正态分布讲解含标准表

1、2. 4正态分布复习引入：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率. 设 想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 ，这条曲线 叫做总体密度曲线.频率/组距总体密度曲线单位它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线，可求岀总体在区间(a, b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线 x=a，x=b及x轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征 的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：宀亠()式中的实数4、 A0)是参数，分别表示总体的平

2、均数与标准差，(X)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.讲解新课：一般地，如果对于任何实数 a : b，随机变量X满足bP（a X 兰 B）= J Jp（x）dx,a则称X的分布为正态分布（normal distribution ）.正态分布完全由参数 丄和;确定，因此正态分布2 2常记作N（.L,二）.如果随机变量 X服从正态分布，则记为 XN（丄，二）.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板

3、底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布例如长 度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位 面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子 管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布因此，正 态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中正态分布在概率和统计中占有重要的地位.说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；c是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用

4、样本标准差去估计.2. 早在1733年，法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得到了正态分布之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导岀了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布.22 正态分布N（,二）是由均值卩和标准差b唯一决定的分布+3通过对三组正态曲线分析，得岀正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称.正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上+讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质”4.正态曲线的性质：(1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交，(2) 曲线关于直线x

5、=卩对称.(3) 当x=卩时，曲线位于最高点 +(4) 当xV卩时，曲线上升(增函数)；当x卩时，曲线下降(减函数)+并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 .(5) 卩一定时，曲线的形状由 b确定+b越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；b越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比 教学5 .标准正态曲线：当卩=0、b =1时，正态总 体称为标准 正态总 体，其相应 的函数表示 式是x2f(x)=;e 2(-xV+8)其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N(0, 1 )在正态总体的

6、研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标 准正态分布的概率问题讲解范例:例1.给岀下列三个正态总体的函数表达式，请找岀其均值g和标准差a亠(1)f(x)21 Xe 2 ,x (v,：)(2)f(x)1(xl)2226 3 B2(3)f(x)e*) ,xe(_oo,+2c)2 二 答案：（1）0 , 1 ; （2）1 , 2; （3）-1 , 0.5例2求标准正态总体在（-1 , 2 ）内取值的概率.解：利用等式p - ：（X2 ） - （x-| ）有p = ：（2） ：（一1）=：（2） 9 一；：L -1 1 /=(2)亠事(1) -1 =0.9772 + 0.8413 - 1

7、=0.81511.标准正态总体的概率问题即（X。）= P（X ： xJ ,其中x00 ,图中阴影部分的面积表示为概率P（x ： x。）只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现：当x0 ： 0时，叮（x0） = 1 -门（x0）;而当X0 = 0时，（0） =0.5 .2.标准正态分布表标准正态总体 N（0,1）在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中，对应于x0的值；:J（x0）是指总体取值小于Xo的概率，即：(x) =P(x ： X0), (X0 - 0).若 Xo : 0，则 7 (Xo) = 1 J (-Xo).利用标准正态分布表，可以求岀

8、标准正态总体在任意区间(xx2)内取值的概率，即直线X = %， X =X2与正态曲线、X轴所围成的曲边梯形的面积P(%: Xx2)=(x2)(xj.x _ p3. 非标准正态总体在某区间内取值的概率：可以通过F(x) -：()转化成标准正态总体，然后CT查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化”首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化+4. 小概率事件的含义发生概率一般不超过5%的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生.假设检验方法的基本思想：首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析,假设检验方法的操作程序，即“

9、三步曲”一是提岀统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入(卩-3 b，卩+3 b);三是作岀判断+讲解范例：例 1.若 XN(0,1),求(I) P(-2.32 x2).解：(1) R-2.32V x2)=1- Hx() = O ( 1)=1 (1 )= 1 0.8413 = 0.1587CFF(g b，g + b )=F( g+ b )F( g b )= 0.8413 0.1587=0.6826F(g 1.84b，g +1.84 b )=F( g + 1.84 b )F( g 1.84b)=0.9342F(g 2 b ，g+ 2 b)=F(g + 2 b

10、)F( g 2 b )=0.954F(g 3 b ，g+ 3 b)=F(g + 3 b )F( g 3 b )=0.997对于正态总体 N(T2) 取值的概率:在区间（卩-cr ,卩+ b）、（卩-2 cr ,卩+2b）、（卩-3 cr ,卩+3b ）内取值的概率分别为 68.3%、95.4%、99.7% .因此我们时常只在区间（g -3 c,卩+3 c ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的 一部分例3.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 1 ,求总体落入区间（J2兀1.2 , 0.2 ）之间的概率.解：正态分布的概率密度函数是f（x）= 丄 e卞 X （严垃），

11、它是偶函数，说明g =v2ncr0, f （x）的最大值为f （丄）=，所以、2二二c = 1 ,这个正态分布就是标准正态分布P（ 一1.2 ： x ：0.2）=心（0.2） 门（一1.2） = G（0.2） 1 一 门（1.2）=门（0.2）亠（1.2） 1教学反思：1 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布+但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破 口 .正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布+2

12、正态分布是可以用函数形式来表述的.其密度函数可写成：f（x） e 2；了，x （-二，二）,（c 0）由此可见，正态分布是 由它的平均数g和标准差c唯一决定的.常把它记为N（j,；2）3从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x= g,并在x= g时取最大值+从x= g点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.4通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。由于正态分布是 由其平均数g和标准差c唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究 带来一定

13、的困难.但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0, 1）,其他的正态分布都可以通过x M-F（x）=（）转化为N（ 0 , 1 ）,我们把N（0, 1 ）称为标准正态分布，其密度函数为F（x）二丄x2e 2x（ - , +8）,从而使正态分布的研究得以简化。结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 +正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要 了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。附表1.标准正态分布表I P *扌2汇x0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.500 00.504 0

14、0.508 00.512 00.516 00.519 90.523 90.527 90.531 90.535 90.10.539 80.543 80.547 80.551 70.555 70.559 60.563 60.567 50.571 40.575 30.20.579 30.583 20.587 10.591 00.594 80.598 70.602 60.606 40.610 30.614 10.30.617 90.621 70.625 50.629 30.633 10.636 80.640 40.644 30.648 00.651 70.40.655 40.659 10.662 80

15、.666 40.670 00.673 60.677 20.680 80.684 40.687 90.50.691 50.695 00.698 50.701 90.705 40.708 80.712 30.715 70.719 00.722 40.60.725 70.729 10.732 40.735 70.738 90.742 20.745 40.748 60.751 70.754 90.70.758 00.761 10.764 20.767 30.770 30.773 40.776 40.779 40.782 30.785 20.80.788 10.791 00.793 90.796 70.

16、799 50.802 30.805 10.807 80.810 60.813 30.90.815 90.818 60.821 20.823 80.826 40.828 90.835 50.834 00.836 50.838 91.00.841 30.843 80.846 10.848 50.850 80.853 10.855 40.857 70.859 90.862 11.10.864 30.866 50.868 60.870 80.872 90.874 90.877 00.879 00.881 00.883 01.20.884 90.886 90.888 80.890 70.892 50.8

17、94 40.896 20.898 00.899 70.901 51.30.903 20.904 90.906 60.908 20.909 90.911 50.913 10.914 70.916 20.917 71.40.919 20.920 70.922 20.923 60.925 10.926 50.927 90.929 20.930 60.931 91.50.933 20.934 50.935 70.937 00.938 20.939 40.940 60.941 80.943 00.944 11.60.945 20.946 30.947 40.948 40.949 50.950 50.95

18、1 50.952 50.953 50.953 51.70.955 40.956 40.957 30.958 20.959 10.959 90.960 80.961 60.962 50.963 31.80.964 10.964 80.965 60.966 40.967 20.967 80.968 60.969 30.970 00.970 61.90.971 30.971 90.972 60.973 20.973 80.974 40.975 00.975 60.976 20.976 72.00.977 20.977 80.978 30.978 80.979 30.979 80.980 30.980 80.981 20.981 72.10.982 10.982 60.983 00.983 40.983 80.984 20.984 60.985 00.985 40.985 72.20.986 10.986 40.986 80.987 10.987 40.987 80.988 10.988 40.988 70.9