北京市朝阳区2021年高三一模数学(理)试题

1、北京市朝阳区2021年高三一模数学（理）试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.己知全集为实数集R,集合A = x/ - 3x1,则（44）口8 =A. （yo,0U3,+co） B. （0,1C. 3, + 8）D. l, + 8）2 .史数z满足Q + 1）N = 1,则在复平面内亚数z所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .直线/的参数方程为=一疝（，为参数），则/的倾斜角大小为（） y = 1 + 3，兀兀2兀5兀A. -B. -C. D63364 .已知为非零向量，则方0是%与*夹角为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条

2、件D.既不充分也不必要条件5 .某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（）A. 18B. 24C. 48D. 966 .某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体枳等于（）1 - 2C3 - 4D.7 .庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节口举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎 一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约 来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位

3、同学对游 戏中奖结果进行了预测,预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”：丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的，则 中奖的同学是（）A,甲B.乙C.丙D.丁8 .在平面直角坐标系xOy中，已知A（4, 0）, 5（1,2）,动点0满足丽=4C5 + pOB ,其中九0,1 + 口,2,则所有点P构成的图形面积为（）A. 1B. 2.D. 25/3二、填空题9 .执行如图所示的程序框图，若输入m=5,则输出k的值为10 .若三个点（2,1）, （2,3）,（2,-1）中恰有两个点在双曲线C： -

4、y2=i（a0） a上，则双曲线C的离心率为.11 .已知点 A（-2,0）,5（0,2）,若点M 是圆 x2 + y2 -2x+ 2y = 0 上的动点,则面积的最小值为.12 .等比数列%满足如下条件:q 0；数列%的前项和S” 0,屈 ）的部分图象如图所示，则。=:函数/（#在区间g,兀上的零点为14.己知。WR、函数/（“ = (x + l)- +4,X 0时，函数/ W的最大值是21+ 2一+:若函数“X）的图象上有且只有两对点关于）轴对称,则。的取值范闱是四、解答题15 .在A8C中，己知sinA =更，b = 2cosA.5（I）若。c = 5,求ABC的面枳;（II）若8为锐角

5、，求sinC的值.16 .如图1,在矩形45co中，45 = 2，8C = 4, E为AO的中点，。为3E中点.将A45七沿8E折起到ABE，使得平面A8E_L平面5CDE （如图2）.图丘图2/（1）求证：A O CD ：（2）求直线AC与平面AOE所成角的正弦值；A尸（3）在线段AC上是否存在点尸，使得OP/平面AOE?若存在，求出诉的值;A C若不存在，请说明理由.17 .某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物 理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，若一名学 生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确

6、定;否则,称该 学生选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲 的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了 了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调 查,统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有8人884211选考方案待确定的有6人430100女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人541001（I）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（H）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生随机选 出1人,从

7、选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案 中都含有历史科目的概率；（III）从选考方案确定的8名男生随机选出2名，设随机变量两名男生选考方案相同时4 = 1,两名男生选考方案不同时4 = 2,求J的分布列及数学期望石久18 .已知函数/。)=也一X(I)当。=2时，(i)求曲线y = /(x)在点(1J(1)处的切线方程；(ii)求函数/(M的单调区间；(II )若 12,求证：/(X)-1.19 .已知椭圆的离心率为半，且过点(1,乎).(I)求椭圆C的方程；(II)过椭圆C的左焦点的直线乙与椭圆C交于48两点,直线过坐标原点且与直线 乙的斜率互为相反数.若直线1

8、2与椭圆交于E, F两点且均不与点A.B重合，设直线AE 与x轴所成的锐角为4,直线BF与工轴所成的锐角为a,判断a与2的大小关系并加 以证明.20 .己知集合乂=内,9,天是集合S = 200L2002,2003,2016, 2017的一个 含有8个元素的子集.(I )当乂 =2001,2002,2005,2007,2011,2013,20162017时，设/XQ0)至少有三组不同的解,写出女的所有可能取值.(n )证明:对任意一个X，存在正整数上使得方程为- X,=女(1 /, j0,所以（CrA）c6 = x|xK0N3cx|x0 = x|xN3,故选 C.2. A【详解】1 1（1-1

9、） 1+1 1 1由Q + i）Z = i得Z =L= 77、 =:一 .在复平面内对应的点为（不二）,在第一象限，故 1 + 1 （l + i）（l-i）22 2选4.3. C【解析】由卜二四,可以得到直线的方程为=1一底,所以直线的斜率为 y = l + 3f,- 3倾斜角为拳故选仁4. B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若7Bo,则与方夹角为锐角或零角，若与五夹角为 锐角，则一定有7Bo,所以是“与5夹角为锐角”的必要不充分条件，故 选B.5. B【解析】甲连续2天上班，共有（周一，周二），（周二，周三），（周三,周四）, （周四，周五）四种情况，剩下三个人进行全排列，有8 = 6种

10、排法因此共有4x6 = 24种排法，故选8.6. B【详解】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.详解:几何体如图S-ABCD,高为1,底面为平行四边形，所以四棱锥的体枳等于1xlxf = L,33选B.点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根 据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.7. A【解析】由四人的预测可得下表:中奖人预测结果甲乙丙T甲yXXX乙yXVy丙XXVy丁XXy1 .若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意;2.若乙中奖，甲、丙、丁预测正确,不符合题意;3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;4.若丁中奖，乙、丁预测正确,不

11、符合题意；故只有当甲中奖时,仅有甲 一人预测正确,选A.8. C【解析】C以QA OB为邻边作平行四边形OAC8 ,X,-OP=彳。4 + 40反其中儿eoM +且1,2,.夕点位于内部（包含边 界）.:.所有点P构成的图形面积为S叱= -x/3x2 = V3.故选C.9. 1,2,4【解析】mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时,6550,所以输出女=4.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时 一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框：（2）注意区分程序框图是条件分支结构 还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直

12、到型循环结构：（4）处理循环结构的问题时 一定要正确控制循环次数：（5）要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的 试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.2【分析】由双曲线的图象关于原点对称，可知点（一2,1）,（2、一 1）在双曲线上，将点的坐标代入双曲 线方程可求得进而可求出离心率.【详解】三个点（一2,1）, （-2,3）,（2,-1）中恰有两个点在双曲线C：三一寸=1（0）上，又双曲线的图象关于原点对称，所以（一2,3）不在双曲线上，点（一2），（2,-1）在双曲线上， 则*1 = 1（40）,解得 = 又b = l,所以离心率为+= JQ=芈

13、.故答案为：叵2【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题.11. 2【解析】将圆 M : 丁 + y2-2x+ 2y = 0化简成标准方程。一 If + (y + l)2 = 2 ,圆心，半径 r = 因为 4-2,0),5(0,2)，所以 | A61= 20要求河/面积最小值，即要使圆上的动点M到直线AB的距离d最小，而圆心Q-D到直线45的距离为2a,所以S*”的最小值为81Mmm = ；x2VIx应=2,故答案为2 .乙乙I ” W 11I例如。1 = 5 0,q = 5,Sn=1 =则，故答案为。”=? TT由图得9(-。= ?=1,即最小正周期7=兀又因为丁 =

14、而，且公。，解 3 o z z产 |得69=2，由图得X=g时，至+。=2&兀+,伏 Z),又因为|派2,所以 = Y，/*)的零点即X)= 2 sm(2x -的图象与X轴交点的横坐标，OO则 2x- = hi,k gZ,解得 x = + Z ,因为 xw 咛,兀,得到 x=，兀,o12 z51277所以零点为不兀，故答案为不兀.JL乙JL乙当x0时=.兀丫Sill ，令=2i + 2- = 2 - +6之2,当2、t =击，即=1时取等号，即当=1时,工,=2，令力(x) = Su* T1,又因为力(1) = sin ； = 1 =力 *)晔，则 乙乙“丫入、=黑、=g ,(2) /(A)图

15、象仅有两对点关于 轴对称，即 轴对称的函数图象与 0）仅有两个交点，当X 0)，：八 丫)=兀丫siny6、01,由（i）可知近21 + 2- 田（）似图象如图所示，当g*）与/仅有两个交点时,-1 。o, 2a因为siiiA =立，所以cosA =4叵,所以sniB = 2x正= 由三角形面积公式可得 555554 3结果；（1【）由（I）知sm5 = ，因为8为锐角，所以cos6 = .所以5 5smC=sm（TI-A-B）= sm（A+ 5）= smAcosB + cosAsui5 ,将所需三角函数值代入即可 得结果.试题解析：（I）由正弦定理得：=券,因为 =2讹。血 b sinB所

16、以 smB = 2siii4cosA, cosA= 0 ?2a因为= 所以cosA =4，所以sm5 = 2x且x拽=3, 555 ,ii 4所以 S4ABe = 2sinB = -x5x = 2 .（II ）由（I）知sii止=（因为3为锐角，所以cos8 = |.所 以 sinC=sin （兀一 4 - 5） = sin（4+5） =smAcosB+cosAsuiBG 3 2逐 4= x x 5 5551175-25-016. （1）见解析；（2）巫；（3）见解析3【分析】（1）先证明AO_L平面8COE.再证明4O_LCD. （2）以。为原点，。尸,OG,QA所在直线分别为x，），Z轴建

17、立空间直角坐标系（如图）,利用向量法求直线4C与平面A3E所成角的正弦值sin。为巫.（3）假设在线段4c上存在点夕，使得OP/平面A0E.设 3AJP1（与，%，无），且行 =4（441）,根据。P平面AOE求得4 = 50，所以ACZAP 1当一=时，OP/平面4。石.AfC 2【详解】（1）由已知A8 = AE = 2，因为。为监中点，所以A0_L8.因为平面A8E_L平面BCDE，且平面平面=AOu平面A8E,所以AO_L平面BCOE.又因为C3u平面6。石，所以HO_LCD.（2）设尸为线段6c上靠近8点的四等分点，G为CO中点.由已知易得OF_LOG.由（1）可知，AO_L平面BC

18、DE,所以4Q_L。尸，ArOlOG.以。为原点，OROG,0A所在直线分别为X,乂Z轴建立空间直角坐标系（如图）.因为A5 = 2，BC = 4,所以 A(0,0,企),6(1,1,O),C(1,3,0),0(1,3,0),七(1,1,0).设平面A0石的一个法向量为? = （%,）1，4），因为 AO = (-1,3, -, 百=(0,- 2,0),一 m AfD = 0,-x, + 3y,-相z、= 0,所以一 即 V 1 m - DE = 0,-2 = 0.取Z| = -I,得用=(应,0,1).而衣二(1,3-V2).所以直线AC与平面40石所成角的正弦值sin。=（3）在线段4C上

19、存在点。，使得。尸/平面A3E.APr设P（Xo，y。，五），且听=2（041）,则乔=2冠，Aeo,lA Cx因为A（0,0,51）,C（l,3,0）,所以卜o，）,%。-5/2）=（九32,-, 所以玉）=%,%=34,4 =应一 JJ/i，所以尸（儿3人点一）, 02=（43人，1一）.若。P/平面A3E,则OP_L?.即OP机= （）.由（2）可知，平面A3石的一个法向量团=（应,0,-1卜即 eji+e=o,解得 x=wo,iAfP 1所以当k =时，OP/平面AOE. AC 2【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的 角的求法，意在考

20、查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）直线和平 面所成的角的求法方法一：（几何法）找一作（定义法）一证（定义）-指-求（解三 角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向ABn量法）sina =4,其中通是直线/的方向向量，是平面的法向量，。是直线和平 网同面所成的角.,3、7（I）皿（H）犷（in） a【解析】 试题分析：（I ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为X，则x = 420x8 + 1x-6 + 4 =420x-x- = 140 （人）；（II）根据占典概型概率公式可 8+6 + 10 + 6 8 + 105

21、9得该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为C1 C1 3/式=历；（川）由题意知4的所有可能取值为1,2 ,根据古典概型概率公式计算出两随机变量对应的概率，可得到分布 列，从而根据期望公式可得屈？的值.试题解析：（I）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为其/rc8 + 106 + 4 /cc 3 5x = 420 xx= 420 x-x- = 1408+6 + 10 + 6 8 + 105 9所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人.（II ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为_ 3CkC布（III）由题意知4的所有可能取值为L2P(4 = l)

22、=C； + C； 6 + 1 1C; 8 - 4p(“2)= ” + ”；+”；+c；c； + c；C + c；C q_8+4+4+2+2+1_3284所以4的分布列为%2aA1P43-p44期望为石=以92寸=彳is.（ I）（i） y = -3, （n）递增区间是（0,1）,递减区间是（1,+8）；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（I） 求出尸（工）=2一皿12，求出/（1）的值可得切点坐标，求出X/（1）的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线y = /（x）在点（1,7（1）处的切线方程;（11）分别令尸（x）0求得X的范围，可得函数“X）增区间，尸（x）vo求得工的范围,可得函数

23、/(X)的减区间；(1【)先利用导数证明lntx+l0,则qVx+lx1，从而可得结论.试题解析：(I)当。=2时，/) =也一21，定义域为(0.+8)、 2-liir - 2-1ily-2xz/ (x) = ； 2=；厂厂(i) /(1) = -1-2=-37(1) = 2-2=0所以切点坐标为(L-3),切线斜率为。所以切线方程为尸-3(ii)令g(x) = 2-lm-2x2, (x) = -4x0 即 r(x)0所以当x(L+s)时，g(x)0 即 r(x)。综上所述，“X)的单调递增区间是(。)，单调递减区间是(L+8).(II)方法一：即四二一依 0)Xi，(、2-liiv-ax2

24、 -hir + 2h (xJ = ；a =；厂厂设 0(x) = -ax2 -lnx+ 2U G 1-2ax2 -10(p (x) = -2ax- - = 所以叭X)在(。，+8)小于零恒成立 即(X)在(0,+8)上单调递减因为10, /“巧二一”。所以在(L)上必存在一个小使得) =&皿。+ 2=0 不gpiiir0=-a-+2所以当x(0,x)时，(x)0,力单调递增 当xe(x,+s)时，(x)0,6单调递减所以人(肛皿=/代)=?-八 + 1%因为必% = -。石+ 2所以3)=2就+% + 1火0令力(%)=。得/=上下用4a因为所以三叵0,匕且迤i 4a4a因为毛1，百，所以力(

25、%)0恒成立即(“0恒成立综上所述，当1V4V2时,/(X)-1方法二：/(x)定义域(0,+s)为了证明f(x)T,即必二1_办_1 X只需证明hiv-l-ad -x,即 hix 0,得0xl所以 7(X)在(0.1)上单调递增，在(L+S)上单调递减所以加(也“=?(1) = 0即 Im -x+1 0,则 liiv x-l令- 2x+2因为10恒成立即 ar2 -2x+2 0所以 ax2-x+l x-l综上所述，hix ax2-x+1即当 12时,/(x)b0)的离心率为乎，且过点1， ,结合性质标=炉+/ ，列出关于。、b、。的方程组,求出。、b、c,即可得椭圆C的 方程；（II ） 4

26、与2的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设（：y = k（x+l）,A（X，yJ,5（x,%）,联立，,消去得% + 2）厂=2（1+2/）/+必、+2&2-2 = 0,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得 kAE +嘘=乜二b + 上旦= ,直线AE, BF的倾斜角互补，可得a =仇.由题可得=1 /? = 1，解得%1-X3X2 X4试题解析:a2=b2+c2所以椭圆C的方程为1+）理=1.乙（II）结论:a = q,理由如下:由题知直线4斜率存在, 设/： =爪+1）,4（/弘）,8（9，%）.联立y = (x + 1)x2 + 2y2 = 2消去）得。+ 2用无2 +4入+2公- 2 = 0,由题易知（）恒成立,由韦达定理得_2/-2=1 + 2/因为与人斜率相反且过原点,y联立y = -kx/ + 2）尸=2消去）得（1 + 2用/-2 = 0, 由题易知（）恒成立，由韦达定理得& + % =,1 + 2攵-因为石/两点不与48重合， 所以直线4瓦5尸存在斜率L，% ,兑一8 K-色 占一天 占一%+ 1） +您 攵（9+1）-七（X +& +1）（公 +占）+ （三一占 + 1）（占一占）（王一事）（占+占）2xax2 + 2x； + xL + x2（占一天）（& +占）2（2F-2） 2x2 t -4F=0_