电磁场与电磁波第4版习题

1、第4章时变电磁场部分习题解答1 方2 p4.1证明：在无源的真空中，以下矢量函数满足波动方程二匚) = 0,其中(T 6广c2 = , E为常数。(1)(3)E = exEQcos(fiX z)；(2) E = exEQsin( z)cos(6X)；cccoE = eYEQ cos(血 + Z)c(1) V2E = evE0V2 cos(曲- z) = exEQ 2cos(妙- z) = cdzc_务(_) Eq cos(dz)cc少&coco7 E = e vE0 7 cos(劲z) = -e a)2EQ cos(効z)6厂6厂ccV2E _-V丄頁=-ev()2Eo cos(帧-z)-4-

2、exarEQ cos(期- z) = 0c drcc cc即矢量函数E = exE0 cos(曲-z)满足波动方程V2E-L- = 0occ6厂(2) V2E = evE0V2siii( )cos(yf) = exEQ sin(z)cos(効)=cdf c-ex()2EQ sin()cos(dX)cc0三0三COCO E = exEQ siii( z)cos(Q) = -exa)2EQsm( z)cos(曲)drccV2E-1- = _ex()2E0 sin( z)cos(a)t)-4r-eK(xrEQ sin( z)cos(ef) = 0c* drcccc即矢量函数E = exE0 sm(

3、z)cos(曲)满足波动方程注-丄?空车=0。cl dr(3) V2E = eyE0V2 cos(曲+ z) = 0、Eo - cos(曲+ z)= cdvc-eY()2EQcosJt + z)cc2E = eyEQ cos(6X + z) = -exarE. cos(/yf + z)drdrccV2E _-4- = _v()2Eq cos(期 + -Z)-e3E。cos(効 + ) = 0c drcc (Tc即矢量函数E = eyE0 cos(曲+ Z)满足波动方程VE -丄空g = 0。 cc dt-4.3已知无源的空气中的磁场强度为H = ev0.1 sm(10x) cos(6/r x

4、109/- kz) A/m利用波动方程求常数R的值。解在无源的空气中的磁场强度满足波动方程歹H(W)-“屁兰兽卫=0drV2H(r,r) = evV20.1 sin(10x) cos(6x 109-fc) =ev-(lOtt)2 -20.1 sm(lOr)cos(6x 109r-fc)2 77(rJ) = ev0.1 siii(l 0 7tx)乞 cos(6 龙 xlO9 t-kz) = 。厂Or一 S (6/r x 1 (f ) 0.1 sin(10x) cos(6/r xlO9 t-kz)代入方程V2H(r,t)-/00 dH(D = p（_。一里）=dt r 0OV+ （V.A） = -

5、 dt按库仑规范，令貯A = 0,将其代入式（1）和式（2）得L OA r ”00 VA - = 一/jJ + “刃（）ofdt（3 ）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁位函数A和0所满足的微分方程。4.9自由空间中的电磁场为E （, t） = etl 000 cos（6f - kz） V/mH （z, t） = ey 2.65 cos（cot - kz） A/m式中k =叫咛0 = 42 rad/m 0求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量；（3）任一时刻流入如题4. 9图所示的平行六面体（长lm、横截面枳为0.25nr ）中的 净功率。解（1）瞬时坡印廷矢量S = ExH = e.

6、2650cos2cot-kz） W/m2（2）平均坡印廷矢量Sav = e. 2650 cos2 （dX -= e. 1325 W/m2 2tc（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体中的净功率为 P =吨 S叫dS = S（y J 匸。+S 叫 L=J X 0.25 =2650x0.25cos2（曲）-cos2（cot-0.42） = -270.2sin（2曲一0.42） W4.10已知某电磁场的复矢量为E（z） = e JEQ sin伙Z）V/m(2)(3)(4)avHQ) = ecos 伙 oZ)A/m.2 co22式中& =,c为真空中的光速，2。是波长。求：（1） 2 = 0、

7、亠 丿各点处的瞬血c*84时坡印廷矢量；（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。解（1）E和H的瞬时矢量为E（ZJ） = ReeJE0 sin（koz）eJ = -exE0 sin 伙 z）sm（曲）V/mH(z9t) = ReeYcos(RZ)cos(曲)A/mcos 伙 Z)严=则瞬时坡印廷矢量为S(Z, t) = E(z.t)xH(乙 t) = -e: /Eq cos伙Z)sin伙z) cos(必)sin(必)S(0,0 = 0 w/m2SSo/S,t) = e.siii(2cot) W/ni_S(/lo/4j) = 0 W/m2(2) Sg，(z) = *ReE x “=0 W/nf4.11

8、在横截面为axb的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为E = -ejcop Hq sin()ejfi: V/m7taH = ejPH siii() + e,/0 cos()eJfiz A/m7Taa式中H。、血、“和0都是实常数。求：(1)瞬时坡印廷矢量；(2)平均坡印廷矢量。 解(1) E和H的瞬时矢量为E(x, z,t) = Re-eJa)p H0 sin()e:ejcJ,=7Tae、cop Hq siii() sin(曲-0z)V/m71a/77TX7TXH(x.z.t) = Reevjfi-HQ sin() + e,/0 cos(=tvaaQJIX冗X-e xPHq sm()sin(曲-f

9、iz) + e,HQ cos() cos(曲 _ 0Z)naa故瞬时坡印廷矢量s(x, z,t) = e.CD/jpt Ho)2 sill2()sin2(曲 一 0Z)+naex H； sni()sui(2 - 20z) W/m24兀a(2)平均坡印廷矢量S“Q,Z)= ；ReE(x,z)x/r(x,z) = b- Ho)2 suf() W/nf22 7Ta4.14设电场强度和磁场强度分别为E = Eq cos（曲+ $,）H = H cos（曲+ $, J证明其坡印廷矢量的平均值为S “严 *EoHoCOS 嗽-匕）解坡印廷矢量的瞬时值为S = ExH = Eq cos（曲+ $JxHo c

10、os（曲+ 0J =扌 E x cos（曲 + $. + 曲 + $”） + cos + 汽一曲一 0” J =扌 xcos(2 曲 + 代 + y/J + cos($, - $”)故平均坡印廷矢量为v =半匸 Sdt =半匸xHcos（2曲+ 久 +0”J + cos0,=i0xH0cos（-）4.15在半径为、电导率为5的无限长直圆柱导线屮，沿轴向通以均匀分布的恒定电流 /,且导线表面上有均匀分布的电荷面密度Ps。（1）导线表面外侧的坡印廷矢量S；（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。解：（1）当导线的电导率b为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场 r _ J

11、 _ Ij Tier（J根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即EI： = Eoz o因此，在导线表面外侧的 电场的切向分量为E I =丄心尸7t（ro又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为故导线表面外侧的电场为利用安培环路定理，町求得导线表面外侧的磁场为ae27ca故导线表面外侧的坡印廷矢量为si =（E（txHo） =-ep , +e.- W/nrP = -f SJs o由内导体表面每单位长度进入其内部的功率edS = x2tui = R12P-a 卩式中岛是内导体单位长度的电阻。由此可见，由导线表面进入其内部的功率等于导体内的焦耳热损耗功率。4.16由半径为。的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为d,两板间充满介电常x数为0.电导率为0的媒质，如题416题所示。 设两板间外加缓变电压ii,”cos曲,略去边 缘效应，试求：（1）电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡 印廷矢量；（2）进入电容器的平均功率；题4.16题（3）电容器内损耗的瞬时功率和平均功率; 解（1）电容器中的电场厂U%E = e