相似三角形难题集锦

1、相似三角形1. 如图，在Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4过点B作射线BB1 AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点 D作DHL AB于H,过点E作EF丄AC交射线BB1 于F, G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB并求出此时 DE的长度；(2)当厶ACB相似时，求t的值.2. 如图，在 ABC中，/ ABC= 90，AB=6m BC=8m动点P以2m/s的速度从A点出发，沿 AC向点C移动.同时，动点 Q以1m/s的速度从C点岀发，沿CB向点B移动

2、.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1) 当t=2.5s时，求 CPQ的面积；求 CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式;(2) 在P, Q移动的过程中，当 CPC为等腰三角形时，求出t的值.3. 如图1，在Rt ABC中，_ ACB= 90 ，AC= 6，BC= 8,点D在边AB上运动，DE平分_ CDB交边BC于点E，EM 丄BD,垂足为M, ENL CD垂足为N.(1)当 AD= CD时，求证：DE/ AC ( 2)探究：AD为何值时， BME-与 CNE相似？4. 如图所示，在 ABC中，BA=BC= 20cm, AC= 30cm,点P从A

3、点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动; 同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时 间为x.(1) 当x为何值时，PQ/ BC?(2) APQ-与 CQB能否相似？若能，求出 AP的长；若不能说明理由.5. 如图，在矩形 ABCD中, AB=12cm BC=6cm点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点 Q沿DA边从 点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果 P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(0 v t 6)。(1) 当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？(2) 当t为何值时，以点 Q A、P为顶点

4、的三角形与 ABC相似？6. 在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2 , 1)，正比例函数y=kx的图象与线段 OA的夹角是45,求这个正比例 函数的表达式.7. 在厶ABC中，AB=：匸,AC=4, BC=2以AB为边在C点的异侧作 ABD,使厶ABD为等腰直角三角形，求线段 CD的长.9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO勺边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且 AD交y轴于点E.那么D点的坐标为（）f 4 12、(1 13f 3 12、A.B.C. 厅丿D.10.已知，如图，直线 y= - 2x + 2与坐标轴交于 A、

5、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形 矩形的两边之比为1 : 2。求C、D两点的坐标。11.如图： ABC中，D是AB上一点，AD=AC BC边上的中线 AE交CD于 FAB_CF_求证：_12.四边形ABCD中, AC为AB AD的比例中项，且 AC平分/ DABBE BCDE CD28. 在厶ABC中，AC=BCZ ACB=90，点M是AC上的一点，点 N是BC上的一点，沿着直线 恰好落在边 AB上的P点.求证：MC NC=AP PB.13.在梯形ABCD中, AB/ CD, AB= b, CD= a, E为AD边上的任意一点，EF/ AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发

6、现如下事实:当_ 时，DE 、当二时,给出证明.当一二 时，ef= _；EF=.当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并14.已知：如图，在 ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且 BE= EF= FC。 求 BN NQ QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.2二（注：重心是三角形三条中线的交点）.（2）角平分线定理:16.如图，在等边厶 ABC中, M N分别是边 AB, AC的中点，D为MN上任意一点113+ 二求证： 一 _.BD CD的延长

7、线分别交 AC AB于点E、F.17. 已知：如图，梯形 ABCD中, AB/DC,对角线 AC BD交于0,过O作EF/AB分别交AD BC于E、F1 1 1+= 1求证：_ .18. 如图，在 ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形 EFGH勺四个顶点分别在厶 ABC上1 1 1HJ19. 已知，在 ABC中作内接菱形CDEF设菱形的边长为a 求证： 血 BCa20. ( 1)如图1，点厂在平行四边形 ABCD的对角线BD上，一直线过点 P分别交BA BC的延长线于点 Q, S,于点： 求证:PQ-PR = PSPT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不(2) 如图2,图3，当点在平行四

8、边形ABCD的对角线一.或的延长线上时， PQPR=PSPT 成立，试说明理由(要求仅以图 2为例进行证明或说明)；AFE=Z B.21. 如图，在平行四边形 ABCD中，过点A作AE BC垂足为E，连接DE F为线段DE上一点，且/求证： ADFA DEC(2)若 AB= 4,AD = 33 ,AE = 3,求 AF 的长.22. 如图，已知等腰三角形ABC中,AD,BF分别为BCAC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G交AC延长线于H。求证：DE=E(?门EH23. 已知如图，P为平行四边形 ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD BC CD的延长线、PE PH求证：i

9、?AB的延长线分别相交于点 E、F、G H.;在AD上有一点 P，且/ BPC为直角.求证：PD= AD- DH。24. 已知，如图，锐角 ABC中, AD丄BC于D, H为垂心(三角形三条高线的交点)25.已知如图，CD是Rt ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交 CA于F 求证：丄26如图，在 Rt ABC中，CD是斜边 AB上的高，点 M在CD上, DH1BM且与AC的延长线交于点 E. 求证：(1 ) AEDA CBM ( 2) AE-CMACCDEDB27.如图， ABC是直角三角形，/ ACB=90，CD丄AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与 CB的延长线交于点

10、 F.(1) 求证： FI = FB FC.(2) 若G是BC的中点，连接 GD GD与 EF垂直吗？并说明理由.C G B28.如图，四边形 ABCD DEFG都是正方形，连接 AE CG,AE与CG相交于点M, CG与 AD相交于点N.求证：BEEC29. 如图，BD CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作DGL BC于G分别交 CE及BA的延长线于F、H。2求证：(1) DG= BG- CG ( 2) BG- CG= GF- GH30. ABCWA DEF是两个等腰直角三角形，/ A=Z D=90, DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1) 如图1,设DE与AB交于点 M EF与AC交

11、于点N,求证： BEMhA CNE(2) 如图2,将厶DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点 M EF与AC交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.31. 如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分别交AC CD于点P、Q.(1) 请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);(2) 求 BP PQ QRBAE_AC32. 如图，在 ABC中, AD丄BC于 D, DE AB于 E, DF丄AC于 F。求证： 二二33. 如图，RtA AB C 是由RtA ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边

12、于点E, CC的延长线交BB 于点F.(1) 证明： ACE FBE(2) 设/ ABC二，/ CAC =:,试探索一:八：满足什么关系时， ACEA FBE是全等三角形，并说明理由.34. 在直角梯形 OAB(中, CB/ OA / C(A= 90o, CB= 3, OA= 6, BA= 3西分别以OA OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐 标系.BD(1) 求点B的坐标；(2) 已知D E分别为线段OG 0B上的点，0D= 5, OE= 2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式；(3) 点皿是(2)中直线DE上的一个动点，在 x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以

13、O D M N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求 出点N的坐标；若不存在，请说明理由.错误！未指定书签。35. 在图15-1至图15-3中，直线Mh与线段AB相交于点0,/ 1=/ 2 = 45.(1) 如图15-1，若AO = 0B请写出A0与 BD的数量关系和位置关系；(2) 将图15-1中的MN绕点0顺时针旋转得到图15-2，其中AO = 0B求证：AG3)将图15-2中的0B拉长为A0的k倍得到图15-3，求BD的值.AG36. 如图，在正方形 ABC中, E是BC上的一点，连结AE作BF丄AE垂足为H交CD于 F,作CG/ AE交BF于G(1)求证 CGBH (2) FG=BF GF

14、FC2 =GFAB2 GB37. 刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、.图中，/ B=90，/ A=30，BC=6cm图中，/ D=90，/ E=45，DE=4cm.图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF的直角边。已与厶ABC的斜边AC重合在一起，并将 DEF沿AC方向移动.在移动过程中，D E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).(1) 在厶DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐.(填“不变”、“变大”或“变小”)(2) 刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当 DEF移动至什么位置，即 AD的长为多少时，F、C的连线与

15、AB平行？问题：当 DEF移动至什么位置，即 AD的长为多少时，以线段 AD FC BC的长度为三边长的三角形是直角三角形问题：在 DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得/FCD=15 ?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.(图)D38. 已知 ABC中，AB= 2 5，AC= 4 . 5，BC= 6(1) 如图1点M为AB的中点，在线段 AC上取点 汕使厶ABC相似，求线段 MN的长；(2) 如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10X10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请你在所给的网 格中画出格点 ABC

16、，使得 A1B1C与厶ABC全等(画出一个即可，不需证明)试直接写出在所给的网格中与 ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个(不需证明)39. 已知直角坐标系中菱形 ABC的位置如图，C D两点的坐标分别为(4,0) ，(0,3).现有两动点P, Q分别从AC同时出发，点P沿线段AD向终点D 运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1) 填空：菱形ABC的边长是 、面积是、高BE的长是;(2) 探究下列问题： 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求 APQ勺面积S关于t的函数关系式，以及 S的最大值。 若点P的速度为每秒

17、1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得 APC沿它的一边翻折，翻折前 后两个三角形组成的四边形为菱形 .请探究当t=4秒时的情形，并求出 k的值.40. ABC中, AB=AC D为BC的中点，以 D为顶点作/ MDN=DB.4B.兰；(1) 如图(1)当射线DN经过点(2) 如图(2)，将/ MDN绕点D沿逆时针方向旋转, 的相似三角形，并证明你的结论.备用图A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与DM DN分别交线段 AC AB于E，F点ADE相似的三角形.(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有(3) 在图(2)中，若AB=AC=10 BC=12,当厶DEF的面积等于