椭圆中的常见最值问题

1、椭圆中的常见最值问题1椭圆上的点P到二焦点的距离之积IPF1IIPF2I取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。2 2例1椭圆1上一点到它的二焦点的距离之积为 m，则m取得的259最大值时，P点的坐标是。P(0，3)或(0,-3)2 2例2、已知椭圆方程笃爲=1( a b 0,a2二b2 c2 )p为椭圆上一点，祸 a b是椭圆的二焦点，求I PFi | PF2 |的取值范围。分析：| PFi | PF2 I= (a ex)(a - ex)二 a2 - e2x2， (| x# a)当 x=_a 时，|PFi |PF2 仁二a2-c2 二b2，当 x=0 时，|PFi |

2、PF2 |ma a2即 b2 印 PFi |PF2 2 a22、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点，最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。2 2例3、已知A(i,i)，Fi、F2是椭圆-1 i的左右焦点，P为椭圆上一动95点，则|PA|-|PF2|的最大值是，此时P点坐标为。丨PA|-|PF2|的最小值是，此时P点坐标为。3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。例4、已知A(i,i)，Fi是椭圆沁=i的左

3、焦点,P为椭圆上一动点，则|PA| |PFi |的最小值是 ，此时P点坐标为o |PA| |PFi |的最大值是，此时P点坐标为。分析：|PA| IPF1LIPF2I |PFi| IAF2I，当P是AF2的延长线与椭圆的交 点时取等号。IPAI I PFi I I PF2 I IPFi I - I AF2 I，当P是AF2的反向延长线与椭 圆的交点时取等号。4、 椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点 F的距离的-倍e的和I PA I - I PF I的最小值(e为椭圆的离心率)，可通过迂巳乂转化为IPAI d ed(d为P到相应准线的距离)最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆

4、的交点。2 2例5、已知定点A(2,3)，点F为椭圆-壬=1的右焦点，点M在该椭圆16 12上移动，求I AM I 2 IMF I的最小值，并求此时 M点的坐标。2 2例6、已知点椭圆y 1及点A(2,2),B(3,0)，P(x,y)为椭圆上一个动点，259则3IPAI 5IPBI的最小值是 。5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是 短轴的端点与该焦点构成的三角形。2 2例7、过椭圆令 2 =1 ( a b 0,a2=b2，c2 )的中心的直线父椭圆于A, B a b两点，右焦点F2(c,0)，则：ABF2的最大面积是 o例8、已知F是椭圆9x2 25y2 =225的

5、一个焦点，PQ是过原点的一条弦， 求PQF面积的最大值。6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的 一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。2 2例9、P为椭圆笃 爲1 （ a b 0,ab2 c2） 一点，左、右焦点为a bFjc,0） F2（c,0），贝S PF1F2 的最大面积是 。7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一 个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。例10、已知A是椭圆9x2 25y2 = 225的长轴一个端点，PQ是过原点的一 条弦，求PQA面积的最大值。8、椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭

6、圆方程联立化为求函数最值问题。2 2例11、设0为坐标原点，F是椭圆 H 1的右焦点，M是OF的中点,259P为椭圆上任意一点，求|MP |的最大值和最小值例12、椭圆中心在原点，长轴在x轴上,，已知点P（0,-）到这个椭2圆上的最远距离是 7，求椭圆方程。9、椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点ra ex（|x|a）为x的增函数，rex（|xa）为x的减函数，a 时，r2,r2分别取得最大值a c和最小值a-c。2 2例13、椭圆y 1上的点到右焦点的最大值，最小值。25910、椭圆上的点到定直线的距离最近及最远点分别是与定直线平行的椭圆的两条切线的切点。例14、已知椭圆

7、x2 8y2 =8，在椭圆上求一点P,是P到直线I : x - y 4 = 0的距离最小，并求最小值11、椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。范围大于等于00，小于它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。分析：| PFi | IPF2 | = 2a= |PFi | PF2 | 山2二cos-IPFil2IPF2I2-4c24a2 -4C2-2|PFi IIPF2I一2a2-2c212a2 - 2c22|PFi|PF2|2|PFi|PF2|-|PFi|PF2-a2等号成立的条件：|PFi|=|PF2| = a，即P点为短轴的端点。2 2例15、已知椭

8、圆C： X7 2 =i(a b 0)，两个焦点为F2,F2，如果C上 a b有一点Q,使.FiQF2 =i20，求椭圆的离心率的取值范围。2 2例16、如图所示，从椭圆 笃 丄 i (a b - 0)上一点M向x轴作垂线，恰a b好通过椭圆的左焦点Fi，且它的长轴的端点 A短轴的端点B的连线AB平行 于OM。(1) 求椭圆的离心率(2) 设Q为椭圆上任意一点，F2为椭圆的右焦点，求 FiQF2的范围。(3) 当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若FiPQ的面积为 20 3，求此椭圆方程。12、椭圆上的点与它长轴的两个端点的连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。

9、范围为大于二，小于它的短轴的一个2端点和长轴的二端点的连线的夹角。2 2例17、已知椭圆C： x2 7 =1(a b 0)，长轴的两个端点为 A、B，如a b果C上有一点Q,使.AQB=i20，求椭圆的离心率的取值范围13、点P在椭圆上，u =mx ny ( m, n为常数)的最大值或最小值分别 是直线mx ny - u = 0与椭圆相切时U的值。2 2例18、已知点P(x,y)在丄 =1上的点，则u二x y的取值范围是1442514、 点P在椭圆上，u = 口( m,n为常数)的最大值或最小值分别是x n直线y = u(x - n) m与椭圆相切时的斜率。例19、点P(x,y)在椭圆4(x

10、2)例23、P,Q,M,N四点均在椭圆上，椭圆方程为：( x2=1，F为椭圆在y y2 =4上，则-的最大值 ，最小x值。2 2例20、点P(x, y)在椭圆-1上，则t =丄卫的最大值 ，最小259y-4值。15、y= xo aC0Sx的最大值或最小值是直线y二k(x-x)y与椭圆y0 bs inxx =acos日相切时切线的斜率。y =bs in 日例21、求y二-2轴正半轴的焦点，已知PF,FQ共线，MF,FN共线，且PF PFT 0，求 四边形PMQN面积的最小值。17、利用方程元的范围求有关最值问题: Sinx的最大值、最小值4 -2cosx16、椭圆的平行弦、过定点弦等弦长最值问题

11、及有关弦长的最值问题：2例22、求直线kx 1被椭圆乞y2 =1所截得弦长的最大值。42例24、已知椭圆方程为y2 =1，求过点P (0, 2)的直线交椭圆于不 同两点A、B， PA二PB ，求的取值范围。(.,3)318、其它有关最值2 2例24、P为椭圆：X2 -y2 = 1 (a b 0)上一动点，若A为长轴的一个端点， a bB为短轴的一个端点，当四边形OAPB面积最大时，求P点的坐标。2 2例25、已知椭圆11和直线l:x y 9=0，在丨上取一点M，经过点123M且以椭圆的焦点R,F2为焦点作椭圆，当M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。2 2例26、设椭圆笃，吿/心b 0

12、)的两个顶点为A(0,b),B(a,0)，右焦点为F， a b且F到直线AB的距离等于它到原点的距离，求离心率的取值范围。2 2例27、已知椭圆C： x2= 1(a b 0)，F1, F2为其左右焦点，P为椭a b3圆C上一点，PF丄X轴，且nPFF2的正切值为-4(1) 求椭圆C的离心率。(2) 过焦点F2的直线丨与椭圆C交于点M N，若F1MN面积的最大值为3,求椭圆C的方程。22b2解：x 二 c 代入笃= 1(a b 0)得：y 二一a2 b2a注意到0 :：:1，所以(2)设M(X1,y1), N(X2,y2)，过焦点F?的直线I的方程为x = my c ,代入椭圆方程得:(my c)22 y_ b2(my c)24c22厶=1 二(3m24)y2 6mcy 一 9c2 = 03c-6mc一 9c23m243m24SF1MN 二12 2| y11| y)=c| y y2卜 c (yy2)2-4y“2-6mC2 )3&2C 3ni +43卅 + 4二 6c2m2144如 2亦 16(3 卅4)2=12d29( m21)2 qm212