有限元动力学分析方程及解法

1、动力分析中平衡方程组的解法1前言描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似，但所有的变量 都是时间的函数。基本变量三大类变量叫()、勺()和b/g,/)是坐标位置纟(x,y,z)和时间f的函数， 一般将其记为曾F(r) o基本方程(1) 平衡方程利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中，有% +E -叫(0 = 0(1)其中p为密度，”为阻尼系数。几何方程)匂(/)= (/()+ 你卫)物理方程其中为弹性系数矩阵。(4) 边界条件位移边界条件BC(u)为，= .(/)在 S“上力的边界条件BC(p)为，b/Wj = R(r)在 Sp 上初始条件片(霁=0)=硝()%(烝=

2、0)=需)虚功原理基于上述基本方程，可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式，(5TI = J* 一(b”，一 pii - vut + b+ J (cr.j?. - /?. IA = 0(8)nSp对该方程右端第一项进行分部积分，并应用髙斯-格林公式，整理得，t +viif3ui一 (J EQuIG + J PQiylA) = 0 nSn有限元分析列式 单元的节点位移列阵为,u：(/)=佝山(/),绚 a), 2(。*2 a)，w? a)心山 a),叭 a)d o)单元内的插值函数为，(11)畑)=N(则(/)其中(G为单元的形状函数矩阵，与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完全 相同，纟为

3、单元中的几何位置坐标。基于上面的几何方程和物理方程及(11)式，将相关的物理量表达为节点位移 的关系，有，(釦)=可“(釦)=dN()U,e(t) =(12)bM = D = DBG)U ：=S()UP)(13)(,/) = ()“：(/)(14)力= N町(15)将(12)-(15)供稿到虚功方程(9)中，有，旳=M 77： + CP： + KP： (/) - Re, (f 川(f)=0(16)由于口/；()具有任意性，消去该项并简写有，t)： + CeUte + KU： = Ret(17)其中,Me = pNNdC(18)ofCe = f vNrNd(19)K。= J BDBdG(20)n

4、rAT为单元质量矩阵，c为单元阻尼矩阵，/r为单元刚度矩阵。同样，将单元 的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方程，即，MU + CU + KU =R(21)其中，Q和K分别是系统的质量、阻尼和刚度矩阵，是外荷载向量，ufu 和分别是有限元分割体的加速度、速度和位移向量。方程(21)是通过考虑在时 刻七的静力平衡而推导出来的。对静力或动力分析的选择(即在分析中是考虑或忽略与速度及加速度有关的 力)，一般取决于工程上的判断，其目的在于减少所需要的分析工作量。但是， 应该认识到，一个静力分析的假定，应该有理由说明它是正确的，否则，分析的 结果就是无意义的。确实，在非线性分析中，采用忽略惯性力

5、和阻尼力的假定， 可能严重到难以求得甚至无法求得解答。在数学上，方程(21)是一个二阶线性微分方程组，原则上可用求解常系数微 分方程组的标准过程来求得方程组的解。但是，如果矩阵的阶数很高，则采用求 解一般微分方程组的过程可能要付出很高的费用，除非特别利用系数矩阵K, C 和的特殊性质。因此，在实用的有限元分析中，主要对几种有效的方法感兴趣， 下面将集中介绍这几种方法。我们所考虑的基本过程，可分为两种求解方法：直 接积分法和振型叠加法。初看起来，这两种方法似乎完全不同，但事实上它们有 着密切的关系，至于选择这种或那种方法，只取决于它们的数值效果。2直接积分法在直接积分中对方程(21)是逐步地进行

6、数值积分的，“直接”的意思是，进 行数值积分前没有进行把方程变为另一种形式的变换。实质上，直接积分是基于 下面的两个想法，第一个想法是只在相隔&的一些离散的时间区间上而不是试 图在任一时刻t上满足方程(21)即包含有惯性力和阻尼力作用的(静力)平衡是 在求解区间上的一些离散时刻点上获得的。因此，似乎在静力分析中使用过的所 有求解方法，在直接积分法中或许也能有效地使用；第二个想法是假定位移、速度和加速度在每一时间区间ZV内变化。下面假设分别用U0fU0fU0来表示初始时刻(7=0)的位移、速度和加速度向 量为已知，要求出方程(21)从f=0到t=T的解。在求解时，把时间全程T划分 为几个相等的时

7、间区间AT (即& =7V),所用的积分格式是在时刻0,2V , 20,昇,f + ZV,卩上确定方程的近似解。由于计算下一个时刻的解的算法要考虑到前面各个时刻的解，因此假定在时刻0,4,f的解为已知，来推导出求时 刻f + &的解的算法。计算时刻Z + 2V的解对于计算自此以后AZ的时刻上的解是 有代表意义的，这样就可建立用来计算在所有离散时间点上解的一般算法。(a)、中心差分法小貝一 +%(22)若把式(21)的平衡关系看作是一个常系数常微分方程组，便可以用任一有限 差分表达式通过位移来近似表示加速度和速度。因此，在理论上，许多不同的有 限差分表达式均可使用。但是，我们要求求解格式必须是有

8、效的，这样便只需考 虑少数几种计算格式。对某些问题求解是非常有效的一个过程是中心差分法，这 个方法假定7 匸仏+%将式(22)代入乃时刻的式(21),可得从式(23)我们可以求出U “应该注意，S仙的解是基于利用在时刻七的平衡 条件。因此，该积分过程称为显式积分方法，且这样的积分格式在逐步解法中不 需要对(有效)刚度矩阵进行分解。另一方面，以后所考虑的Houbolt, Wil sone 叹Newmark方法,要利用在f+ &上的平衡条件，因而称为隐式积分方法。另外还应注意到，应用中心差分法时，Ug的计算包含有7和叽,因此,计算在时刻4的解，必需用一个具体的起始过程。由于U0fU.fU0都是已知

9、的， 由关系式(22)可求J =匕一少久+分。（24）具体计算步骤为A. 初始计算1.X形成刚度矩阵K、质量矩阵和阻尼矩阵C。3计算初始值UQfUQ,U904. 选取时间步长4,要求（临界值）。5. 计算系数 a0 = , “ =，a2 =2a0, “ =丄。 AT2 1 2ATa26. 计算= U0 -tU.+a.U7. 形成有效质量矩阵M =a0M + aC98. 对M作三角分解：M = LDL!B. 每一时间步长内的计算1. 计算在时刻力的有效荷载：A =比-&一幻旳妙一（“庐o2. 计算时刻f + AZ的位移：LDIU, = R, o3.必要时，按照式（）计算时刻土速度和加速度。假设所

10、考虑的系统没有物理阻尼，即C是零矩阵，在这种情形下式（23）可简 化为（25）AZ其中R = E -（K -“2力 一7&士因此，如果质量矩阵是对角形的，则解方程组（）时就不需要进行矩阵的分解，即只需进行矩阵相乘便可求得右端项的有效荷载向量从而利用必用彳必1（26）可得出位移向量的各个分量，其中;厶和斤丁分别表示向量匕+，和&的第2个分量，而叫是质量矩阵的第，个对角线元素，并且假定0o如果对总刚度矩阵和质量矩阵都不需进行三角分解，也就不必形成总体的攵 和必 此时，求解式(23)可以在单元一级来解决，然后将每个单元的结果累加即 可，即R = & -刀K口 -牙陆(1/“-2V,) (27)使用式

11、(26)和(27)形式的中心差分法的优点是很明显的，因为它不需要计算 总刚度矩阵和总质量矩阵，求解过程基本上是在单元一级上进行，所需要的内存 比较少。如果所有相继的单元刚度矩阵和质量矩阵均相同，则该方法就显得更有 效，因为这时只需计算或从后备存贮器上连续读出对应于系统中第一个单元的矩 阵。至于中心差分法的缺点，必需承认，该过程的效果与对角形质量矩阵中采用 和忽略通常依赖于速度的阻尼力有关，若只包合一个对角形阻尼矩阵，则仍然可 保持在单元一级上进行求解的优点。从实用上看，只能用于对角形质量矩阵的这 个缺点通常是不很严重的，因为可以采用足够精细的有限元离散化来使解有良好 的精度。使用中心差分格式的

12、另一个十分重要的考虑是，该积分方法要求时间步长 2V小于一个临界值心“，可由整个单元分割体的刚度和质量的性质来算出AZfro 更准确地说，要得到一个有效的解必须AT = (28)n其中7；是分析物体的最小周期，*是单元系统的阶。要求使用的时间步长&小于临界时间步长3“的差分格式，例如中心差分 法，称为条件稳定的。如果使用一个大于山“的时间步长，则积分是不稳定的， 这意味着由数值积分或在计算机上的舍入所导致的误差都会增大，并且在许多情 形下会使响应的计算失去意义，积分稳定性的概念是非常重要的。上面我们讨论了中心差分方法的主要缺点：其格式是条件稳定的，许多其它 积分方法也会是条件稳定的。由于在结构

13、分析中条件稳定方法的有效使用会受到 限制，因此在下面几节我们来考虑一些通常使用的无条件稳定的积分格式。无条件稳定的积分格式的有效性可从积分能取得较好精度这一事实显示出来，时间步 长4可以不按式(28)的要求束选取，在许多情形下AT可以大于式(28)所允许的 4几个量级。所有下面讨论的积分方法都是隐式的，即在求解时要求对刚度矩 阵或者说得更确切些是对有效刚度矩阵进行三角分解。(c) Houbolt 法Houbolt积分格式与前面讨论的中心差分方法是有联系的，因为它也是根据 标准的有限差分表示式用位移的各个分量来近似地表示加速度和速度的各个分 量。Houbolt积分格式采用了下面的有限差分展开式(

14、29)匕“莎皿叫+9J为了得到在时刻/ + &的解，现在我们考虑在时刻/ + &的式(21)(而不是象 中心差分法那样考虑在时刻十的情形)，它给出/= R 仏 +X(”討3(30)利用上式求解U2需要先知道S，久亠和U虽然知道UOfUOfU.对开始Houbolt积分格式是有用的，但用其它方法计算%,%会更精确，即需要利用 特殊的起始方法。用来积分式(21)以得出 m，是用一个不同的积分格式并尽可能是用以 2V的几分之一为时间步长，例如用中心差分格式。Houbolt法与中心差分法的一个基本差别在于，刚度矩阵K是作为所求位移 5皿的因子出现的。KUz项的出现是因为在式(21)中取时刻f +少的平衡

15、而不 像中心差分法取时刻乃的平衡，因此Houbolt方法是一个隐式积分格式，而中心 差分方法则是一个显式过程。关于积分所用的时间步长少不存在临界的时间步 长限制，一般&可以选得比式(28)所给的中心差分法的步长大一些。一个值得注意的特点是，如果忽略质量和阻尼的影响，基于Houbolt方法的 逐步积分格式可直接简化为静力分析，但中心差分解法则不能这样做。换言之， 若C = O和= Houbolt求解方法就得出与时间有关的荷裁作用下的静力解。（d） Gilson 0 法Wilson 0法实质上是线性加速度法的推广，线性加速度法假定加速度从时 刻广到时刻（ + 2V为线性变化。Wilson e方程则

16、假定加速度从时刻到时刻 +购为线性变化，其中eni.o,当9 = 1.o时，这个方法就简化为线性加速度 格式。要达到无条件稳定，则必须用&21.37,通常用& = 1.40。令t表示时间的增量，其中0 购，于是对从广到f +购的时间区间， 假定 W f (31)5厂S+面仇购-叩对上式积分得Sr =4+4氏(5购-0)+以+扑# +盒仇购-）(32)当匸=购时（ - - 心2（33）叽=Ul+购匕+十（5购+吗）这样，就可以求出几=希（叽-U,）-U,-2U,）3 （6i伽（叽- S）_物一/这样，要得到在时刻F+2V的位移、速度和加速度的解，就只需考虑在时刻f +购 的平衡方程（21）。然而

17、，因为假定加速度为线性变化，故所用的投影荷载向量是 线性变化的，即K+购=& + &（&+a/ - K ）（35）具体计算步骤为A.初始计算1. 形成刚度矩阵K质量矩阵和阻尼矩阵G2. 计算初始值r0,t/0,r003. 选取时间步长&。计算系数“ =6 V, “ = , “2 =“3=竺，(购)2 62 32“ 一.3zV Ar2=,心=,t/6 = 1, a7 =,“* =4 0 5 0 6 7 2 8 64. ；6.形成有效刚度矩阵k = K+“()M+幻C。6.对斤作三角分解：K = LDl!B.每一时间步长内的计算1. 计算在时刻f +购的有效荷载：丘+购=& + &（Rg - &

18、）+ M仏Q（ + 心力/ + 2耳） + （?0口+2匕+“）2. 计算时刻t + 0的位移：LDl!Ul+a = Rt o3. 计算时刻+ &的位移、速度和加速度：02 =心3 -S）+Q +“6匕正如前面所指出的，Wilson B法也是一个隐式积分方法，因为刚度矩阵K 是未知位移向量的系数矩阵。还可以注意到，该方法不需要特别的初始过程，因 为在时刻r + A/的位移、速度和加速度只是利用在时刻方的相同的量来表示(e) r Newmark 法恥遊M积分格式也可以认为是线性加速度法的推广，它所用的假定如下(36)5厂4+（1_哨+疋+少AT2（+畑+其中是参数，根据积分的精度和稳定性的要求来

19、确定这两个参数。当-2和a =-时，式（）相应于线性加速度法（它也可由Wilson 0法取& = 1得到）。 6恥咖协最初提出以恒定一平均一加速度法作为无条件稳定的格式，在这种情形下，心。要得到在时刻f+ AT的位移、速度和加速度的解，就只需考虑在时刻f +少的 平衡方程(21),具体步骤如下：A.初始计算1. 形成刚度矩阵K、质量矩阵和阻尼矩阵C。2. 计算初始值U0fU0fUQO3.选取时间步长AT,参数5和。计算积分系数:5X0.5 , Q 0.25(0.5+ 5)26 = &(1 - 5), “7 =4.形成有效刚度矩阵K = K+a0M+alC .5.对斤作三角分解：K = LDL!

20、B.每一时间步长内的计算1 计算在时刻f + zv的有效荷载:A+at =R(a +M 仏 0 +a2U, +aiUl)+C(alUf +a4Ut +asUt).2. 计算时刻f + A/的位移：LDEJn =。3. 计算时刻F + zV的速度和加速度：-Ul)-a2Ul-a3UtUg =Ul+a6Ut+a7Ul应该注意N?砲arR法和Wilson 6法在计算机上执行时的密切关系，利用这 个关系就有可能在一个简单的计算机程序中方便地使用这两个积分格式。11.1振型叠加法在直接积分法中，质量矩阵是对角形的且无阻尼，则对一个时间步长的运算次数稍多于2nmk ,其中n和-分别是所考虑的刚度矩阵的阶和

21、半带宽。在中心差分法中，刚度矩阵与位移向量相乘需要2nmk次运算；而在Houbolt法、Wilson 0法和法中，则在每个时间步长求解方程组时约需要2加&次运 算。有效刚度矩阵的初始三角分解还要求一些附加的运算，并且，如果在分析中 使用一致质量矩阵或考虑阻尼矩阵，对其中任一情形，每一时间步长所需要的附 加运算次数正比于因此，若略去初始计算的运算次数，则整个积分所要求的总运算次数约为an叫s ,其中a与所用的矩阵的性质有关，a2,而s是时 间步长的步数。上面的考虑说明，直接积分所需要的运算次数直接正比于分析中的时间步 数。因此，一般说来，当要求较短时间(即m个时间步效)的响应时，可以预料, 使用

22、直接积分法是有效的。但是，如果积分必须对许多时间步数进行，则先把平 衡方程(21)变换，使之能以较少的费用进行逐步求解就可能会更有效。具体地说: 由于所需要的运算次数直接正比于刚度矩阵的半带宽，和，因而，心的减小会按比 例地降低逐步解法的费用。平衡方程组(21)是将有限元插值函数应用在虚功方程的计算中得到的，而最 终的矩阵和6的带宽由有限元节点的编号束决定。因此，有限元网格的决 定了系统矩阵的阶数和带宽。虽然我们可以通过重新编排节点号达到减小系统矩 阵带宽的目的，但是，用这种方式能够得到的最小带宽是有限度的，因而有必要 探索另外的途径，这就是振型叠加法。利用下面的变换，对有限元分析的位移进行变

23、换，即U(t) = PX(t)(37)其中P是个待确定的方阵，X(t)是与时问有关的力阶向量，X(t)的各个分量称 为广义位移。将上式代入式(21),并左乘P7*得到MX(t) + CX(t )+KX(t )R(t)(38)其中实际上，这个变换就是将位移的表达式变为(39)U(m(x,yfzft)=N(m,PX(t)变换的目的是要得到新的系统刚度、质量和阻尼矩阵両和C,使它们的 带宽比原来系统矩阵的小，同时也应适当地选取变换矩阵几此外应注意，为了 使式(37)所表示的任何向量和才之间有唯一的关系，尸必须是非奇异的。在理论上可以有许多不同的变换矩阵P都可以减小原来系统矩阵的带宽，但 在实用上，一

24、个有效的变换矩阵是由无阻尼自由振动平衡方程MU + KU =0的 解来建立的，该方程的可以假定解为U =e sin 诚一 G )(40)其中0是力阶向量，乃是时间变量，山是时间常数，而少是表示向量0的振动频率的常量。把式(40)代入无阻尼自由振动平衡方程，得到广义特征值问题2 = /呦(41)从中可以确定0和0,特征问题(41)式有力个特征解6；,松)，02)，= b(i=j)(:#“)，其中特征向量与是正交的，即(42)(43)向量0称为第f阶振型向量，是相应的振动频率。应该强调指岀，G个位 移解公0加-/。)(i = l92, ,n)中的任何一个均满足振动平衡方程。定义一个矩阵，它的各列为

25、特征向量血，并定义一个矩阵其对角线上的元素为特征值；，即 =【01020”，(44)则式(41)可以写成5Ke = M0Q2(45)由于向量M是正交的，于是e，KG = I(46)很显然，矩阵就是一个合适的代利用U(t) = X(t)(47)可得到对应于振型广义位移的平衡方程X(t) + CX(t )-Q.2X(t) = TR(t)(48)根据正交性，可得初始条件X。= rMUn , X。= rMU0(49)方程(48)表明，若在分析中不包含阻尼矩阵，当利用有限元系统的自由振动 的振型向量组成变换矩阵P时，则有限元平衡方程组是不耦合的，由于在许多情 形下阻尼矩阵不能明显确定而只能近似地考虑阻尼

26、的影响，采用下述阻尼矩阵是 合理的：它包含所有要求的影响同时又能有效地求出平衡方程的解。在许多分析 中是完全忽略阻尼影响的。(a), 忽略阻尼的分析若在分析中不考虑与速度有关的阻尼影响，方程()就简化为X(t) + Q2X(t) = 7 R(t)(50)亦即下面的力个独立的方程3+叱r叫= 1,2,(51)其中应注意到，在(51)中的第，个典型方程是一个具有单位质量和刚度血；的单 自由度系统的平衡方程，这个系统运动时的初始条件可从式(49)得出心(0 )=并 Mu。,乞(0 丿=灵 MU.(52)(51)中的每一项积分，都可以用上节的直接积分法求出，也可以利用杜哈密 I Duhamel)积分求

27、得/ ) = f rz(T)sin-t)dt + sin oj +cos(53)式中0,屈是由初始条件确定的。一般上式的杜哈密积分要采用数值积分来计算。对于完整的响应，必须算出式(51)中的所有/7个方程的解，然后将每个振型 的响应叠加就得到有限元的节点位移，即= (54)i因此，概括地讲，用振型叠加的响应分析要求：首先求解方程(41)的特征值 和特征向量；然后求解不耦合的平衡方程组(51)；最后，如式(54)所示，将每一 个特征向量的响应进行叠加。在分析中，特征向量是有限元分割体自由振动的振 型。如前面讨论过的，选择振型叠加分析或用上节所述的直接积分法，仅仅取决 于其数值效果，而这两种过程所

28、得的解在所用的时间积分格式的数值误差和计算 机的舍入误差两方面部是相同的。对于许多类型的实际荷载条件来说，为了得到系统真实响应的一个好的近似 解，仅需要考虑全部不耦合方程中的一部分就够了。通常仅需用到头p个平衡方 程，即为了得到一个满意的近似解，我们在分析中需要考虑式(51)中有关 i = 1,2,的方程，其中p n o这意味着仅需对(41)式解出最小的p个特征 值及相应的特征向量，同时，在式(54)中仅对头p个振型进行叠加。事实上，在振型叠加分析中可以仅需考虑少数几个振型，振型叠加过程比直 接积分有效得多。但是，由此也可知，振型叠加的效果与分析中必须考虑的振型 数有关，通常所考虑的结构和荷载

29、的空间分布以及频率成份决定着所用振型的个 数。对于地震荷载，有些情形只需考虑十个最低的振型，虽然系统的阶可能大于21000。另一方面，对于冲击或振动荷载，一般要包含更多的振型，可能要p =当考虑振型叠加分析中所应包含的振型的个数的选取问题时，应该记住的 是，找出的是动力方程(21)的一个近似解。因此，如果所考虑的振型的个数不足, 方程(21)的解就不可能足够精确。实际上这意味着计算出的近似响应，并不满足 包含惯性力的平衡。以t/P表示考虑p个振型时由振型叠加而算得的响应，则可以用下面的误差估计卩，来估计任意时刻广的分析精度。R(t)-MUp(t)+KUp(t)2(55)如果己得到系统平衡方程(

30、21) 个满意的近似解，则sp(t)在任何时刻十都是很 小的。但必需注意，Up(t)的求得，一定要基于所考虑的p个振型中每一个振型 的响应的精确计算，因为该方法的唯一误差是由于在分析中没有包含足够的振型 所致。应该注意，由上式算出的误差度量决定着包括惯性力的平衡被满足到什么程 度，同时它又是惯性和弹性节点力与节点荷载三者平衡的度量.另一方面，因为 不是所有振型向量都被用到，所以我们可以说，”是没有包括在振型叠加分析 中的那些外荷载向量部分的度量，由此可以看出，在直接积分分析中，訂在时 刻0,&,2&,-总是等于零的。总起来说，假定已精确地解出(51)中互不耦合的 方程，用Pn的振型叠加分析中的

31、误差是由于没有使用足够的振型所致，而在 直接积分分析时，误差的产生是由于使用了过大的时间步长所致。还要指出一个更为重要的情况，到目前为止仅讨论了有限元系统平衡方程 (21)的精确解。但是，我们真正的目的是要求得所考虑的结构的真实的精确响应 的一个良好的近似解。事实上，有限元分析能够求得真实结构的“精确”频率的 上界。通常，有限元分析非常好地逼近于最低的精确频率，而可以预料，在逼近 高频和相应振型方面就几乎没有精度可言。振型叠加过程在分析中不必包括对应 于有限元系统中可能不精确的高频响应，与直接积分相比，这是该方法的特有优 点。因而，假定在有限元分析中准确地算出了所有重要的频率，则就不必计算系

32、统中高振型的响应，也不会严重影响解的精度。(c)考虑阻尼的分析以特征向量仃= 1,2,，”)为基的有限元系统平衡方程的一般形式由式(48) 给出。该式表明，假如略去阻尼的影响，则平衡方程就互不耦合，即可以对每一 方程逐个地进行时间积分。对不能略去阻尼影响的系统的分析，我们仍然希望基 本上能使用相同的计算过程去处理互不耦合的平衡方程(48)。通常，阻尼矩阵Q 不能象形成单元分割体的质量矩阵和刚度矩阵那样，由单无阻尼矩阵形成，而它 的用处在于近似表示出在系统响应期间的全部能量的消耗。如果能够假定阻尼是 成比例的，则振型叠加分析特别有效，该假定为灵 C%=2a)肺q(56)其中灵是振型阻尼参数，务是

33、Kronecker 8符号。因此，利用上式，假定特征向量0仃=1,2,，丿也是Q正交的，则方程(48)简化为下面形式的刀个方程：匕(7 丿+ 2.曲(门 + 力:小=rt(t)(57)同样，这个方程可以用前节的直接积分计算，也可以用册M刃积分xi(t) = (tf(y丿 sin Oj(t-T)dT + eai sin 引 + fli cos引(58)G)i Jo其中0=3小-於,其它同无阻尼一样。若阻尼满足关系(56)式，在振型叠加分析中就易于考虑阻尼的影响。然而，在真实的阻尼比仃=1,2,p丿为已知，则需要用显式算出矩阵C把它代人式(56)中即可得岀确定的阻尼比。如果p = 2.可假定刃少劝阻尼为如下形式C =创 + PK(59)式中a和0是常数。例如：假设一个多自由度系统，3=2,=3且在该两个振型中我们分别要求有 2%和10%的临界阻尼，即要求= 0.02和歹2=0.10,试确定届yZefg力阻尼的常数。根据Rayleigh ；且尼，有C =血 + 0K而利用关系()，可得0； (aM + pK 妙=a += 2纟将两队阻尼比和相应的频率代入a + 4p = 0.08a + 90 = 0.60解得a =