GPS坐标时间序列论文文献综述

1、文献综述摘要：通过对数据一系列处理，运用三阶自回归 AR( 3)模型拟合gps坐标时 间序列，由于gps坐标时间序列数据之间的相关关系，且历史数据对未来的发展 有一定影响，并对未来的电力增长进行预测。 理论准备：拿到一个观测值序列之 后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，序列可分为平稳序列和非平稳序 列两大类。如果序列值彼此之间没有任何向关性，那就意味着该序列是一个没有 任何记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响， 这种序列我们称之为 纯随机序列，从统计分析的角度而言，纯随机序列式没有任何分析价值的序列。 如果序列平稳，通过数据计算进行模型拟合，并利用过去行为对将来的发展预测， 这

2、是我们所期望得到的结果。可采用下面的流程操作。关键字：gps坐标时间序列 时间序列分析 数据 预测、前言GPS坐标时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中， 时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了 “实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析， 时间序列分析方 法是十分重要的。其主要原因是经时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要, 济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序

3、列，而时间序列分析 正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。 从一些典型的研 究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重 要进展。目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的 Hamilton的“时间序列分析”，以及Box 和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学 和金融学所编写的时间序列专著， 这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意 的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征

4、的非平稳时间序列 分析方法更是受到了广泛重视。二、本实验采用2000-012004-11月gps坐标时间序列数据做时间序列分析模型, 数据如下：2000.15.4%2001.98.8%2003.513.4%2000.215.3%2001.108.5%2003.613.1%2000.37.1%2001.117.4%2003.715.2%2000.46.9%2001.129.6%2003.815.5%2000.512.8%2002.115.4%2003.915.5%2000.612.5%2002.2-3.2%2003.1014.8%2000.713.5%2002.36.2%2003.1115.6%

5、2000.810.6%2002.410.6%2003.1213.4%2000.97.0%2002.58.5%2004.15.9%2000.109.3%2002.613.4%2004.224.7%2000.119.4%2002.711.4%2004.315.4%2000.128.5%2002.813.7%2004.416.2%2001.10.1%2002.918.6%2004.516.6%2001.212.8%2002.1016.1%2004.614.3%2001.39.8%2002.1117.1%2004.711.7%2001.47.7%2002.1214.6%2004.812.1%2001.

6、57.7%2003.110.7%2004.911.8%2001.68.4%2003.223.2%2004.1015.8%2001.710.2%2003.316.2%2004.1114.4%2001.86.3%2003.414.1%首先对数据进行平稳性与纯随机性的检验与判别()平稳性的检验我们先米用图示法，时序图如下:X由图所示，该序列有很大的波动，周期性不明显。更重要的是该序列的上升或下 降趋势并不明显，基本可以确认该序列是平稳的，但直观感受不能认定它就是平 稳的，需进一步做检验。样本自相关图如下：Sample: 1 59Included observations 59ALJtocQtrela

7、tior*F*rti寸I CorrelationAQPAC Q-Stt ProbIIZJ IIIII1O 2850.318O 2850.2695 04901 1.449O 0250.003IIHZl0 418O 32322 675O OOOI二IJ I0 2880 10728 1010 OOOIIHZl I0.346O. 1 573t?.O54o.oaoInII IO 282O 03841 4490 OOOII II0.2t2-0.03144.5610.000IIII IO 276O 04649 939o OOOInII0.21 1-0.00053.1440.000I= IIIO 185-O.

8、OO955 6480.000I II匚I11O 102-O 12456.4300.000IJ II II0.0370.08057.0160.000IZl III0 1640 05659 1320 OOOI III0.1370.07060.6320.000I】IIIO OG3-0 01560 954O OOOIII II0.019-0.0966O.98G0.000II II I0.042-O 03561 1350.000III匚I-0.026-O 1O061 192o.ooolIII II-0.043-O.OG561 3570.000I IIII-0 Q46-0 02661 549O OOOI

9、口Ii ITI-O.1S7-0.18364.8740.000I 口Ii II-O 107-O 06665 986Q OOOI 0II3 i-O.O340.09666.1020.000II匚I-O 309-O 19775 923O OOO根据序列自相关图可以看出：该序列具有短期相关性，就是随着延期数的增加， 平稳序列的自相关系数很快地接近于零，自相关图大部分都在2倍的标准差范围 内。所以确认该序列就是平稳序列。下面进行纯随机性检验：由自相关图可以知道，该序列延迟16期的自相关系是0.285 0.318 0.418 0.288 0.346 0.282 0.212 0.276 0.211 0.185

10、0.102 0.087 0.164 0.137 0.063 0.019延迟期的Q统计值和对应得P值如图：ZXC尸 AOFro b 由于Q统计值都很大，而对应的P值都小a,所以拒绝该序列是白噪声的假设, 故该序列是非纯随机序列。8118401180863100000000000000005 00 3 do 0 9 4 0 6 9 5 6 2231100000100000 N .Il - - 亠 00000000000000000 9S: 99 4 CO 0 & N N 4 69 ; 0 e-4cp 3 : 33 3 3 8-C1-N CO Q : 9 3 5 679 0 0 05;N3:4S55

11、55666530000000000000020000000000000000000000000000000 Il - 二 0000000000000000三、对模型的识别，我们做出自相关和偏子相关图。ZX-i itcz* c orr&l尸厂厂 Cd.on1|II111111111|IIZI1111ZJ11II111|1L111II11111ZI 1II1111Zl 1II匚11 11C111 1111O II111 11111 1II匚1111Li111匚i11IIri111iH11iII11Cl111ZIiII11 n由于该序列的自相关系数大部分落入 2倍标准差范围内，而且自相关系数衰减为零

12、的速度很慢，所以表现出拖尾性，而偏自相关系数的三阶在二倍标准差范围外， 其他衰减为零的速度很快，所以表现出三阶截尾性，所以可断定该模型是AR(3)模型，即三阶自回归模型。一、 我们采用最小二乘法进行参数估计：Sample (adjusted). 4 59Inctuded observations: 56 after adjustments Convergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.C01214900.01007912.053460 0000AR(3)0 4261560

13、 1199503 5527800 0008R-squared0 109460Mean dependent var0.119607Adjusted R-squared0.174450S.D. dependent var0.047437S E of regression0.043101Aka ike info criterion*3.415484Sum squared resid0100315Schwarz criterion-3.343150Log likelihood97 63357Hannan-Qutnn criter-3.387441F-statistic12.62224Durbin-Wa

14、tson stat1.734025Prob(F-statistic)0 000800Inverted AR Roots.75-38+ 65i- 38-.65i从图中我们可以得出模型为:x 二 0.1214900.426156 xt ：； t- 对模型进行检验（一）参数的显著性检验，如图Vanable Coefficient Std. Error (-Statistic Prob0J2I490 0.01007912 05346 0.0000AR(3)026156 0119950 3.552780 0.0008由于以上参数的t值显著大于2, p值小于0.05，所以拒绝参数不显著的假设, 即认为这些

15、参数是显著的。（二） 模型的显著性检验 主要对残差的白噪声检验，如图:Sample. 4 59Included obeervartions- 56Q-statistic probabiJities adjusted for 1 ARMA lerm(s)Autocorrelation尸artial CorrelationACPAGQ-STatProbII 11口 110 1280.1280 9616I 11 120.1180.1041 80460 179 1i E3-Q.060-0 0892 02270 364I 1 140.1750.1873.94150 268111 150.1940 176

16、6 34050 1751D60.083-0.0086.78850.237)f1I 170 0530 0386 97330 3231(1 180.1450.1488 38840.300II3 111 II901100 0209 31730 324111 11100.028-0.0609 27380 412111 1111-G.O15-0 0199 28950 5051 E11匚112-D.O98-0.14B10 0010 5301 11 1130.1490.11511 6890 4711J 111 1140.1040.08212 5280 4851J 111150.074-0.00712 961

17、0 530 1(1116-0.053-0 03113 1860 5831111170.0150.00213.205D65S11 111IS0 041-0 00113 3480 7131 C1D匚119-0.051-0.11213.5780.756i匚1I E120-0 096-0 0764080 7591匚1D匚121-D.120-0.10915.7450.7321 1I E(22-0 058-0 093160610 76111123-0.0110.00516 0730 8121匚1124g05-0.20220 3320 622由残差序列的自相关与偏自相关的延迟阶数k下的Q统计值的p值都显著大

18、于0.05，可认为该拟合模型的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。四、模型优化模型优化主要有两个准则一一AIC和SBC准则我们主要采用施瓦兹准则，分别对 AR( 1)、AR (2)、AR(3)进行检验，结果依 次如下：Sample (adjusted) 2 59included observations: 53 after adjustmentsConvergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd Errort-StatisticProbC01199690 00840714 270500 0000AR(1)0.28

19、69400.1261182.2751640.0267R-squared0.084614Mean dependent var0119345Adjusted R-squared0.069268S.D. dependent var0.047246S E of regression0 045605Akaike info 匚riterion-3 303713Sum squared resid0.116471Schwarz criterion-3 232663Log likelihood9780767Hannan-Quinn criler.-3.276037F-statistic5.176372Durbi

20、n-Watson stat2.071943Prob(F-statistic)0.026744Inverted AR Roots29图表1AR (1)Sample (adjusted): 3 59Included observations: 57 after adjustments Convergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd Errort-StatisticProbCAR(2)0.11955403243490.00887813.4662101258662 5769330.00000 0127R-squaredAdju

21、sted R squared S E of regression Sum squared residLog likelihoodF-statisticProb(F-statistic)0.107731 0 091508 0 0452270.11250196 613976 6405830.012681Mean dependent var S D dependent var Akaike info criterionSchwarz criterion Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat0.1187540 Q47450 -3 319789 -3.248103

22、 -3.2919291 724955Inverted AR Roots.57*57图表2AR (2)Sample (adjusted) 3 59Included observations: 57 after adjustments Convergence achieved after 3 iterationsVariableCoeffic ientStd Errort-StatisticProbC01195280 01165410.256740 0000AR(1)0.2396860.1298141.8456090.07Q4AR(2)0.25659901285531 9960530 0510R-

23、squared0.160675Mean dependent var0118754Adjusted R-squared0.1295S8S.D. dependent varG.047450S E of regression0 044269Akaike info criterion-3 345870Sum squared resid0105826Schwarz criterion-3.238341Log likelihood98.35730Hannan Quinn criter-3 304081F-statistic5168692Durbin-Watson stat2.118183Prob(F-st

24、atistic)0008833Inverted AR Roots-40图表3AR (3)通过比较可知：各模型中的Schwarz criterion( 施瓦兹准则)值在ar 模型中最小，所以ar(3)模型是相对优化模型。六、预测序列未来走势根据模型对未来五年做以下预测，如图：预测12月1月2月3月4月模型20042005200520052005V2-模型预测.1344.0941.1647.1285.1301_1UCL.2121.1734.2455.2108.2138LCL.0567.0149.0840.0463.0464对于每个模型，预测都在请求的预测时间段范围内的最后一个非缺失值 之后开始，在

25、所有预测值的非缺失值都可用的最后一个时间段或请求预 测时间段的结束日期(以较早者为准)结束。同时做出未来五年预测值的置信区间：2500-LKX-LCL.2W0-.1500-.11000-.G0C-12 H 20041 JJ 20052 kT 2005山 2陌4 ,4 2005II期故预测未来五年电厂电力增长率分别为：0.1344、0.0941、0.1647、0.1285、0.1301 ,从数据中我们可以发现增长状况相对来讲波动不算太大，基本趋于稳定。五、gps坐标时间序列具体计算一元ARMA模型是描述时间序列动态性质的基本模型。通过介绍ARMA模型，可以了解一些重要的gps坐标时间序列的基本概

26、念。1预期、平稳性和遍历性1.1预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T的随机变量Yt的样本： y1，y2，yT 这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。例3.1假设T个随机变量的集合为： “ ；2,，；t，；jN(0,；2)且相互独立，我们 称其为高斯白噪声过程产生的样本。对于一个随机变量 Yt而言，它是t时刻的随机变量，因此即使在t时刻实验，它也可以具有不同的取值， 假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I个时间序列：yt匸:,yt；二，yt(I)t二将其中仅仅是t时刻的观测值抽取出来，得到序列：yt，yt,yt(I)，这个序列便是对随机变量Yt在t时刻

27、的I次观测值，也是一种简单随机子样。定义3.1假设随机变量Yt是定义在相同概率空间， ,P上的随机变量，则称随机变 量集合Yt, t =0, _1, _2,为随机过程。例3.2假设随机变量 Yt的概率密度函数为：1 1fYt(yt) =-exp冇 yft .2=2 - 2此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。定义3.2可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征：(1) 随机变量Yt的数学期望定义为(假设积分收敛)：叫=E(Yt)=此时它是随机样本的概率极限：1 I (i)E(YJyt(2) 随机变量Yt的方差定义为(假设积分收敛): ot- 叫)2例3.3 (1) 假

28、设 ；苗是一个高斯白噪声过程，随机过程Yt为常数加上高斯白噪声过程：Yt ；t，则它的均值和方差分别为：= E(Yt)E(；JO:2)t =E(Yt 一 叫)2 =E( ；f) *2随机过程Yt为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：Yt = Pt +奋，则它的均值和 方差分别为：叫二 E(Yt)- E( ；t)Itot =E(Yt -叫)2 =E(鬥 y21.2随机过程的自协方差将j个时间间隔的随机变量构成一个随机向量 Xt =(Yt,Yt,Yt_j) ，通过随机试验可以 获得该随机向量的简单随机样本。假设函数f(Yt,Y,Y(yt，y*，,yt)为随机向量Xt的联合概率分布密度，则可以类似地定

29、义：定义3.3随机过程Yt的自协方差定义为：jt =E(Ytt)(Yt_jt_i)上述协方差可以利用联合概率分布密度求解。1.3平稳性定义：假设随机过程 Yt的均值函数 人和协方差函数 jt与时间t无关，则称此过程是协 方差平稳过程，也称为弱平稳过程。此时对任意时间t有：EYtE(Yt - 叫丫心) =j例3.4 (1)假设随机过程Yt为常数加上高斯白噪声过程：琏；t，则它的均值和方差与时间无关，因此该过程是协方差平稳过程。(2)假设随机过程Yt为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：Yt ；t，则它的均值为：7二E(Yt)=：珀 E( 珀，它依赖时间t ,因此它不是协方差平稳过程。由于协方差平稳

30、过程仅仅依赖时间间隔，因此有：j j定义：假设随机过程Yt满足条件：对于任意正整数值j1,j2,，jn，随机向量 (Yt j1,Yt -j2/,Yt Jn)的联合概率分布只取决于时间间隔j1,j2/ ,jn，而不依赖时间t,则称该过程是严格平稳过程，简称为严平稳过程。如果一个随机过程是严平稳过程，而且具有有限的二阶矩，则该过程一定是协方差平稳过程，即宽平稳过程。但是，一个宽平稳过程却不一定是严平稳过程。例3.4假设随机过程Yt是具有高斯分布的高斯过程，如果该过程是宽平稳过程，则此 过程一定是严平稳过程。1.4遍历性遍历性是时间序列中非常重要的。对于时间序列而言，我们可以得到一个随着时间顺序的样

31、本观测值：(y1 ，yP,，yT)，对此可以得到一个时间平均值：1 T (1)yytT t *定义：假设时间序列 Yt是一个平稳过程，如果时间平均值按照概率收敛到总体平均值， 则称该随机过程是关于均值遍历的。遍历性是平稳时间序列非常重要的一个性质，如果一个平稳时间序列是遍历的， 那么它在每个时点上的样本矩性质 (均值和协方差等)就可以在不同时点上的样本中体现出来。 这就 是遍历性的含义。定理：如果一个协方差平稳过程，如果自协方差函数满足：j 1:j卫则随机过程是关于均值遍历的。定义：假设时间序列Y是一个协方差平稳过程，如果样本协方差按照概率收敛到总体协 方差，即1 M)()PjT - j t

32、弓 i则称该过程是关于二阶矩遍历的。高阶矩遍历意味着过程不同时间上的统计性质更接近同一时点上的随机抽样性质。例3.4如果随机过程Yt是高斯协方差平稳过程，则它是均值遍历过程，也是二阶矩遍 历过程。一般情况下，平稳性和遍历性之间没有必然联系，下面的例子可以说明这一点。例3.5假设随机过程Yt的均值过程满足：Yt二.i(i) ；t其中均值满足：l(i)N(0,，2)， 1是l(i)独立的白噪声过程。因为叫二 EYt=E(i) ；t) =00t = E(.J2 = 2 亠 2jt =E(3) ；t)(i) ；t_j) = 2，j -0上式表明，该过程是协方差平稳过程，但是由于1 T厂、I T1 7(

33、Yt一=丄 ；t)PM) ltT t =1T t 吕因此，该过程不是均值遍历过程。2移动平均过程2.1 一阶移动平均过程假设汀是白噪声过程，考虑下述随机过程：Y：=；t v ；t 4其中和二是任意常数。由于这个随机过程依赖最近两个时间阶段的；t的加权平均，因此称此过程为一阶移动平均过程，表示为MA(1)。下面我们通过求解 MA(1)过程的均值函数和协方差函数来说明它是一个宽平稳过程。求解均值函数为：叫二 E(Yt)二E(；t V ；2)一阶自协方差为：咕=E(Yt %(Yj -已二 E( ；t 二)(z 二 2)i24)-T1 ；2对于更高阶的自协方差，则有：jt =E(Yt 一则一)二 E(

34、 4 4 J)( 4T)=0上述结果表明，MA(1)过程是一个平稳随机过程。 注意到：j I =(1 T)；2 12 I ：:j卫j个自相关系数表示为 订，则有:因此，MA(1)也是均值遍历过程。 定义：将协方差平稳过程的第j = j / 0根据相关系数的定义：Cov(Yt,Yt j)jVar(Y.VaMY.。o1。根据Cauchy-Schwarz不等式，可知所有自相关系数绝对值不会超过 对于MA(1)过程而言，它的自相关系数为：e入r, j =1 =0, j 11 2自相关系数也被称为自相关函数，它度量随着时间间隔的变化，随机过程不同时点之间的相关性。即使具有相同的自相关函数，所对应的随机过

35、程性质可能也是不同的。2.2 q阶移动平均过程推广MA(1)过程中的滞后阶数，可以得到下面表示为MA(q)的q阶移动平均过程：Ytt 3 ；t二2 4 J2Tq 厲 _q其中残差仍然是白噪声过程，系数可以是任意实数。(1) MA(q)过程的均值直接计算均值函数为：EYt 二E()* ；t * 2 宀2 2；川；q ；t7)= l(2) MA(q)过程的自协方差首先计算方差为：o =E(3；t4 宀2 2 川川Fq ；tT)2=(1 ：皆 M -詣)匚2 其次计算自协方差，当时间间隔j q时：j=E(:t* 2；t)(；t_jV；t-j4；t_jT)(二1j 二1 j 1 二1 二1q 二1q

36、_j ) ；2当时间间隔j q时，则有：j =E( ；t J 2 _ 入 g)( ；t_j V ；t_j_l ；t_jT)=0对于MA(2)过程而言，则有：(1 十2 g) ；2， =(齐二十)；2， 2 一， =0，j 2移动平均过程的平稳显然，对于任意阶数的移动平均过程，均是协方差平稳的。因此， 性对于参数没有任何要求。(3) MA(q)过程的自相关函数根据自相关函数(ACF函数)的定义，可以得到 MA(q)过程的自相关函数为:1-|2 2j =0 , j 2上述ACF函数的典型性质是它仅有两个突出点，当时间间隔大于2个阶段以后，ACF函数便快速地收敛到零。如果一个随机过程的 ACF函数体

37、现出这样的性质，便可以推断它的数 据生成过程(data generating process，简称为DGP可能是一个 MA2)过程。2.3无限阶移动平均过程无限阶移动平均过程是 MA(q)过程的进一步推广，令 q； *心，得到MA(：J过程的表 达式为：Yt八二2j =0为了与有限阶移动平均参数加以区别，上述移动平均系数利用符号j表示。如果假设移动平均系数是平方可加的，即：j =9可以证明上述表示按照均方收敛到一个随机变量，因此确实定义了一个随机过程。 可以对于系数加以更强的条件，即假设是绝对可加的，即满足：;r;j i“j四可以证明绝对可加可以推导出平方可加，但是反之不然。系数绝对可加的无限

38、阶移动平均过程是平稳过程，其均值和协方差函数可以表示为：E(Yt)科im._E(Wo a ，-;i彳宀2 ；2；y)0 =lim E(o ；t 宀1 ；t宀2 ；2 八T 2)2T：十：2)二2j j 二 E(Yt - J(Y_j - J八(jj 2k =0可以证明，当移动平均系数绝对可加时，自协方差也是绝对可加的：x | j 卜:二j =0因此MA(：)过程是关于均值遍历的。3自回归过程上面我们介绍的移动平均过程是将一个随机过程表示为随机残差的移动平均，当期随机过程的实现没有受到过程前期取值的直接影响。如果随机过程取值对后继取值产生影响， 则可以利用自回归过程表示这样随机过程的基本特征。3.

39、1 一阶自回归过程AR (1)假设随机过程当期取值依赖前一个阶段的取值，如此随机过程可以利用下面一阶自回归过程AR (1)表示： 二c S t其中；t仍然是白噪声过程。显然如此自回归过程可以表示为线性差分方程形式：Yt= Yt 丄 wt, Wt = c 亠肾根据线性差分方程的性质可知，如果自回归系数.1，外生扰动的作用将不断累积，导致该过程具有逐渐增加的均值和方差，因此该过程将不是平稳过程。为此，我们限制自回归系数满足：|十：1，这是一阶自回归过程平稳的约束条件。根据差分方程解的公式，可以得到:Y = wt亠匚wt亠匚2 wt之亠匚3 wt卫=(c 亠？.t) (C 亠？.t 二) 2(c 亠

40、：t_2) 3(c 亠？.t；) 根据上述过程表达式，可以知道:(1)AR(1)过程的均值函数为：(2)AR(1)过程的方差为:|20=EU2=(1 2 -AR(1)过程的协方差函数为:j =E(Yt)()二E(；t 亠t2 2 )(；t_j* 2 ；t_jT )=(j . j 2j 4 .)；2一二 212AR(1)过程的自相关函数为:=j，j =0, 1, 2,当平稳性条件满足时， 上述自相关函数收敛到零， 但是收敛的方式依赖的符号，如何 自回归系数是正的，则呈现单调收敛模式；当自回归系数是负的时候，呈现震荡收敛模式。由于的绝对值大小体现了前期过程值对当期值的影响程度，因此 的绝对值越大，

41、这个过程保持前期值符号的能力就越强，这样的性质可以通过对不同值的自回归过程的模拟当中识别出来。在上述对AR(1)过程的讨论当中，我们采用了无限阶移动平均表示， 并根据这样的表示 求解过程的均方差和自协方差等性质。 下面我们在假设过程具有平稳性的条件下， 简单的求 解这些过程的数值特征。(1)对AR(1)过程两端求数学期望，得到：EYt 二cEYt 4如果过程是平稳的，则均值函数不依赖时间参数，则得到均值为：(2)将AR(1)过程进行“中心化”表示，即将其根据均值进行平移:(Yt )(Yt4* ；t上式两端平方运算以后取数学期望可以得到：E(Yt)2 二 E 2(丫2)2 2E().-E需要注意

42、到：E(Yt4 - J) ,HE( -22 y )；t丸则得到：0八0 一也可以得到：0 二L(3) 当j 0时，在中心化表示两端乘以因子(Yt_j-E，然后取数学期望得到:E(Yt)(Y一 9 =E(YtD(Yt) E(Yt)则得到：盒= 了j，j =1, 2/JL这是自协方差函数所满足的一个一阶齐次差分方程，其解为：j =门0厂21 _ 2这同前面利用无限移动过程的推导结果完全一致。3.2二阶自回归过程 AR(2)二阶自回归过程表示为 AR(2)，模型形式为：Yt 二c Yt 二匕Yt _2 亠；.t采用滞后算子形式表示为：(1 丄一2 L2)Yt =c；t差分方程稳定或者上述过程平稳的条

43、件是：1 - Z - 2z2 =0的所有根落在单位圆外。这时假设逆算子形式为：-：(L) =(1 _ L _丽 1L丽2L2 人 3L3 其中算子多项式的系数-打由前面差分方程的讨论所确定。利用算子多项式的逆算子，可以将AR(2)过程表示为无限阶移动平均过程:Yt =(L)c - (L).可以直接证明此过程的均值为：- Eg 仝L)c =并且可以得到:qQ;n;j 卜：j =0如果假设该过程是平稳过程，那么对AR(2)过程直接求数学期望，也可以得到类似的均 值。AR(2)过程也存在下述中心化表示：一曰誑)+也(丫2 曰+叫两端乘以因子(徒-，然后取数学期望得到：E(Yt J(Yt_j - =E

44、 1(丫2 -9(丫冷2(丫2 -9(丫2 -) 利用自协方差定义得到：jj4 2 j.，“1,2，这说明自协方差满足二阶差分方程，这个差分方程的稳定性是要求自回归系数落入稳定的三角形区域内。自相关函数满足：J1 ?j4 2：，j =1, 2,令j =1得到：从中可以得到：令j =2得到:込仝1 2从中可以得到：2亠2AR(2)过程的方差:1 - 2类似地，可以求解出012 2 可以表示为：0 =1 0 22 0 从中解出方差为：0 二亠 F -2 飞2|1 - 2 1 _ 2或者：y _(1 - $2)。20 二(1 心 一 2)2 23.3 p阶自回归过程 AR(p)如果将解释变量的滞后阶数扩展，可以得到下述p阶自回归过程，表示为 AR (p):Yt c 1 Yt d 2Yt_2 pYt_ ；t假设算子多项式的特征方程：1 - 1Z - 2Z2 - pZp =0的根全部落入单位圆外，则AR (p)是协方差平稳的，其无限阶移动平均表示为：X -，(L) ；