5等比数列的前n项和

1、w循序而渐进熟读而精思第2页共13页成都起航教育个性化教育学案教师：学生:年级科目： 数学时间：年 月 日课次:、教学目的与考点分析理解并掌握等比数列的前 n项和公式及其推导过程;n项和;|2.重点难点：等比数列的前n项和公式及其推导过程；应用等比数列的前 列的前n项和；n项和公式解决等比数列的求和问题，用错位相减法求数1.教学目的(1)(2) 能应用等比数列的前 n项和公式解决等比数列的求和问题，会用错位相减法求数列的前(3) 进一步能提高解方程(组)的能力，以及整体代换思想的应用能力教学内容及步骤2.5等比数列的前n项和等比数列的前n项和公式及其推导(1)等比数列的前n项和公式:Sn=皆或

2、苇冷na1 q =1(2)公式推导(错位相减法)般地，对于等比数列 a1，a2，a3，.，an-2, an-1, an,. 它的前 n 项和是 Sn = a1 * a2 * a3 * * an-2 * an-1 + an,根据等比数列的通项公式，上式可写成:Sn“2mm n -2n=a1a1 qa1 q a1q a1q 式两边分别乘q，得:qSn2丄3丄丄n4丄n厂、二ag ag 式两边分别减去 式两边，得：(1 -q) Sn二印-aqn当q = 1时，等比数列的前 n项和公式为:Sna1 1 -qn1-q因为a1qn =(a1qn4)anq，所以上面的公式还可以写成:w成都起航教育个性化教育

3、学案ai anqSn :i -qS 、当q=i时，数列n 变为ai,ai,ai,印，.,ai,易得到它的前n项和为：Sn= nai二、等比数列的前n项和公式与函数的关系循序而渐进熟读而精思第4页共13页(1)当公比q =1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn =印i 一 q ,它可以变形为:i-qaiSn设A= ai ，上式可以写成:i-qSn =-Aqn A由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由一个指数式与一个常数式的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数。(2)当q=i时，因为ai =0，所以Sn= na是n的正比例函数(常数项为 0的一次函数)例：如果已知数列的前 n

4、项和公式为Sn =-Aqn +A ( A式0, qO,且q式i, n壬N*),那么这个数列一定是等比 数列吗？注：a. 在应用公式求和时，要注意公式的使用条件为q=i ( q=i时，应按常数列求和，即 Sn = n ai );b. 当q时，数列Si,S3,，&的图像是函数y=-AqX A图像上一群孤立的点；当q=i时，数列Si, S2 2，Sn,的图像是正比函数 y=aiX图像上的一群孤立的点。三、等比数列的前n项和的性质：(1) 性质i：若某数列的前n项和公式为：sn =-Aqn +A ( AO, q式0,且q鼻i, n N*),则此数列一定是 等比数例；(2) 性质2：在等比数列中，间隔相

5、等、连续等长的片段和序列成等比数例，即S, S2n -sn, S3n -s2n成等比数列,公比为qn ；成都起航教育个性化教育学案C.注：在运用此性质时，要注意的是，Sn，S2n_Sn，S3n_S2n ,成等比数列，而不是Sn，S2n，Qn，成等比数列（3） 性质3：在等比数列中，当项数为2n时，S偶二qS奇；n（n_1）n（4）性质4：在等比数列中，公比为q，则ai日2日3-.Gn二a/q 2（aian）2 ；（5）性质 5： Sn m 二 Sn qnSm（6）a 为等比数列二 Sn =Aqn B（A 0）例：已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170,则

6、这个数列的公比 q=项数n=。成都起航教育个性化教育学案知能综合拓展错位相减法设数列an 是公差为d( d = 0 )等差数列，数列是公比为q ( q = 1)的等比数列，数列 G满足Cn二anbn，求G的前n项和例：求数列1， 3a,5a2,7a3,., 2n-1an，的前n项的和考点1：-L 5例 1数列 n 中，a1 a3 = 10， a4 a6，求 a4和S54循序而渐进熟读而精思第16页共13页成都起航教育个性化教育学案例2 设等比数列 a ;的前n项和为sn ,若S3 S2S9，求数列玄的公比q例 3求数列 1， a a3 572n例 4.求数列一，一，一，的前 n项和 4 8 1

7、62n，a3 a4 - a5，a6 a7 a8 a9,.的前n项和。JHLl 如成都起航教育个性化教育学案考点2:等比数列前n项和性质的应用。例 5.在等比数列 a 中，8i66, 828=128, Sn =126,求n和q例6在等比数列 Q 中，公比q=2，前99项的和S99 =56，求8386 89. - 899的值w成都起航教育个性化教育学案例7在等比数列 a ；中，已知Sn =48, S2n =60，求S3n例8设正项等比数列d的首项印=1，前n项和为Sn，且210S30-210 1S20S!02（1）求数列玄的通项；（2）求数列nS鳥的前n项和Tnw成都起航教育个性化教育学案考点3最

8、值问题倍，且第二项与第四项的例9,0数列an *是等比数列，项数是偶数，各项均为正，它所有项的和等于偶数项的和的4积是第三项与第四项和的9倍，则数列Mg a/f的前多少项和最大？考点4求和方法 y丿G+! y丿xn + ! 0, XH1,川1) y丿例10.IK教肓成都起航教育个性化教育学案例11.已知等差数列3n 的各项均为正数，bi =1，且 bzS? =64，b)3 S3 =960a 3 ，前n项和为Sn ， bj为等比数列，(1)求an与bn ；(2)求1+ 1 +1S1S2Sn例12求和(1) Sn =1 2 3 3 7 n(2n -1)；(2) Sn =1 3x 5x2 7x3.

9、(2n -1)xn(x= 0)成都起航教育个性化教育学案1(2n -1)(2n 1)1 1 1例 13求和 Sn-.3 3 55 7考点5.等比数列求和的综合问题例14已知等差数列an，a2 =9，a5 =21（1）求数列an的通项；（2）令bn =2%，求数列bn的前n项和Sn成都起航教育个性化教育学案5 19fa 例15.已知数列an中，a!=a2=，且数列0是公差为-1的差数列，其中bn=log2申一二i,数列c“6 36I 3 丿1a是公比为的等比数列，其中Cn二an.1 - n，求数列an的通项公式及它的前n项和Sn32例16已知a1 =2，点an，an 1在函数f(x) =x2 2x的图像上，其中n=1,2,3，(1)求证数列 归(1 an)是等比数列；(2)设=(1 y)(1 a2).(1an)，求Tn及数列an的通项公式JHLl 如蓮褫教肓成都起航教育个性化教育学案易错点：忽略 q的取值范围而导致出错例17.已知等比数例an中，a, =2，S3 =6,求a3和q易错点：忽略题中的隐含条件而出