双曲线典型例题讲义

1、双曲线典型例题讲义直线与双曲线、知识梳理1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：（1）在平面内；（2）与两定点Fi，F2的距离的差的绝对值等于常数；（3）常数小于|FiF2|.2.双曲线的标准方程和几何性质标 准 方 程2 2拿bj= 1(a0, b0)2 2y xa2 b2= 1(a0，b0)图 形K卜%A性质范围xa 或 x a, y Ry0, b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线 的c/a的取值范围是()A.(迄 2) B. (1, 3) C. (1 , 5) D . ( 5,+ oo2 2例4已知双曲线卑一y5 = 1的右焦点为（3,0）,则该双曲a 5线

2、的c/a等于（）A血 B鉅 C 31442例5双曲线mx2 + y2 = 1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=.例6.已知中心在原点的双曲线C,过点P（2, 3）且c/a为2,则双曲线C的标准方程为例7.设Fi,F2是双曲线C:22x_y_2 2 ab1(a0, b0)的两个焦点，P是C上一点.若IPF1I+ |PF2| = 6a,且厶PF1F2的最小内角为30则C的c/a为.例8.已知椭圆D:2 2x y + 4 =50+ 251 与圆 M : x2+ (y 5)2 = 9,双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与 圆M相切，求双曲线G的方程.例9过双曲线1的右焦点F2,倾斜角为30勺直

3、线交双曲线于A, B两点，O为坐标原点，Fi为左焦 占八、(1)求|AB|; (2)求厶AOB的面积.例10.已知双曲线的中心在原点，焦点Fi、F2在坐标轴 上，c/a为 2,且过点 P(4,10).(1)求双曲线方程；(2)若点M(3, m)在双曲线上，求证：M 1 M 2= 0； (3)求厶 F1MF2 的面积.11、已知曲线C的方程为2 2盍说=1,(1 )若曲线C为椭圆，贝Im的取值范围 为；(2)若曲线C为双曲线，则m的取值范围为2 2 12、直线l: y=kx-2与双曲线C : 土七=佼于A、B两点， 若AB 6 2，求k的取值范围。213、对于双曲线x2 一才过B(1,1)能否作

4、直线m，时使m与双 曲线交于P，Q两点，且B是PQ的中点.若存在，求出m的 值；若不存在，说明理由。214已知双曲线的方程x? 一十胡，试冋是否存在被点(1,1)所平分的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在, 说明理由。15、试问双曲线3x2-y2=1上是否存在A、B两点关于直线y冷x_4对称？若存在，求出AB直线方程；若不存在， 说明理由.16:已知双曲线C: x2务=1,过点P (1, 1)作直线I, 若I与C左支有两个不同的交点，求直线I的斜率的取 值范围。练习: 1.与椭圆-+y2= 1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()2 2 2 2A X 2x 2x y ,a4y= 1 巧

5、y= 1 Cw二=1D. x2y22.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经 过点(4, 2),则它的c/a为()B. 5A. 62 212,则3 双曲线25y9=1上的点到一个焦点的距离为到另一个焦点的距离为（）A. 22 或 2B. 7D. 24. （2010辽宁）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端 点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直， 那么此双曲线的c/a为（）B. 3A. 2J 3+ 1D.2C.25若点O和点F（ 2,0）分别是双曲线拿-y2= 1（a0）的 a中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，A . 3 2 3 ,7C + OOC. 4,+ 丿则OP

6、FP的取值范围为（）+ O）B . 3 + 2 3 , + O蚯+0x2 y26已知双曲线C:孑一皆1（a0, b0）,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）CabD. a2+ b22 27.点P在双曲线上字一古=1（a0, b0）上，Fi, F2是这 条双曲线的两个焦点，/ FiPF2= 90且厶F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的 c/a是（）A. 2B. 3C. 4D. 58已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ 7, 0）,直 线y= x 1与其相交于M , N两点，MN中点的横坐2标为一3,则此双曲线的方程是（）A.Bdy242C.5 9设F1、F2分别是双曲线x

7、2-仝=1的左、右焦点 若点P在双曲线上，且PFiPF2，则|PF1 +晅|=210已知双曲线x2 b2（b0）的一条渐近线的方程为 y=2x,贝H b=.11.已知双曲线kx2y2= 1的一条渐近线与直线 2x+ y + 1 = 0垂直，则双曲线的c/a为;渐近线方程为.y= fx,贝 M2 212已知双曲线m-n=1的一条渐近线方程为该双曲线的c/a为.2 213.双曲线字一存=1(a0, b0)的左、右焦点分别为Fi,F2,过Fi作直线交双曲线的左支于 A, B两点，且|AB|=皿，则厶ABF2的周长为.2 214已知Fl、F2分别为双曲线C: 9 27= 1的左、右焦点，点 A C,点

8、M的坐标为(2,0), AM为/ F1AF2 的平分线，则|AF2|=.15 已知双曲线x22存=1(a0, b0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线 h于P(亏, 中).(1)求该双曲线方程；(2)过点F作直线12交该双曲 线于M , N两点，如果|MN| = 4,求直线12的方程.16.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fi（-3,0）, 条渐近线的方程是e x-2y=0.（1）求双曲线C的方程；若以k（k工0）为斜率的直线i与双曲线C相交于两个不 同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的 三角形的面积为81，求k的取值范围.仃.直线|:y=kx+1与双曲

9、线C:2x2-y2=1的右支交于不同的 两点A、B.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双 曲线C的右焦点F ?若存在，求出k的值；若不存在， 说明理由.四、课后作业2 21已知双曲线拿十(a0, b0)的左、右焦点分别为Fi、F2,若P为其上一点，且|PFi|= 2|PF2|,则双曲线c/a 的取值范围为()A(1,3)B(1,3C (3,+ %)D3,+心22.已知P是双曲线拿2y_9右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y= 0.设Fi、F2分别为双曲线的左、右焦点若 |PF2| = 3,则 |PFi| =.3.过双曲线匚l(a0,b0)的左

10、焦点且垂直于轴的直线与双 a b曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的c/a等于.4.求适合下列条件的双曲线的方程:(1)焦点在轴上，虚轴长为12, c/a为4 ； 距离为6,渐近线方程为5.已知双曲线的方程是 16x2 9y2= 144 .(1)求该双曲线的 焦点坐标、c/a和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上, 且|PF1| |PF2| = 32,求/ F1PF2 的大小.6.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x轴上， Fi、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点 P,Z FiPF2=n，且出许2的面积为23,又双曲线的c/

11、a 为2,求该双曲线的方程.7.已知椭圆的方程为双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.(1) 求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线C2恒有两个不同 的交点A和B,求的范围 参考答案2双曲线1解析B椭圆:+ y2= 1的焦点坐标是(;3, 在双曲线上，所以刍一2= 1, a2 + b2 = 3,解得a2= 2,0) 设双曲线方程为x2a22器=1(a0, b0) 因为点 P(2,1)a b2b2= 1,所以所求的双曲线方程是 号一y2= 1.2 22解析 设双曲线的标准方程为 字一詁=1(a0, b0)，所 以其渐近线方程为y= x,因为点(4, 2)在渐近线上

12、，2 2 b 1222 c 一 a 125所以a = 2，根据c = a + b ,可得一a = 1，解得e = 5,-5e=，故选D.3答案 A4答案 D解析 直线FB的斜率为b,与其c垂直的渐近线的斜率为b,所以有一 h= 1即b2 = ac,aac所以c2 a2= ac,两边同时除以a2 可得 e2 e 1 = 0,解得e=1+ 525解析B因为F( 2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a22+ 1 = 4,即a2= 3,所以双曲线方程为；一y2= 1.设点P(xo,2 2yo)，则有 X y0= 1(xo汽3),解得 yo = X 1(Xo3).因 为FP = (xo+ 2, yo),

13、OP = (xo, yo)，所以 OP FP = Xo(xo242+ 2) + y2= Xo(xo + 2)+1 = 3O+ 2xo 1，此次函数 对应的抛物线的对称轴方程为 Xo= 4，因为xo 3,所 以当Xo = 3时，OP FP取得最小值3x3+ 2 3 1 = 3 +2 3，故OP FP的取值范围是3 + 2,3,+).6答案 B7 解析D 不妨设|PFi|, |PF2|, IF1F2賊等差 数列，贝I4c2 = |PF1|2 + |PF2|2,由 2|PF2|= 2c+ IPF*,且 IPF2I |PF1| = 2a,解得 |PF1 = 2c 4a, |PF2| = 2c 2a,

14、代入 4c2 = |PF1|2+ |PF2|2,得 4c2 = (2c 2a)2 + (2c 4a)2, 化简整理得c2 6ac+ 5a2 = o,解得c= a(舍去)或者c= 5a,故 e= ：= 5.2 28答案 D解析 设双曲线方程字一器=1, M（X1,屮）,N(X2, y2),2 2X1 y1 彳 a2 b2=12 2x2鬢=1a b y1y2 b2 X1 + X2一得：1=孑 L5,2 2/5a2 = 2b2.又 a2 + b2 =7,a2= 2, b2 = 5,选 D.5 19. 2 1010。2 11。2，xy= 0 双曲线 kx2 y2= 1的渐近线方程是y= kx.又因为一

15、条渐近线方程与直线_ 1 1+ 1 = 0垂直，k= 2, k= 4.双曲线的c/a为e=2x+ y1+115亍；渐近线方程为1xiy= 0.12答案设 m0, n0,n 4 ji 16 m = 3，祜 ，x1 x2m+ n =己=1n m255me= 3.设 m0, n2;若M , N 两点在双曲线的两支上，则k20,b0). a b由题设得FT9解得；：；所以双曲线C的方程为斗一=i. (2)设直线I的方程为y=kx+m (k 半 0).点M (xi, yi), N (X2, y2)的坐标满足方程组ry将式代入式，彳2 2 2 (5-4k )x -8kmx-4m -20=0.此方程有两个不

16、等实根，2 2 2=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20) 0,整理得 m2+5-4k2 0.二 kx m2 2xy_=i52 x 42(kx m)25=1,整理得于是5-4k2半0,且由根与系数的关系可知线段 MN的中点坐标(Xo,yo)满5 4k2 ,yo=kxo+m=缶.MN的垂直平分线的方程为y-足 X0= 2从而线段xi ，X2 4km5m12 = -5_4k2k4km X|此直线与X轴、y轴的交点坐标分别为-由题设可得19km2 5 -4k29m5 -4k2=扌.整理得m2= (5十2)2 ,kM 0.将上式代入式得迸产+5-4k2 0,整理得2 2(4k2-5)(4k2

17、-|k|-5) 0,k 半 0.解得0V|k|V J5或|k| 5 .所以k的取值范围是(4，-号)U(-于,0)U (0,于)U (彳，+s).17解(1)将直线i的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1 后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0 依题意，直线与双曲线 C的右支交于不同两点,2k2 -2 丸 =(2k)2 -8(k2 -2) 0解得k的取值范围为-2v k V-.2设A、B两点的坐标分别为(xi,yi),(X2,y2),则由式得丿xi亠X22k2k2-2假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA丄FB得(Xi-c) (X2

18、-c)+yiy2=0.即(xi-c)(x2-c)+(kxi+1)(kx2+1)=0.整 理得：(k2+1)XlX2+(k-C)(Xl+X2)+C2+1=0把式及c=代入式化简得5k2+2 6 k-6=0. 解得k=-宁或k=宁(-2,- 2)(舍去).55可知k=-耳使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的5右焦点.1. B 解析：I |PF1|PF2|=|PF2匸2a,而双曲线右支 上到右焦点距离最近的点为右顶点， 有c aW2,.1e0,b0).由题意，得解得 a b7所以焦点在轴上的双曲线的方程为时，24 x=6，解得x 4 此时，所求的双曲线的方程为|-8.= 1 .4当XV时，2、-9 X=6，解得X.此时，所求的双曲线的方程为2 21945.解：由 16x2 9y2= 144得沁=1，二 a= 3, b= 4,c 5.焦点坐标为(一5,0), (5,0)，c/ae= 3，渐近线方程为y= gx.(2)由题意，得