多边形的内角和与外角和典型热点考题

1、多边形的内角和与外角和 典型热点考题例1已知：四边形的四个外角度数比为1 ： 2 ： 3 ： 4,求各外角的度数？解：设四边形的最小外角为 x； 则其他三角分别为2x。，3x , 4x ,根据四边形外角和定理：x + 2x + 3x + 4x =360 .x =36 , 2x =72 , 3x =108 , 4x =144 .四边形各外角度数分别为36 , 72 , 108 , 144 .例2多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350。，求多边形的边数？解法一：设边数为n,这个外角为x度，则ovxv 180,依题意有：(n-2) - 180 + x=1350,1350 x 八- 90 xn

2、 2 9 180180 .又 Ovxv 180,.,.-90 90-x90,n=9.解法二： Ox180;1350-180 1350-x 1350;即 1170 V 1350-x V 1350,又 (n-2)- 180=1350-x ,1170 (n-2) 180直角三角形，/ DAC=90 ,-S四边形 ABCDS ABC S ACD1 -1-AB BCAD AC二222 13 412 5 36=22点拨：当题目中有线段长度时， 一般利用勾股定理的逆定理判定某三角形是否为直角三 角形.四边形问题通常转化为三角形问题来解决，在构造三角形时必须同已知条件结合起来，不要随意连线.例4 一个n边形每

3、个内角都是 150 ,则这个多边形的内角和是多少？点悟：由于这个n边形每个内角都是150。，所以可以推知它的每个外角都为30。，而任意多边形的外角和都为 360。，从而可以知道这个 n边形的边数，再利用多边形内角和定 理即可.解：方法一：:这个n边形的每个内角都为 150 ,.此n边形的每个外角为 30 ,又 任意多边形的外角和为 360 , n=360 + 30 =12. 此 n 边形的内角和为 180 (n-2)=180 X 10=1800 .方法二：设这个多边形的边数为n,由题意得：150 n=180 (n-2).解这个方程，得n=12.则此多边形的内角和为：180 (n-2)=180

4、X 10=1800 .点悟：如图4-40 ,在n边形内部取一点 O,连接O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形，因为这 n个三角形的内角和等于 n 180 ,以O为公共顶点的n个角的和是 360 ,即 2X180 ,所以 n 边形的内角和是 n 180 -2X180 =(n-2) x 180 .我们还可以这样求 n边形内角和，如图 4-41所示，作经过n边形某一个顶点的所有对 角线，把n边形分成(n-2)个三角形，则n边形的内角和即为(n-2)个三角形的内角和.即 (n-2) - 180 .例5已知一个多边形的每个内角都为钝角，则这样的多边形有多少个？边数最少的一个是几边形？点悟：此题首先要利用多边形内角和定理表示出每一个内角，然后列出不等式.90 (n 2) 180180解：设多边形是n边形，由题意得：n180 ,90 ,n 0,解得 n 4.(n 2) 180 n(n 2) 180 nn4.，内角都为钝角的多边形有无数个.又4, n为整数，1- n的最小值为5,即边数最少的一个是五边形.注： 对于此题的最后一个问题，实际上是对不等式附加某些条件，然后可求出具体未知数，但要注意的是，五个角都是钝角的五边形是存在的，但五四形不一定五个角都是钝角点拨： 如果有 4 个或 4 个以上内角