数列知识点总结和题型归纳总结

1、高三总复习数列一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ；数列的一般形式：a1, a2, a3,an ,，简记作an。例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省参加高考的考生人数。(2) 通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4,5 ,- 1111：1,2

2、3 4 5数列 的通项公式是an =n ( n7, n N ),数列 的通项公式是an =-(n nN)。说明： an表示数列，an表示数列中的第n项，an = f n表示数列的通项公式；1 n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=(k Z)；1,n 2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1,(3) 数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f

3、(1),f(2), f(3),f(n),通常用an来代替f n ,其图象是一群孤立点。例：画出数列an 2n 1的图像(4) 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,S1(n 1)Sn Sn 1(n 2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列an 的前n项和Sn与通项an的关系：an 例：已知数列an的前n项和S

4、n 2n2 3，求数列a.的通项公式练习：1 根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7；22 132142152 1(2)2345(3)1111。1*22*33*44*5(4)9, 99,999,9999 (5) 7, 77, 777, 7777,2 数列an中，已知ann2 n1(n(1)写出 a a2, ag,an i, an2 ；(6)8, 88, 888, 8888 2(2) 79 是否是数列中的项若是，是第几项33. (2003京春理14,文15)在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白()内

5、。304D6S收叫怪(:咸虬ft11011?120JSS130J145707S7-5J00關()4、由前几项猜想通项:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式(1)( 4)( 7)5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样,10条直线相交，交点的个数最多是(),其通项公式2条直线相 交，最多有 1 个交点、等差数列3条直线相 交，最多有3 个交点个交点() ()题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an

6、an 1 d(n 2)或 a. 1 a. d(n 1)。例：等差数列an 2n 1 , an an , 题型二、等差数列的通项公式：an a, （n 1）d ；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列,d0为常数列，d0为递减数列。例：1.已知等差数列an中, a?a?16, a41,则a12等于（)A. 15B.30C. 31D. 642.an是首项a11,公差d3的等差数列,如果 an 2005,则序号n等于(A) 667(B)668(C) 669(D) 6703.等差数列an2n1,bn2n 1，则 an为bn为（填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念

7、:定义：如果a , A, b成等差数列，那么a , A, b 成等差数列 A -_-即：2an i an an 22例：1. （14全国I）设an是公差为正数的等差数列， 若a, a2 a3A. 120B. 105C. 90(2an15 ， a,a2a3D. 7580，则 a11a12ai32设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48,则它的首项是（A. 1.2 C题型四、等差数列的性质:（1 ）在等差数列an中,在等差数列an中,在等差数列an中,在等差数列an中,(2)(3)(4)对任意m , n N , an若 m , n , p , q从第2项起，每一项是它相邻

8、二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列;am (n m)d ,q，则 aman a paq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式:Snan)na1n(n 1)d(Sn An2 Bn(A,B为常数)an是等差数列递推公式：Sn 1切2(aman (m 1) )n2例：1.如果等差数列中，a3a4a512，那么a1a2a?(A) 14(B)21(C)28(D)352.（2015湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知a2a611 ,则等于A.13B. 35C. 49D.633.（2015全国卷I理） 设等差数列的前n项和为，若S972，则 a2 a4 a?=.A叫做a与b的等差中项。其中

9、 A4. （2015重庆文）（2）在等差数列中，a1 a9 10,则的值为（）(A) 5(B) 6(C) 8(D) 105若一个等差数列前 项3项的和为34,最后3项的和为项项146,且所有项的和为项390,则这个数列有（6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若Si221，贝V a2a5a8aii 7. （2014全国卷n理）设等差数列的前n项和为，若a5 5a3则S58. （2014全国）已知数列 bn是等差数列，bi=1, bi+b2+bio=1OO.（I）求数列 bn的通项bn；9. 已知an数列是等差数列，ai010,其前10项的和Si0 70，则其公差d等于（）2 112A.B.C.

10、D3 33310. （2015陕西卷文）设等差数列的前n项和为 若a6 S3 12,则11. （2013全国）设 an为等差数列,S为数列 an的前n项和，已知S7= 7, Si5= 75, Tn为数列 S n的前n项和，求Tn。12.等差数列an的前n项和记为Sn ,已知ai030, a?。50求通项an ；若Sn =242，求n13.在等差数列an中，（1）已知S848,Si2 168,求 ai和 d ； (2)已知 a6 10$ 5,求 a和 ; (3)已知 a3 ai540,求Si7题型六对于一个等差数列：（1） 若项数为偶数，设共有 2n叽则S偶 S奇 nd ； 一奇 旦；S偶an

11、1S奇n（2） 若项数为奇数，设共有 2n 1项，则S奇 S偶 an a中；也S偶 n 1题型七对与一个等差数列，Sn , S2n Sn ,S2n仍成等差数列。例：1等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）B.1702个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为O3.已知等差数列an的前10项和为100,前100项和为10，则前110项和为4设Sn为等差数列an的前n项和，S4 14, S10 S75. （2015全国II）设Sn是等差数列 an的前n项和，若一3S6S6311A.B. C.-1038题型八判断或证明一个数列是等差数列的方

12、法：定义法：D.an 1 and （常数）（n N ）an是等差数列中项法：2an 1 an an 2（n N ）an 是等差数列通项公式法：ankn b（k,b为常数）an 是等差数列前n项和公式法：Sn An2 Bn （A, B为常数）an是等差数列A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an的通项为an 2n 5,则数列a.为（）A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前n项和2Sn 2n 4，则数列an为（）A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列an的前n项和2S

13、n 2n，则数列an为（）A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列 an满足 an 22an 1 an 0，则数列an为（）A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断例：1已知数列an满足an an 1 2，则数列an为（）6.数列a n满足a1 =8, a 42,an且 an 2 2an 10（nN ）求数列an的通项公式;7. （14天津理，2）设S是数列an的前n项和，且S=n2,则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九数列最值（1）a,

14、0, d 0时，Sn有最大值；a,0, d 0时，Sn有最小值；2（2） Sn最值的求法： 若已知Sn，的最值可求二次函数 Sn an bn的最值;an 0 或 an 0an 10 an 10可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出中的正、负分界项，即: 若已知an，则Sn最值时n的值（n N ）可如下确定项的和最大。例：1等差数列 an中，a1 0，S9 S12，则前2 设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3 12，S12 0，弘 0 求出公差d的范围， 指出S1, S2, , S12中哪一个值最大，并说明理由。3. （12上海）设an（nN*）是等差数列，S是其前n项的和，且Sv S,

15、S = Sz8,则下列结论错误的是（）v 0= 0C. S5与S均为Sn的最大值4.已知数列an的通项n 98n 99N ）,则数列 an的前30项中最大项和最小项分别是 5已知an是等差数列，其中 a131，公差d 8。（1）数列an从哪一项开始小于0（2）求数列a.前n项和的最大值，并求出对应 n的值.6已知an是各项不为零的等差数列，其中ai 0 ,公差d 0 ,若So 0，求数列a.前n项和的最大值.7在等差数列a.中，ai 25 ,亦 S9，求Sn的最大值.题型十利用anS(n 求通项.S Si (n 2)1数列an的前n项和Sn23)你能写出数列n 1 .( 1 )试写出数列的前

16、5项；(2)数列an是等差数列吗(an的通项公式吗2 已知数列an的前n项和Snn2 4n 1,则3.设数列an的前n项和为Si=2n2,求数列a*的通项公式;14已知数列 an 中，a13,前 n和 Sn (n 1)(an 1) 12求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式25. (2015安徽文)设数列的前 n项和Sn n，则的值为()(A) 15(B) 16(C)49(D) 64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q 0)，即：an 1: an q(

17、q 0)。、递推关系与通项公式递推关系： an 1 anq通项公式：an a1 qn 1 推广：an am qnm1.在等比数列 an中,a12. 在等比数列 an中a3. (2014重庆文)在等比数列(A) 2( B) 34, q2，则 an 12,q V2,则 a19 .an中，a2 = 8, a1 = 64,则公比 q 为()4.在等比数列 an中，a22 , a554，则 a8 =5在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3，前二项和为21,则a3 a4 a5()A 33 B 7284D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为b、ac，注

18、：b2 ac是成等比数列的必要而不充分条件例：1.2,3和2,3的等比中项为(A)1(B) 1(C) 1(D)22. (2013重庆卷文)设是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，贝U的前n项和=()n 7nA.442 n B.35n32n 3n C.242D. n n(C) 4( D) 8三、等比数列的基本性质,1. (1)若 m n pq,则 amanapaq (其中 m,n, p,q N )(2)，an an m an m (n N ) a m(3)an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列(4)an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列例:1.在等

19、比数列2an中,a1和a10是方程2x5x 10的两个根，则a4 a?log 2 a1(C)1(D)22.在等比数列3在等比数列求an若Tn4.等比数列A. 12an，已知a n 中，a 1lg a1 lg a2a1a65 , a9 a1033, a3 a4lg an,求 Tn100，则 a18 =32, a n an 1an的各项为正数，且 aa6 aqa? 18,则 log 3a! log3 a2 LB. 10C. 8D. 2+log3 55. （ 2014广东卷理）已知等比数列满足an0,n1,2,L ,且 a5 a?nlog 2 a3 Llog 2 a2n 1（n 3），则当时，A.

20、n(2n1)B. (n 1)2C.D.(n 1)22.前n项和公式na1Sn 2(1 qn)1 q(q 1)3 a.q例：1.已知等比数列an的首相a12.已知等比数列an的首相a1(q1)5，公比q5，公比q则其前n项和Sn2 ,1，当项数n趋近与无穷大时，其前n项2和Sn 3.设等比数列an的前n项和为Sn ,已 a26, 6a1 a330，求 an 和 Sn4. (2015 年北京卷)设f(n) 22427210 L 23n 10(nN)，则f(n)等于()A. 2(8n 1)B. 2(8n11)C.2 (8n 3 1) D.-(8n4 1)77775. (2014全国文，21)设等比数

21、列an的前n项和为Sh,若Sb+S6= 2S9,求数列的公比q；6. 设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若S+1,S，S+2成等差数列，则q的值为 .3若数列an是等比数列,Sn是其前n项的和，k N,那么 Sk , S2kSk , S3kS2k成等比数列.例：1. （2014辽宁卷理）设等比数列 的前n项和为,A. 2B.C.2个等比数列前A. 83B.n项的和为48，前2 n项的和为108 C.60,则前3n项的和为（75D. 633已知数列 an是等比数列，且Sm10, S2m30,则S3m4等比数列的判定法(1)定义法：9口anq （常数）an为等比数列;2（2） 中项法：an

22、 1an an 2 （an 0）an为等比数列；（3） 通项公式法：an k qn （k,q为常数）an为等比数列；（4） 前n项和法：Sn k（1 qn） （ k,q为常数）an为等比数列。Snk kqn （k,q为常数）a.为等比数列。例：1已知数列an的通项为an2n，则数列an为（）A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2已知数列an2满足an 1anan 2(an 0)，则数列an为()A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3已知一个数列an的前n项和Sn 22n 1，则数列an为（）A.等差数列B等比数列C既不是等差数列也不是等比

23、数列D.无法判断5利用anS(n 1)求通项.nSn Sni (n 2)亠i例：1. (2015北京卷)数列an的前 n 项和为S,且 ai=1,an1 Sn, n=1, 2, 3, ，求a2,a3,a43的值及数列an的通项公式.2. (2015山东卷)已知数列an的首项a1 5,前n项和为Sn,且& 1 Sn n 5(n N*)，证明数列an 1是等比数列.四、求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26,求an ；2.已知数列an满足a12, an an 1 1(n 1)，求数列an的通项公式;3.数列

24、an满足a1 =8, a4 2,且an 2 2a“ 1 a. 0 ( n N ),求数列 a“的通项公式;4.已知数列an满足ai 2,an 12，求数列an的通项公式;an5.设数列an满足ai1 an 11，求an的通项公式1 an8.已知数列an满足a12, an 3an 1（n 1），求数列a.的通项公式;6.已知数列an满足an 1n , a1 1，求数列an的通项公式。 an 227.等比数列an的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a39a2a6，求数列a.的通项公式(n N ),求数列a*的通项公式;9.已知数列a*满足a12,a24且an2anan110.已知数列an满足

25、ai2,且 a* i 5n 1 2(an 5n)( nN ),求数列 a*的通项公式;11.已知数列an满足ain 12,且 an 15 223(an 5 2n 2) ( nN )，求数列an的通项公式;12.数列已知数列an满足a2,an4an 1 1(n1).则数列 an的通项公式=(2)累加法1、累加法 适用于：an 1 an f (n)a2务f(1)若 an 1 anf (n) (na3a2f(2)2)，则 lLan 1anf(n)两边分别相加得an 1 aif(n)an 1 a n2，求数列an的通项公式。4n 11例：1已知数列an满足a1,22.已知数列an满足an 1an 2n

26、 1, a1 1，求数列an的通项公式。3.已知数列an满足an 1an 2 3n 1，a1 3，求数列an的通项公式。4.设数列an满足a12n 12，an 1 an3 2，求数列a.的通项公式(3)累乘法适用于：an if (n)anan 1右a?a31f(n)f (n),则丄 f(l),-3f(2)丄 L ,亠aia2an两边分别相乘得,n冃 f(k)k 1例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5n an，a1 3，求数列an的通项公式。2已知数列an满足a12，an 13求an o3n1 “an (n3n23.已知 a13 , an 11)，求 an o(4)待定系数法适用于 a

27、n 1 qan f (n)解题基本步骤： 1、确定f(n)2、设等比数列 an1 f (n) ，公比为3、列出关系式 an 11f(n 1)2an2 f(n)4、比较系数求 1 ， 25、解得数列 an1f (n) 的通项公式6、解得数列 an 的通项公式例：1已知数列an中，印1,an 2am 1(n 2)，求数列 an的通项公式。2. (2015，重庆，文,14)在数列an中，若ai 1&1 2a. 3(n 1)，则该数列的通项an 3. (2014.福建理22.本小题满分14分)已知数列 an满足印1,an 1 2an 1(n N*).求数列 an的通项公式；4已知数列an满足an 1

28、2an 3 5n，印6，求数列a.的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)5.已知数列an满足 an 1 3an 5 2n 4, ai1,求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1y 3(an x 2n y)6已知数列an中，ai 5,ani6ian (1)n1，求 an327.已知数列an满足an 122an 3n 4n 5, a11，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)22y(n 1) z 2(an xn yn z)n 18.已知数列an满足an 1 2an 4 3 ,印1，求数列 a.的通项公式。san )其中递推公式为an 2 pan

29、1 qan （其中p, q均为常数）。先把原递推公式转化为an 2 san 1 t（an 1s t ps，t满足st q9.已知数列an满足an 25an 1 6an,a11赴 2，求数列an的通项公式。(5 )递推公式中既有Sn分析：把已知关系通过 ann 1Sn Si 1,n转化为数列2an或Sn的递推关系,然后采用相应的方法求解。1. (2015北京卷)数列an的前n项和为Si，且 ai=1，an1 3Sn，n=1, 2,3,，求a2, a3, a4 的值及数列an的通项公式.2.(2015山东卷)已知数列 耳 的首项ai5,前n项和为Sn，且 Sn 1Snn5(n N*)，证明数列an

30、1是等比数列.3.已知数列 an中，a1 3,前n和Sn1尹 1)(a1) 1求证：数列 an是等差数列求数列an的通项公式4.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn 1 (a. 1)(an 2)，且a2,玄4,比成等比数列，求数6列an的通项公式。例：1.已知数列an满足an 1(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项n ,a1 1，求数列an的通项公式。 an 2(7)对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1. (2014年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足a1 1，an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1(n 2)，求an的通项公式

31、。2.设数列满足a1 3a2 32a3 3n 1an n , a N* 求数列的通项;3五、数列求和1 直接用等差、等比数列的求和公式求和。n a,q 1)定要讨论Snn-ai an- nai-)dSna,1 qn)公比含字母时2 2n - -q 1)i q(理)无穷递缩等比数列时，s 芒1 q例：1.已知等差数列an满足a11, a23，求前n项和Sn2.等差数列an中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=()A 9B. 10C. 11D. 123已知等比数列an满足a11, a23，求前n项和Sn23n 10(n N)，则等于(47104.设 f(n)2222 L23 八24 八C. (81) D.(81)772.错位相减法求和：如：an等差，bn等比，求a1b1 a2b2anbn的和.2n 1例：1.求和 Sn 1 2x 3x n2n 1A. (81) B. (81)77 L nxn 12.求