最新完全平方公式学案.doc

1、学科 :数学年级：初一版本：人教版期数： 2341本周教学内容： 7.7完全平方公式学案【基础知识精讲】1完全平方公式的推导（ 1）两数和的平方22222(a+b) =(a+b)(a+b)=a +ab+ab+b =a +2ab+b（ 2）两数差的平方(a-b)2=(a-b)(a-b)=a 2-ab-ab+b2=a2-2ab+b22完全平方公式两数和（或差）的平方、等于它们的平方和，加上（或者减去）它们乘积的2 倍。即： (a+b)2=a2+2ab+b 2(a-b)2=a2-2ab+b2【重点难点解析】1 本节的重点是理解并掌握完全平方公式的结构特征，正确运用的该公式，难点是正确理解使用公式的条

2、件。2完全平方公式的结构特征：左边是两个相同的二项式相乘（即二项式的平方）。右边是三项，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式两项积的2 倍。 a22ab+b2 称为完全平方式，完全平方公式由此而来。3 公式中 a， b 可以是数，也可以是单项式或多项式。4 对于形如两数和（差）的平方的乘法，就可以运用上述公式写出结果。5 在运用公式时，经常出现的错误是(a b)2=a2 b2，要特别注意。例1 计算（ 1）(2y-1) 2（ 2） (1-2y) 2（3） (3x-2y) 2-(3x+2y) 2（ 4）(a-2b+1)(a+2b-1)-(a+2b)(a-2b)解：（1）原式 =4y

3、2-4y+1（ 2）原式 =1-4y+4y 2注： (1-2y) 2=-(2y-1) 2=(2y-1) 2，通常 (a-b)2=(b-a) 2（ 3）原式 =(9x 2-12xy+4y 2)-(9x 2 +12xy+4y 2)2222=9x -12xy+4y-9x -12xy-4y=-24xy（ 4）原式 =a-(2b-1)a+(2b-1)-(a 2-4b2)2222=a -(2b-1)-a +4b2222=a -(4b -4b+1)-a +4b22=-4b +4b-1+4b=4b-1注：（3）、（ 4）小题运用公式展开时，为避免出错，可加上括号。去括号时也要注意符号问题。2 2例 2 计算

4、(a+b) (a-b)解法一： 先用完全平方公式，再用平方差公式22222222=(a +b )+2ab(a +b )-2ab22 22=(a +b ) -(2ab)422422=a +2a b +b -4a b4224=a -2a b +b解法二： 先用平方差公式，再用完全平方式2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4注：方法二先运用积的乘法性质变形，这种方法比方法一简单得多。例 3计算（ 1） 5012（ 2） 99.82分析：（ 1） 5012=(500+1) 2（ 2）99.82=(100-0.2) 2解：（1） 5012=(500+1) 2=500 2+2 500 1+1 2=2

5、50000+1000+1=25100122（1） 99.8 =(100-0.2)=100 2-2 100 0.2+(0.2) 2=10000-40+0.04=9960.04例 4计算（ 1） (a+b-c) 2（ 2） (x-y-z) 22222解：（1） (a+b-c) =(a+b)-c =(a+b) -2(a+b) c+c222=a +2ab+b -2ac-2bc+c=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc（ 2） (x-y-z) 2 =(x-y)-z 2=(x-y) 2-2(x-y) z+z2=x 2-2xy+y 2-2xz+2yz+z 2222=x +y +z -2xy+2yz-2x

6、z注：完全平方公式可推广到多项式的完全平方。如：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc【难题巧解点拨】1 已知 a+b=3，ab=-12，求下列各式的值。（ 1）a2+b2（ 2） a2-ab+b2（ 3） (a-b)22222解法一：（ 1） a +b =(a+b) -2ab=3 -2 (-12)=9+24=33（ 2） a2-ab+b2=(a2+b 2)-ab=33-(-12)=45（ 3） (a-b)2=a2-2ab+b2=(a 2+b2)-2ab=33-2 (-12)=57解法二：（ 1） a+b=3 (a+b)3=32，即 a2+12ab+b2=9 a2+b 2=

7、9-2ab=9-2 (-12)=33（ 2） a2+b2=33 ， a2-ab+b2=33-ab=33-(-12)=45（ 3） a2+b2=33 a2+b2-2ab=33-2ab =33-2 (-12)=57即： (a-b)2=57注：类似这种有条件的求值问题一般处理方法为： 将所求的多项式恒等变形成能应用已知条件的形式；将已知条件进行恒等变形以达到需求的结果。2已知：有理数x， y， z 满足 x=6-y ， z2=xy-9 ，求证： x=y分析：先把 z2=xy-9的表达式消去x，再往下讨论。证明：把 x=6-y 代入 z2=xy-9 得222z =(6-y) y-9=-(y -6y+9

8、)=-(y-3) z 为有理数 z2 0即： -(y-3) 2 0， (y-3) 2 02只能有 (y-3) =0 成立，从而得 y=3又 x=6-y ，x=6-3=3 ， x=y注：解决本题先从消元开始，把 z2=xy-9中的 x 先消去， 使等式右边变成 -(y-3) 2再利用任何有理数的平方皆为非负数的道理说明-(y-3) 2 0，得 (y-3)2 0 ，同时舍去不合理的(y-3) 2(3x-4)(3x+4)3设 a-b=3，ab=2，求 a2+b2 的值。【素质优化训练】1 已知 a+b=7， a2+b2=25 ，求 (1)ab， (2)(a-b) 2 的值。2 若 x2-2x+y 2

9、 +6y+10=0 ，求 x， y 的值。3 求证：四个连续整数的乘积与1 的和必须是一个完全平方式。参考答案【同步达纲练习】1（ 1） 4a2+4ab+b2 （ 2）x8 2x4y4+y8 （3） 42025 （ 4） 8940112222222b（ 5）x +3xy 9y（ 6） 8a 8bc+8c（7） a +b +1+2c 2ab42（ 1） x=1（ 2）x 253 1318【素质优化训练】1（ 1） 12，（ 2） 1 2 x=1,y= 3（提示：条件可变形为（x 1） 2+(y+3) 2=0）3设四个连续的整数依次为a,a+1,a+2,a+3,则 a(a+1)(a+2)(a+3)+1a a3a1