四年级上册数学几何专题讲义(共6讲)-第5讲三角形的等积变形全国通用(含答案)

1、我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底、高+2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小，三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和 高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。比如当高变为原来的3倍，底变为原来的;，则 三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而 不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。在实际问题的研究中

2、，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等。若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面 积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面 积也是另一个三角形面积的几倍。夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，A4c。和MC夹在一组平行线之间，且有公共底 边CO那么Ss = S皿C 反之，如果= S,则可知直线4?平行于CO .四年级（几何）品1注英16页【例1】如图，在AA3C中，D是BC中点,是短中点，连结4、CE 9那么与A4B等积的三角形 一共有哪几个三角形？四年级(几何)品3

3、注英16页【分析】3个，A4EC、MED、SDEC。【例2】如图，长方形A8CD的面积是56平方厘米，点 F、G分别是长方形A3CO边上的中点, H为4?边上的任意一点，求阴影部分的面积。【分析】连接CH ,AE = EB:.S“eh=S油田同理，S 谢=S Kg S“ G” = Sy mh 9/. S阴影=SBCD + 2 = 56+ 2 = 28 （平方厘米）【例3】如图，在平行四边形ABC。中，平行AC,连结8、AE. CF、出;那么与ABEC等积的 三角形一共有哪几个三角形？【分析】AAEC. MFC.【例4】如图，A8C。为平行四边形，E”平行AC, 面积。如果AAQE的面积为4平方

4、厘米求三角形C。尸的【分析】连结 AF、CE,又AC 与上厂平行，SCE = SCF ：. SU)E = SACDr = 4 (平方厘米)。右抬同，着忌【例5】如图，4。长12厘米，QC长4厘米，B、C和。在同一条直线长。(1)求三角形ABC的面积是三角形面积的多少倍？(2)求三角形相。的面积是三角形A0C面积的多少倍？【分析】因为三角形ABQ、三角形A3C和三角形ADC在分别以皮、5C和。C为底时，它们的高都是 从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是： 三角形的面积= 12x高+2 = 6x高三角形A8C的面积= (12+4)x高 28x高三角形ADC的面积川x高+2=

5、2 x高4所以，三角形ABC的面积是三角形面积的-倍：3三角形的面积是三角形ADC面积的3倍。【例6】如图，三角形A8C中，DC = 2BD, CE = 3AE,三角形APE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？【分析】9： CE = 3AE9 ：. AC = 4AE,5ux. = 45AW ,叉： DC = 2BD,： BC = 5DC,=1558=65 = 12 （平方厘米）【例7】如图，在三角形ABC中，8c = 8厘米，高是6厘米，E、尸分别为钻和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米?【分析】:尸是AC的中点,，5皿=25,同理S=2S,Sub=Sasc+4 =

6、 8x6 + 2 + 4 = 6 （平方厘米）【例8】如图，三角形A3C的面积是24, D、七和尸分别是8C、AC和旬的中点。求：三角形DEF 的面积。【分析】三角形A0C的面积是三角形A3C面积的一半24+2=12,三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12 + 2=6。三角形DEF的曲枳是三角形ADE面积的一半，所以三角形DEF的面枳=6+2=3【例9】如图所示，在平行四边形A8C。中，为4?的中点，Ab = 2b,三角形AFE （图中阴影部分） 的面积为8平方厘米。平行四边形的面积是多少平方厘米？【分析】连结/力。三角形A总面积是三角形CF3面积的2倍，而三角形A?方面积是三角形AEP面

7、积的2 倍，所以三角形ABC面积是三角形AP面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形A3C面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形4芯面积的（3x2） = 6倍。因此，平行四边形ABCD的面积为8x6 = 48（平方厘米）。【例10（2008陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级）如图,A8CE是一个平行四边形，ADE是一个直角三角形，它们组合成了梯形A3CO。如果这个梯形的上底、下底和高分别为2、56777 和4cm 9则图中阴影部分的面积是 o【分析】 梯形总面积为（2 + 5）x4 + 2 = 14cm2 , S* = 1Si =1x2x4 = 4cm2, 22Sw =-x2x4=4cw2

8、，所以阴影部分面积为 S = 14-4-4 = 6c;n2oN忌相同，着名四年级（几何）品5注英16页【例11 如图，E在AD上,AQ垂直8C, A0 = 12厘米，。七=3厘米。求三角形A8C的面积是三 角形E8C面积的几倍？【分析】因为4?垂直于8C,所以当8C为三角形A8C和三角形EBC的底时，AP是三角形A3c的高， ED是三角形EBC的高,于是：三角形A8C的面积= 8Cxl2+2 = 8Cx6,三角形的面积 = 3Cx3 + 2 = 3CxL5所以三角形A8C的面积是三角形BC的面积的4倍。借助辅助核【例12（北京市第四届，迎春杯”赛）如图，三角形A8C的面积为1,其中AE = 3

9、A8, BD = 2BC,三角形BDE的面积是多少？【分析】连接CE, AE = 3AB, : BE = 2AB, SCE = 2SXCB , S相* = 2S*e = 4【例13 如图，三角形A3c被分成了甲、乙两部分，BD = DC = 4, BE = 3, A = 6,乙部分面积【分析】连接4）.BE = 3, AE = 6,. , S“RD = 3s独de又*/ BD = DC = 4,.*. Swc = 25、皿），* SBc = 6sAe巾,5乙=5s甲【例14】ABC。是平行四边形，面积为72平方厘米，、尸分别为他分的面积为平方厘米。BF0【分析】如图所示：设AC与中的交点为M,

10、 AC与中的交点为N,S.八.=72 + 2 + 3 = 12平方厘米Swe S尔f =72 + 2 + 3 + 2 = 6 平方厘米S阴=72 12 6 6 = 48平方厘米F例15 如图，已知三角形A8C面积为1 ,延长至。，使BD = AB； 延长C4至尸，使A尸= 3AC,求三角形。厂的面积. DD【分析】本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法. 春季再讲）。连接A、CD、BF、8c的中点，则图中阴影部延长8C至,使CE = 23C；E,燕尾定理我们会放到五年级是甲部分面积的几倍?四年级（几何）元9以英16页._ i c _ i 7 一- 1J MW 1-S 3BC

11、 = 1 同理可得其它，最后三角形DEF的面枳=T8【例16 如图所示，四边形ABC。的面积是1平方厘米，AB = AE. BC = BF、DC = CG、AD = DH , 求四边形E/PH的面积。【分析】由于图中四边形A3C0和四边形EFG均为不规则四边形，所以考虑做辅助线用间接求法，将其 转换成三角形，以便通过三角形的基本性质进行求解。联想到图中给出的四个中点，考虑如图作 辅助线，分别连接。、DB、GB ,这样一来，根据等底等高的三角形面积相等，不难得出：SADE = S$阴 9 SwB = Sws，S、eh + S、cGF = ZS,sa) = 2 平方厘米；同理，Sag/m+Sb =

12、2S.8m =2 平方厘米;所以Sefgh+ SACGF+ SDH +S相ef =l + 2 + 2 = 5 平方厘米。【例17如图所示，正方形A3CO的边长为8厘米，长方形EBGP的长为3G为1（）厘米，那么长方形的宽为几厘米？【分析】 连接AG （我们通过AABG把长方形和正方形联系在一起）;在正方形 A3C。中，S.=ABxAB + 2,/. =Sabc.d2 （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，SAAB；一 EK；B那么，SABCD = SlircB ,即：8x8 = 10x宽，那么：宽=6.4厘米【例18】（07年迎春杯初赛试题）如图，长方形A8CO被CE、分成

13、四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形面积是多少平方厘米？【分析】连接EQ和EC由于AE0C和AF0C等底等高所以面积相等，根据差不变的原理知道：S.DC = S40c。两端同时戒.去MXXJ即5皿纥Sg0c = S/ ADOC彳于到SmDO = Sco = S ,因为在 四边形里有一个对角线性质：对角乘积相等，知道/=2x8.s = 4,因为（?）面积为8 + 4 = 12, 长方形面积为12x2 = 24。轲余部分面积为24-2-5-8 = 9 （平方厘米）。【例19 （第四届小数报数学竞赛）如图，梯形A8CQ被它的一条对角线8。分成了两部分。三 角形BDC的面

14、积比三角形ABD的面积大10平方分米。已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是5分米。求梯形A8CQ的面积。【分析】如右图，作AB的平行线）七。三角形或陀的面积与三角膨ABQ的面积相等，三角形OEC的面积就是三角形80C与三角形的面积差（10平方分米）。从而，可求出梯形高（三角形 DEC的高）是:2x10+5 = 4 （分米），梯形面积是：15x4 + 2 = 30（平方分米）。【例20 如图，长方形A8CQ的面积是1, M是4?边的中点，N在边上，且2AN = BN 0那么, 阴影部分的面积是多少？【分析】连接8W,因为M是中点所以AA/加的面积为L又因为2AN = 8N ,所

15、以A4MW的面积为 41x1 = 1,又因为A5QC面积为1,所以阴影部分的面积为：1_1一1 = 4 3 12212 2 12【例21】正方形A8C。和正方形CE/P,且正方形A8CQ边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【分析】 （法1）三龟形BEF的而枳= BExEF+2,梯开么EFDC的面枳=（EF + CD）xCE + 2 = BExEF + 2=三龟形BEF的面枳,而四边形CEFH是它们的公共部分，所以三角形/的面积=三角形3cH的面积，进而可得阴影面积=三角形应）尸的面积=三角形8C。的面积= 10x10 + 2 = 50 （平方厘 米）。（法2）连接Cr,那么Cr平行8

16、。，所以，阴影面积=三惫形BDF的面枳=三角形8C。 的面积=50 （平方厘米）。【例22】两个正方形如图排列，面积相差60,求阴影部分梯形面积【分析】 如右图，将小正方形折我过去，Sc =S“也.=:乂60 = 30平方厘米。【例23】（2005年浙江省小学数学竞赛）如图所示，已知正方形A3CQ的边长为1（）厘米，EC = 2xBE9那么，图中阴影部分的面积是平方厘米。【分析】 设AE、BD的支点、为O,在边AB上取一点b,使得AF = 2FB,连结OF 0因为QE = QF, 所以、F两点关于直线8。对称。从而有 S*.bo = SEO = -S.o 因为 SBE = Swo + S6o

17、+ S与eo =4S.=BExAB2 = x02 = *见33s阴电=3xS6O = 3xS8 +4 = 3x? +4 = 12.5 （平方厘米）。【例24如图，正方形A5C。的面积为1平方厘米，Smg：S、ceg =2:1 S,bG：S*G=l:l,那么这四个小三角形面积之和【分析】如图连结D3四年级（几何）元13以英16页设/ = S.eg， = S、ceG，/ = S“fg , IV = S山柘，设H=/ + ，52=/ + /V ,/ = ”, .F为8中点，有Sb=S/.，ABCG 即$3=,又已知/为的2倍，BE = 2EC,S邓de=2S“de，2/ + = 2 +2s工，两边同

18、减去/,得/ + = 2S?, S. = 2S21因此：s, =，S乂m=，x，= -L,所以s =2S,=工，2 5 皿 5 2 1012 10故所求四个三角形面积为_1+2=2。10 10 10【例25】如图，3BE=BC9 4CD = AC9那么，A45C的面积是乩面积的倍。E【分析】设ACQE的面积为1,则AA花的面积为3, A4CE的面积为1 + 3 = 4 , A4所的面积为24CE面积的一半，即2。A48C的面积是A4EQ面积的（2 + 4） + 3 = 2倍。【例261如图，在四边形A8C。中，对角线AC、BD交于E,且AP = CE, BG = DE,如果四边形A8CQ面积是

19、1,求AEFG的面积？【分析】连结AG、CG,如右图所示,A/7 = EC 9 有 SgG 尸=S、cGE，又因为 ED = BG ,有,且 SACDE = S独 cg由此可见：AEFG的三个部分中S*函补到了邑皿），S也补到了邑小），而又会的位先不变,由此一来相当于将AEFG等积变形到了四边形A8C0,两者面积相同，即：Sv%=l.【例27】（2009年3月15日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第19题）如图，边长为4c/的正方形将边长为3cm的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于cm2 o【分析】空白部分的面积的差AS = S大王方彩一S小上方彩=a大五方彩-一。小正

20、方彩- = 4? 3- = 7平方厘米 【例28 如图，已知四边形的两条边的长度和三个角的角度，那么这个四边形的面积是多少?【分析】 如右图添加辅助线，则所求四边形的面积=大等腰直角三角形-小等腰直角三角形，所以所求 面积为7x7+ 2 -3x3+ 2 = 20。【例29（ 2009年12月20日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级选拔赛第二（4 ）题）如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。乙的一个顶点在甲 的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。这三个正方形的覆盖面积是 多少？【分析】如图所示，从正方形中心出发任意作两条相互垂直的射线

21、，能与正方形的边国成一个阴影部分, 由这样4个阴影部分，恰能拼成原来的正方形，所以S碇=S正方4甲、乙两个正方形重登部分的面积是甲正方形面积1：4乙、丙两个正方形重登部分的面积是乙正方形面积1 ;4所以这三个正方形的覆盖面积S = S r +S c +S 丙一S 、乙女会年分S 乙、两全钵分=S r +S l +S 丙一一St Sl = S * +S c +S 西 4444=n 甲。乙 2+ 而 = x4- + x6 +8- = 103 平方厘米。4444【例30下图正方形A5co边长是10厘米，长方形瓦的长为8厘米，宽为5厘米。阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是 平方厘米。ADEH甲乙FGBC

22、【分析】设空白部分的面积为S,那么阴影部分的面积差为（1（）2-S） - （8x5-5） = 100-40 = 60 （平方厘米）【练习1】 如图，在梯形A8C0中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?【分析】A4BO与A4C。, A48C与AZMC, A43O与坨。【练习2】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。【分析】4x4 + 2 = 8 （平方厘米）【练习3】（2003年3月30日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第4题）如图，将一个三角形（有阴影的）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三

23、 角形面积的 倍。【分析】如图所示大三角形的面积是原三角形面积的3x3 = 9倍。【练习4】 如图，三角形A8C的面积是36, D、E和尸分别是BC、AC和的中点，求：三角形 的面积。四年级（几何）元15页英16页【分析】三角形A0C的面积是三角形A3C面积的一半36 + 2=18,三角形ADE又是三角形ADC面积的一 半18-2=9。三角形DEF的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形小一的面积=9 + 2=45【练习5】 如图所示，在平行四边形A5c。中，为4?的中点，AF = 2CF9三角形A此（图中阴影 部分）的面积为10平方厘米。平行四边形A8CO的面积是多少平方厘米？分析连结所。三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2 倍,所以三角形A3C面积是三角形AEP面积的3倍：又因为平行四边形的面积是三角形A8C面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形A所面积的（3x2） = 6倍。因此，平行四边形的面积为10x6 = 60（平方厘米）。【练习6】 如图，三角形