北师大版初中数学九年级上 册第四章相似三角形

1、相似三角形及其应用相似三角形及其应用 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究 考点考点1 1 相似图形的有关概念相似图形的有关概念 考考 点点 聚聚 焦焦 回归教材回归教材中考预测中考预测 相似图形相似图形形状相同的图形称为相似图形形状相同的图形称为相似图形 相似多边形相似多边形 定义定义 如果两个多边形满足对应角相等，如果两个多边形满足对应角相等， 对应边的比相等，那么这两个多对应边的比相等，那么这两个多 边形相似边形相似 相似比相似比 相似多边形对应边的比称为相似相似多边形对应边的比称为相似 比比k k 相似三相似三 角形角形 两个三角形的对应角相等，对应边

2、成比例，两个三角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似当相似比则这两个三角形相似当相似比k k1 1时，时， 两个三角形全等两个三角形全等 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点考点2 2 比例线段比例线段 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 定义定义防错提醒防错提醒 比例比例 线段线段 对于四条线段对于四条线段a a、b b、c c、d d，如果其中，如果其中 两条线段的长度的比与另两条线段的两条线段的长度的比与另两条线段的 长度的比相等，即长度的比相等，即_，那，那 么，这四条线段叫做成比例线段，简么，这四条线段叫做成比例线段，简 称比例线段称

3、比例线段 求两条线段的比求两条线段的比 时，对这两条线时，对这两条线 段要用同一长度段要用同一长度 单位单位 黄金黄金 分割分割 在线段在线段ABAB上，点上，点C C把线段把线段ABAB分成两条分成两条 线段线段ACAC和和BCBC( (ACACBCBC) )，如果，如果_， 那么称线段那么称线段ABAB被点被点C C黄金分割，点黄金分割，点C C叫叫 做线段做线段ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，ACAC与与ABAB的比的比 叫做黄金比，黄金比为叫做黄金比，黄金比为_ 一条线段的黄金一条线段的黄金 分割点有分割点有_ 个个 a bc d 0.618 两两 相似三角形及其应用相似三角形及其

4、应用 考点考点3 3相似三角形的判定相似三角形的判定 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 判定定判定定 理理1 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所 构成的三角形与原三角形构成的三角形与原三角形_ 判定定判定定 理理2 2 如果两个三角形的三组对应边的如果两个三角形的三组对应边的_相等，相等， 那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似 判定定判定定 理理3 3 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 _相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似 判定定判定定 理理4

5、 4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 _，那么这两个三角形相似，那么这两个三角形相似 拓展拓展 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形与原直角三角形相似形与原直角三角形相似 相似相似 比比 相应的夹角相应的夹角 两个角对应相等两个角对应相等 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点考点4 4相似三角形的性质相似三角形的性质 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 相似三相似三 角形角形 (1)(1)相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比 (2)(2)相似三角

6、形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 (3)(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应相似三角形对应高、对应角平分线、对应 中线的比等于相似比中线的比等于相似比 相似多相似多 边形边形 (1)(1)相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比 (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点考点5 5位似位似 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 位似图位似图 形定义形定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连

7、线相交于一 点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图 形，这个点叫做位形中心形，这个点叫做位形中心 位似与位似与 相相 似关系似关系 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相 似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行 位似图位似图 形形 的性质的性质 (1)(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离 的比等于的比等于_； (2)(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于位似图形对应点的连线或延长

8、线相交于_ 点；点； (3)(3)位似图形对应边位似图形对应边_(_(或在一条直线上或在一条直线上) )； (4)(4)位似图形对应角相等位似图形对应角相等 相似比相似比 一一 平行平行 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 以坐标原以坐标原 点为中心点为中心 的位似的位似 变换变换 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点在平面直角坐标系中，如果位似是以原点 为位似中心，相似比为为位似中心，相似比为k k，那么位似图形对，那么位似图形对 应点的坐标的比等于应点的坐标的比等于_ 位似位似 作图作图 (1)(1)确定位似中心确定位似中

9、心O O； (2)(2)连接图形各顶点与位似中心连接图形各顶点与位似中心O O的线段的线段( (或或 延长线延长线) )； (3)(3)按照相似比取点；按照相似比取点； (4)(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图顺次连接各点，所得图形就是所求的图 形形 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点考点6 6相似三角形的应用相似三角形的应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 几何图形几何图形 的证明与的证明与 计算计算 常见常见 问题问题 证明线段的数量关系，求线段的长证明线段的数量关系，求线段的长 度，图形的面积大小等度，图形的面积大小等 相似三角相似三角 形

10、在实际形在实际 生活中的生活中的 应用应用 建模建模 思想思想 建立相似三角形模型建立相似三角形模型 常见常见 题目题目 类型类型 (1)(1)利用投影，平行线，标杆等构利用投影，平行线，标杆等构 造相似三角形求解；造相似三角形求解； (2)(2)测量底部可以达到的物体的高测量底部可以达到的物体的高 度；度； (3)(3)测量底部不可以到达的物体的测量底部不可以到达的物体的 高度；高度； (4)(4)测量不可以达到的河的宽度测量不可以达到的河的宽度 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 探究一探究一 比例线段比例线段 命题角度：命题角度： 1 1直角三角形两锐角互余；直角三角形两锐角互余； 2

11、 2直角三角形斜边上中线等于斜边的一半直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 归归 类类 探探 究究 例例1 如图如图221，已知在，已知在ABC中，点中，点D、E 、F分别是分别是 边边AB、AC、BC上的点，上的点，DEBC，EFAB，且，且AD DB 3 5，那么，那么CF CB等于等于() A5 8 B3 8 C3 5 D2 5 图图221 A 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 解析解析先由先由AD DB3 5，求得，求得BD AB的长，再的长，再 由由D

12、EBC，根据平行线分线段成比例定理，可得，根据平行线分线段成比例定理，可得 CE ACBD AB，然后由，然后由EFAB，根据平行线分，根据平行线分 线段成比例定理，可得线段成比例定理，可得CF CBCE AC，则可求得，则可求得 答案具体解题过程如下：答案具体解题过程如下： 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 解析解析AD DB3 5， BD AB5 8. DEBC， CE ACBD AB5 8， EFAB， CF CBCE AC5 8. 故选故选A. 相似三角形相似三角形及其应用及其应用 探究二探究二 相似三角形的性质及其

13、应用相似三角形的性质及其应用 命题角度：命题角度： 1. 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 2. 利用相似三角形性质探求比值关系利用相似三角形性质探求比值关系 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 例例2 如图如图222，ABC是一张锐角三角形的硬纸片，是一张锐角三角形的硬纸片， AD是边是边BC上的高，上的高，BC40 cm，AD30 cm，从这张硬纸，从这张硬纸 片上剪下一个长片上剪下一个长HG是宽是宽HE的的2倍的矩形倍的矩形EFGH，使它的一，使它的一 边边EF在在BC上，顶点上，顶点G、H分别

14、在分别在AC，AB上，上，AD与与HG的交的交 点为点为M. (1)求证：求证： ； (2)求这个矩形求这个矩形EFGH的周长的周长 图图22222 2 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 解解 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 解析解析(1)证明证明AHGABC，根据相似三角形对应，根据相似三角形对应 高的比等于相似比，证明结论高的比等于相似比，证明结论 (2)设设HEx，则，则HG2x，利用第一问中的结论求解，利用第一问中的结论求解 相似三角形及其应用相

15、似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 解解 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 变式题变式题 如图如图22223 3，一个人拿着一把刻有厘米刻度的，一个人拿着一把刻有厘米刻度的 小尺，站在离电线杆约小尺，站在离电线杆约20 m20 m的地方，他把手臂向前伸直，的地方，他把手臂向前伸直， 小尺竖直，看到尺上约小尺竖直，看到尺上约1212个刻度恰好遮住电线杆，已知臂个刻度恰好遮住电线杆，已知臂 长约长约40 cm40 cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？ 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考

16、预测中考预测 图图223 解析解析运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比，运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比， 来求出电线杆的高度，注意单位的转化来求出电线杆的高度，注意单位的转化 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 解解 根据题意，得根据题意，得AOBDOC， 所以所以CD AB20 0.4， 即即CD 0.1220 0.4， 解得解得CD6 m. 故电线杆的高度为故电线杆的高度为6 m. 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 探究三探究三 三角形相似的判定方法及其应用三角形相似的判定方法及其应用 命题角度：命题角度

17、： 1利用两个角判定三角形相似；利用两个角判定三角形相似； 2利用两边及夹角判定三角形相似；利用两边及夹角判定三角形相似； 3利用三边判定三角形相似利用三边判定三角形相似. 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 例例3 如图如图224，在平行四边形，在平行四边形ABCD中，过点中，过点A作作 AEBC，垂足为，垂足为E，连接，连接DE，F为线段为线段DE上一点，且上一点，且 AFEB. (1)求证：求证：ADFDEC； (2)若若AB8，AD6 ，AF4 ，求，求AE的长的长 图图22224 4 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究

18、回归教材回归教材中考预测中考预测 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 解解 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角 相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角 的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断 三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例 定理及相似三角形的定理及相似三角形的“传递

19、性传递性” 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 探究四探究四 位似位似 命题角度：命题角度： 1. 位似图形及位似中心定义；位似图形及位似中心定义； 2. 位似图形的性质应用；位似图形的性质应用； 3. 利用位似变换在网格纸里作图利用位似变换在网格纸里作图 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 D 解析解析根据题意画出相应的图形，找出点根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点的对应点E 的坐标即可的坐标即可 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在利用位似

20、将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在 原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P P；第二；第二 步：以点步：以点P P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射 线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次 连接截取点即可得到符合要求的新图形连接截取点即可得到符合要求的新图形 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 探究五探究五 相似三角形与圆相似三角形与圆 命题角度：命题角度： 1. 圆中的相似计算；圆中的相似计算； 2. 圆中的相似证明圆中的相似证明 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测 例例5 如图如图225，AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一点，上一点，AD 和过和过C点的直线互相垂直，垂足为点的直线互相垂直，垂足为D，且，且AC平分平分DAB. (1)求证：求证：DC为为 O的切线；的切线； (2)若若 O的半径为的半径为3，AD4，求，求AC的长的长 图图225 相似三角形及其应用相似三角形及