较大，那么发现套利机会后ETF组合能否承受这些套利资金规模呢？精心整理ETF组合跟踪指数能力的衡量主要采用累计跟踪误差均值和跟踪误差导致的CVaR，累计跟踪误差均值主要衡量未来任一时点了结时现货头寸的平均损益，跟踪误差CVaR主要用来衡量在一定置信水平下未来任一时点了结头寸可能导致最大损失的平均水平，假定95 %的置信水平，相应的跟踪误差CVaR简单来说指跟踪误差最大的前 5 %交易时点所发生的平均跟踪误差。1. 跟踪误差导致的成本以2007年2月当月合约测试跟踪误差导致的成本，在未来累计1天和2天交易时间内相机了结，在合约随机选取20个建仓点测算跟踪误差导致的

8、95 % CVaR值，结果如图2.1所示。可见未来1日和2日内了结在80 %（16个随机交易时点）交易时点上跟踪误差导致的最大平均损 失基本可控制在0.66 %之内，未来2日了结的风险略大。实际套利中可跟踪最近历史数据进行推算，以便判断套利机会时设定成本。图2.1 未来1日和2日内了结可能导致最大损失的平均水平?2. 定套利规模下的建仓成本受ETF流动性限制，套利规模越大建仓时冲击成本也越大，这里的建仓成本指由于冲击成本产生而 导致现货和期货无法完全匹配，下面采用2007年3月7日5秒钟高频数据进行建仓成本的模拟测算， 套利规模分别为1至10份合约。3. 套利规模与限时建仓成功的概率当上证50

9、ETF、深证100ETF、上证180ETF 数量配置比例为 0.475:0.475:0.05 时，当天建仓 成功概率如图2.2。因ETF流动性不足，即使发现机会当天也不一定建仓成功，随着套利规模增大， 建仓成功概率也将不断下降。从图2.2可见，当套利规模为1份合约时，当天建仓成功概率为98.09 %;套利规模在5份以上时, 此概率下降到80 %以下；套利规模为10份合约时，以2007年3月7日收盘价计算，套利规模大概 为776.8万元，此时当天完成建仓的概率只有 72.59 %。虽然套利规模越大可能未来绝对盈利也越多，但套利建仓失败的风险也越大。如果要求建仓时间非 常短（如一分钟内），则图 2

10、.2所示成功概率还要降低，图 2.3为限时建仓成功的可能性。事实上，2007年3月7日数据表明，一分钟几乎无法完成任何规模套利头寸的建仓，即使1份合约规模的套利，成功建仓的可能性也只有3.47 %。图2.2?0.475:0.475:0.05配置时，当天成功建仓的可能性图 2.3?0.475:0.475:0.05配置时，限时建仓成功的可能性精心整理4. 套利规模与建仓成本发现套利机会后立即建仓买入ETF现货组合，但由于建仓时流动性不足引发冲击成本，这就是建仓成本。图2.4是3月7日当天完成建仓的建仓成本，套利规模越大建仓成本也越大， 不过增大的幅度不大。当套利规模为1份合约时，建仓成本的 CVa

11、R(95%)为0.2488 %, 5份时建仓成本的CVaR(95%) 为0.4077 %，10份建仓成本的CVaR(95%)为0.5298 %。平均建仓成本基本都在 0.2 %以下。建仓成本和当天行情关联较大，平衡市中成本可能较低，上涨行情中成本可能较高。图2.4?0.475:0.475:0.05 配置时，建仓成本的 CVaR(95%)和平均建仓成本5. 配置比例与建仓成本配置比例的不同也会导致建仓成本产生细微差异，不过最优配置比例一般在套利前才能确定，所以 这里只是给出2007年3月7日当天建仓成功且套利规模为5份的参考数据。当上证 50ETF、深证 100ETF、上证 180ETF 配置比

12、例为0.475:0.475:0.05、0.5:0.5:0、04060 、06040 时，平均建仓成本及其套利建仓成本 95 % CVaR值如下图2.5所示。显 然，在ETF组合中，流动性最好的上证 50ETF配置越多建仓成本就越低。图2.5?不同配置比例下平均建仓成本及其95 %CVaR值(5份套利规模)三、ETF组合构建方法的设计与比较目前来看，利用ETF进行股指期货的被动套利存在流动性方面的局限，使大规模的套利行为充满风险，不过随着ETF流动性的改善，未来还是可行的。那时涉及的问题就是如何构建ETF组合使其跟踪指数的能力满足套利者的风险控制需求，从而降低套利失败的概率。优化是ETF组合构建

13、中用到的主要方法，即利用历史数据在特定目标下优化出ETF的配置权重，优化可以有不同的目标，不同的优化目标下权重的配置有差异，从而导致不同的指数跟踪能力，这里我 们设计了五种优化方法：1. 定量配置权重，时点跟踪误差最小证券组合中各证券的数量权重为 W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上时点跟踪误差的 均方根最小，这种优化目标对于较大跟踪误差的证券权重进行压缩。2. 定量配置权重，累计跟踪误差最小证券组合中各证券的数量权重为 W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上累计跟踪误差的 均方根最小，这种优化目标对于较大跟踪误差的证券权重进行更为严厉的压缩。3. 规避过大风险证券组合中各证券的

14、数量权重为 W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上超过阀值的累计 跟踪误差的均方根最小，这种优化目的一般需采用遗传算法等比较复杂和耗时的算法工具。4. 协整均衡即认为ETF组合与标的指数存在协整关系(cointegration )，ETF的配置权重根据这一协整关系 进行设定。5. 以上几种方法的组合不同优化方法不可能在所有时点均保持最优的指数跟踪能力，同时采用上述方法计算权重后再次进 行加权可能更为稳健，不过不同配置方法的权重分配较难确定，一般可根据历史模拟进行。四、市场不同阶段下ETF组合构建方法的优劣1.较长周期的套利以0612合约期为例：2 “累计跟踪误差最小”为最优方案，跟踪误差

15、均值为0.48% ，95%的CVaR值为-0.41% ，即最大平均损失95 %概率不会超过0.41 %。以上结论假定合约期起点建立头寸，但套利机会的出现是随机的。那么在随机建仓时优化方法的指 数跟踪效果如何？在合约期内随机选取10个建仓点，从建仓点到合约结束为套利期， 进一步分析各种方法的优劣。 这 里着重比较可能发生最大损失的平均水平，即CVaR值的大小。由于“规避过大风险”方法需使用遗传算法耗时较长，故不考虑使用。通过计算可发现不同建仓时点，没有那种配置方法能始终最优，而 采用综合加权方法指数跟踪效果可能更稳健些。以上方法对整段历史数据进行优化，潜在假设不同时点的历史数据对计算结果的贡献同

16、样，一般来 说，越临近的数据越能解释未来，那么需要对历史数据采用分段数据加权的办法。接下来比较三种加 权方法的指数跟踪效果，即一段加权、二段加权和四段加权，也就是把历史数据分一段数据、两段数 据和四段数据分别优化，然后对分段权重进行加权。通过综合优化方法在10个随机建仓时点上分别采用三种加权方法计算指数跟踪的CVaR值。可以发现“四段加权”在指数跟踪上效果最优，大多数时点上能有效降低指数跟踪最大损失的平均水平。以0701合约期为例:接下来通过综合优化方法采用三种加权构建的ETF组合从建仓点到合约到期期间的指数跟踪效果。可以发现合约前期建仓点跟踪误差导致的损失较大，而四段加权甚至会恶化指数跟踪效

17、果，说明这段 时间内行情发生了较大的变异，更加复杂。针对这些行情特征，将在本文第五部分进行分析。以0702合约期为例：200 “累计跟踪误差最小”为最优方案，跟踪误差均值为-0.04% ，95 %的可能性下最大平均跟踪误差也不会超过-0.92%。继续在合约期10个不同时点进行随机套利建仓， 从建仓点到合约结束为套利期，“累计跟踪误差最 小”也并非总是最优方案。通过比较综合优化方法在10个随机建仓时点上采用三种加权方法的指数跟踪CVaR值，可以发现，较多套利时点上“四段加权”在指数跟踪上效果较优，在大多数时点上比“一段加权”能略微降低指 数跟踪最大损失的平均水平，不过优势并不大。以上三合约结果表

18、明：在2007年1月和2月合约期，不同优化方法和加权方法构建的 ETF组合在 随机套利点均无突出表现，一是需要对优化方法和加权方法进一步改进，二是针对这些复杂多变行情 需要ETF组合进行再平衡，在套利过程中定期调整ETF配置权重。I 、一*2. 较短周期的套利一般情况下套利周期可能并不长，有可能短期内就进行了结。这里延续上面研究方法，随机选择10个建仓点，着重比较1天、2天和5天套利期内ETF组合跟踪误差95 %的CVaR值。比较结果发现，不同的方法并不能导致明显的改善，所以综合法是比较适合的。另外直观地从3个合约期30个随机建仓点的跟踪误差来看，进行1天时长的套利需预留0.5 %的成本以覆盖最大该跟踪 误差的发生，进行2天时长的套利需预留0.6 %的成本，进行5天时长的套利需预留0.8 %的成本。五、较长周期套利中，ETF组合的再平衡问题1.ETF组合的再平衡指数跟踪过程中，当跟踪效果开始恶化，ETF组合就需被动进行权重调整，而主动进行定期调整可能避免一些恶化情况的发生。以 2007年1月当月合约期为例，考察主动再平衡对指数跟踪效果的改 善效应，采用“累计跟踪误差最小”优化方法和二段加权方法，一周