暑期生活专题2

1、专题2因式分解的应用因式分解作为多项式的一种重要变形手段，有着多方面的应用，例如数与式的整除性 问题、数的分解及有关性质探究、代数式求值、恒等式证明、解方程与不等式以及其他各种杂题等等，可以认为凡是涉及代数式运算的场合，因式分解必是一种有用的工具， 其作用不容忽视。由因式分解的平方差、立方差、立方和公式可推广得出以下有关整除性的结论：结论1对一切正整数 n, ab “必有因式a-b(即a-b整除a】b ：下同)。结论2对一切正奇数n,a n+bn必有因式a+b。结论3对一切正偶数n,an-bn必有因式(a+b)(a-b).(以上结论证略)结论4 对一切整数n,n 3-n必能被6整除。证明：因为

2、n3-n=(n-1) n (n+1)，而n-1、n、n+1是连续的三个整数，其中至少有 一个偶数，且必有一个是3的整数倍，因此，n3-n必是6的整数倍，即被 6整除。(这里的“整除”是指商为整数，包括负整数、零、正整数 )结论5 对一切整数n,n5-n必能被5整除。证明：因为 n5-n=n(n-1)(n+1)(n2+1)如果n是5的整数倍，结论显然成立；如果n被5除余1,则n-1是5的整数倍，结论成立；如果 n被5除余4，则n+1是5 的整数倍，结论成立；如果 n被5除余2或3，则n可写成 5k _ 2(k是整数)，22225n =(5k _2) =25k - 20k+4,n +1可被5整除，

3、所以结论也成立。综上可知，n -5必被5整除。由结论5,进一步分析又可得以下推论：推论1对一切整数n, n-n必被30整除。(联系结论4可得) 推论2如果n不是5的整数倍，那么n4-1必是5的整数倍。例1 .求证： 2000|1001 1001+9999; 2002|1002 1002-1000 1000(a|b表示a整除b即b是a的整数倍，下同)分析：注意到2000=1001+999, 2002=1002+1000,以及指数的情况，应该灵活运用上述 结论1、2、3。证明：因为 10011001+9999=(1001 1001+9991001)-999 9(9992-1),由结论 2 可得10

4、01 1001 22000=1001+999 整除 1001+999,而 999 -1=(999+1)(999-1)=1000 X 998 是 2000 的整数倍，所以10011001+9999是2000的整数倍。1002 1000 1002 1002 1000 2因为 1002-1000=(1002-1000)+1000(1000 -1), 由结论 3 可得2002=1002+1000 整除 10021002-10001002，而 10002-1=1001 X 999，可知 2002=2 X 1001 整除1000 21000 (1000 -1),所以 10021002-10001000是

5、2002 的整数倍。例2 .求证1989|2521 n-447n-298n+213n(题中指数n未加说明则表示正整数，下同)分析：因为n可以是一切正整数，所以应运用结论1,可从2521, 447, 298,213中两数这差与1989的因数之间关系入手。证明：因为 1989=3 X 13X 17,2521-447=17 X 122,且 298-213=17 X 5, 所以 17|2521 n-447n，且 17|298 n-213n, 即: 17|(2521 n-447 n)-(298 n-213n);又 2521-298=9 X 13X 19 且 447-213=9 X 13 X 2,所以 9

6、X 13|2521 n-298 n,且 9X 13|447 n-213n,即：9 X 13|(2521 n-298)-(447 n-213)综上,1989|2521 n-447n-298n+213n注：本题证明依据整除性质若a|n,b|n且a、b互质，则ab|n ”。例 3 .求证 8193| 2 2002-1分析：由210=1024, 23=8可知8193=1024X 8+仁213+1想法转化形式利用结论3。证明：因为 8193=2 +1,2002=2 X 7 X 11 X 13=154 X 13200213 154所以 2-1=(2) -1 ,由结论3可知必有因式213+1(因为154是偶

7、数)。例 4 .求证 7|3 2n+1+2n=2; 11|32n+2+26n+1分析：改变有关各项表达形式，创设条件运用结论1、2、3。证明：因为 7=9-2|9 n-2n,32n+1+2n+2=3 9n+4 2n=3(9n-2 n)+7 2n,所以 7|3 2n+1+2n+2.因为11=3+8，而运用结论2，则指数应为奇数。由32n+2=3 32n+1可添项3 82n+1,2n+2 6n+12n+1 2n+12n+1 6n+13+2=3 (3+8 )-3 8+22n+1 2n+12n2n=3(3+8 )-24 8 +2 82n+1 2n+12n=3(3+8 )-22 8所以11|3+2例5

8、.如果n不是5的整数倍，求证100|n 8+3n4-4分析：100=4X 25,所以可分二步进行证明。证明：n8+3n4-4=(n 4+4)(n 4-1)因为n不是5的整数倍，由推论 2,5|n 4-1，而n4+4=(n4-1)+5也是5的整数倍，所以 25|(n 4-1)(n 4+4)即：25|n 8+3n4-4 ;又如果n是偶数，则4|n 2,显然有4|n 8+3n4-4;而如果 n 是奇数，可设 n=2k-1，贝U n2=4k2-4k+1，所以 4|n2-1,贝U 4|(n 4-1)(n 4+4)，即:844|n +3n -4 ;84综上，100|n +3 n-4.例6.已知n个正整数a

9、1,a2,a n 满足 30|a 1+a2+, +an,求证:30| a：+a： +分析：因为正整数的大小、个数都不确定，所以可从a：与a1的关系入手进行探究。证明：由推论1可知alaal-a?,;an都是30的整数倍,所以 30|(a15-a1)+(a 2-a2)+ 曲),即：30|(a：+a：+ +a 5)-(a t+a 2 + an),5530| a +a 2 +已知 30|ai+a2+, +an,所以必有注：本题利用了整除性质如果 n|a,n|b则n|a+b”例7 求证整数111222是两个连续整数的乘积。 #1n个1n个2分析：由99 9 =10n-1，把“数”用“式”表示，再用因式

10、分解的方法证明。9n个9证明：111222 = 11 100 0 + 22 2n个1n个2n个1n个0n个21 =_(1092nnn-1) 10 + (10 -1)12n=一(10 +10 -2)9 1=(10 n-1)(10 n +2)9因为 L(10 n +2)=311 0002 = 33343n-1 个 0n-1 个 31n(10 -1)=31999 = 333O1*3n个9n个3所以 11 1222= 333 3334 . ” n个1n个2n个3n-1个3例8对正整数n,问n4-3n2+9是合数还是质数？证明你的结论。分析：取不同的n值代入试探，可知可能是合数也可能是质数，(如n=1,

11、2,3等)所以必须用因式分解的方法，再对因式进行讨论，探求n取值的规律。解：n4-3n2+9=(n4+6n2+9)-9n222 2=(n +3) -(3n)2 2=(n +3n+3)(n -3n+3)如果 n2-3n+3=1，即：(n-2)(n-1)=0 , n=1 或 2 时，n4-3n2+9=13 是质数， 而n2+3n+3=1,即：(n+2)(n+1)=0,对任何正整数n不成立。所以当n=1时n4-3n 2+9=7是质数，n=2时n4-3n2+9=13是质数，当n是其他正整数时，n4-3n 2+9是合数。例 9 a、b、c、d 是正整数，且有 a5=b4, c3=d2,c-a=19,求

12、d-b 的值。分析：一般地，如果 mp=nq(其中m n、p、q是正整数，且p、q互质)则必有一个正整数 k 存在，使 m=W,n=k p.例如 1252=253 其中 m=125,n=25,p=2,q=3,贝U k=5 即: 125=53,25=5 2。 解：由 a5=b4,可设 a=mf,b=m5, 由c3=d2，可设c=n2,d=n 3,(m、n是正整数)贝H c-a=n 2-m4=(n+m2)(n-m 2)=19 2n+m =19得解得n=10,m=32n-m =13365所以 d=n =10 =1000,b=m =3 =243,d-b=757111例10.求方程丄+丄=丄的整数解。X

13、、y不能为零。Xy5分析：化为整式方程后可利用因式分解方法求解，但应注意解：原方程化为 xy-5x-5y=0 即(x-5)(y-5)=25 ,x-5=1,x-5= 25,x-5= 5x-5= -1x-5= -25x-5=-5所以或或或或或且x工O,yz 0解Jy-5=25 J y-5= 1 J y-5= 5 J y-5= -25 J y-5= -1 J y-5=-5区=6 fx2 =30 X3=10 上4=4x5=-20得，y1=302=6 y3=10 y4=-20 ys=4例11.求具有以下性质的所有三位数m:m2的末三位数字即为三位数m。分析：关键是用恰当的数学式子把题意表达出来，以便通过

14、变形、运算进行分析推导。解：由题设可知，m2-m的末三位数字都是 0,即是1000的倍数，可表示为 1000|m2-m，即23 53|m(m-1),而m与m-1互质，所以23|m且53|m-1 或53|m且23|m-1由，先确定 m-1可是125,250,375,500,625,750,875等数，再检验满足 23|m的m只能是376;由，先确定 m可以是125,250,375,500,625,750,875等数，再检验满足 23|m-1的m只能是 625。综上，满足条件的三位数m是376和625.厂 2a -a-2b-2c=0 ,例12. a、b、c分别表示ABC中/A、/ B、/ C的对边

15、长度，且满足问a+2b-2c+3=0ABC中哪个角最大？分析：只要求出a、b、c中最大边所对的角必为最大，可以从讨论两边之差是否大于零入手。解：由式，可得 2(c-b)=a+30因为a0所以cb;由-得 a2-2a-4b-3=0(a-3)(a+1)=4b0由+得a2-4c+3=024(c-a)=a -4a+3=(a+3)(a-1)由式可得 a-30，贝U a-1a-30,所以 4(c-a)0 ca综上，a、b、c中c最大，所以/ C为最大角。练习题33331 证明 2003|1 +2 +3 +, +20022证明10001是合数2001 个 03 一个正整数加上 50或减去31都是平方数，求所

16、有这种正整数的和。4对任意整数n,求证n5-5n3+4n能被120整除。333335已知a、b、c、d、e都是整数，且 a+b+c+d+e是6的整数倍，求证 a +b +c +d +e也是6的整数倍。2223336 已知 a+b+c=1,a +b +c =2,a +b +c =3，求 abc 的值。7求方程的整数解 xy_x_y=2; x2-y 2+2y-6=0.111 -=1,xyxy8求方程组的整数解 J511-_=1,yzyz211-=1zxzx9已知大于100的两个不同整数 a、b,他们的十位数相同，求证an与bn（n是大于1的整数）的十位数与个位数也分别相同。2 2 210a、b、c

17、为三角形的三条边，且满足 a -16b -c +6ab+10c=0，求证a+c=2b。2 2 2 211 已知 a +b =1,c +d =1,ac+bd=0,求 ab+cd 的值。12 已知 x2+x+ 仁0,求 x2003+x2002+1 的值。参考答案3333331.1 +2002 ,2 +2001，,，1001 + 1002 共 1001 组，每组都是2003 的整数倍2.10001 = 102002+ 1 = 1001001 + 1有因式100+ 1,即是101的倍数，所以是合数3设 12001 个 0正整数 x ,贝V x+50=m2,x-31= n2, ( m、n 是正 整数)贝

18、V m2-n2=81,(m+n)(m-n)=81,m + n=81m+n=272彳,m=41,n=40,x1=1631; i,m=15,n=12,x =175 。 综 上 1631+175=1806m -n= 1m -n=35334.n-5n+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)，所以能同时被 2,3, 4,5 整除5.由 a -a=(a-1)a(a+1)是 6 的整数倍可得6.由 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2-ab-bc-ca),2 2 2 2(a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)可得7.(x-1) (y-1)=3=3x 1= 1X 3=(-3) (- 1)=(-1) (- 3)