材料习题解答

1、5-1构件受力如图5-26所示。试： 确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）(a)( c)( d)题5-1图解：a） 1） 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点;2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图b）1） 危险点的位置：外力扭矩 3T与2T作用面之间的轴段上表面各点;2）应力状态见下图。c）1）危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点;2）应力状态见下图d）1 ）危险点：杆件表面上各点;2）应力状态见下图d)a)b)c)5-2试与出图5-27所示单兀体主应力（T i （T 2和（T 3的值，并指出属于哪一种应力状

2、态（应力单位为MPaa)b)题 5-2 图c)解：a)b)c)1=50 MPa, 2= 3=0,属于单向应力状态产40 MPa, 2=0,3二一30 MPa,属于二向应力状态,=20 MPa, 2=10 MPa, 3二一30 MPa,属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为 MPa。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力20304。Ta) b)题 5-3 图 c)解：a）取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知:=50MPa ,y=30MPa , x=0, a 二30带入式（5-3 ）, （5-4 ）得=45MPab）取水平轴为x轴，根据正负号规定:x= -40MPa

3、 , y=0 ,x=20 MPa , a =120带入公式，得:40 040 0cos240 20s in 240 =2 240 0_sin 24020cos240 =2c）取水平轴为x轴,x= -10MPa ,y=40MPa ,x= -30MPa, a =30代入公式得:10 40_210 40_sin 6030cos60 =23cos602(30)sin60 =5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为 MPa。试用解析法求:=452（1）指定斜截面上的应力；（2）主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态;（3）最大切应力。 2060ff30606040题5-4图 b）a）解：

4、（1）求指定斜截面的上应力a)c)取水平轴为x轴，则x=100MPa ,y=40MPa , x=40MPa,a带入公式，得:100 40100 40cos902 2100 40sin 9040cos9040si n90 =30 MPa=30MPa求主应力及其方向，由公式（5-8 ）得:- 21004010040“2120=402 : 2 20按代数值123得120 MPa,220 MPa,3 0 MPa由公式（5-7 ）可求得主应力方向2 0 = 53.13,0 = 26.57最大主应力1的方向与X轴正向夹角为顺时针26.573）最大切应力由公式（5-20） max 3 竺卫 60 MPa2

5、2b ）解：（1）求指定斜截面上的应力取水平轴为 X 轴，x =60MPa , y = -20MPa ,x= -30MPa,a = -30代入公式得60 ( 20)260 ( 20)2cos( 60 )30sin( 60 )=型严前（60）30cos( 60)=（2）求主应力及其方向，由公式（5-8 ）得:60 ( 20)60 (22空(30)270MPa230按代数值123得170 MPa,20 MPa,330 MPa由公式（5-7 ）可求得主应力方向2 0 = 36.870 = 18.43最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针26.57 如图所示：3）最大切应力由公式（5-20）max3

6、70 ( 3)50 MPa2 2c）解:取水平轴为X轴，则=60MPa ,y=0 ,=-40MPa,a = -150代入公式得:60 0260 02cos( 300)(40)sin( 300)=60 402sin( 300)40cos( 300)=（2）求主应力及其方向，由公式（5-8 ）得:60 0260 022(40)8020MPa按代数值123得1120 MPa,220 MPa,30 MPa由公式（5-7 ）可求得主应力方向2 0 = 53.13,0 = 26.57最大主应力1的方向与X轴正向夹角为逆时针26.57如图所示：3）最大切应力由公式（5-20 ） max 13 80 （勿 5

7、02 25-5已知一点的应力状态如图 5-30所如图所示（应力状态为MPa。试用图解法求:（1）指定斜截面上的应力；（2）主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态;（3）最大切应力a)b)题5-5图C）30丁020解：（1）求指定斜截面上的应力由图示应力状态可知x =40MPa ,y =20MPa ,=10MPa,y =-10MPa由此可确定面内的D D两点，连接C。以C为圆心，DD为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力:Xe=60MPa yE（2）求主应力及其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向

8、应力状态的两个主应力:xA= max =， xB = min =按照123得约定，可得三个主应力为：1 =， 2 =， 3 =0MPa由D转向A的角度等于2 0。量得2 0=45 （顺时针）因此，最大主应力与 x轴 正方向夹角为顺时针 。（3）最大切应力等于由1 3画出的应力圆的半径 max二b）解：首先做应力圆：其中 D（0, -20）D（50，+20）1）斜截面与y轴正方向夹角45 （逆），因此从D逆时针量2 0=90得E点：xE= =5MPa yE = =25Mpa2）Xa= max = 57MPa Xb= min = -7Mpa按照 i 23 得 i =57MPa,2 =OMPa,3

9、= -7MPa主应力方向：最大主应力与 y轴夹角为-DCA 19.33 （顺）23）最大切应力等于由 1，3画出的应力圆的半径：max 32MPa（c）解：由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20 , 20）和D（30, -20）连DD交 轴于C,以C为圆心，DD为直径作圆，即为应力圆，如图所示1） 斜截面与x轴正方向夹角为60 （顺）,因此由D顺时针量120得E点xe= =，yE =2）主应力及其方位应力圆与 轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：Xa= max=37MPa Xb= min= -27Mpa因此 1 =37MPa, 2 =0MPa, 3 = -27MPa由D到A的夹角为逆时

10、针，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针 量所得截面上的正应力。3）最大切应力为由1, 3画出的应力圆半径 max 32 MPa5-6 一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为 mm试求：（1）梁上各指定点的单元体及其面上的应力；（2）作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。题5-6图解:1)各点的单元体及应力由梁的静力平衡求得Fa Fb 250 kNA,B,C三点所在截面上的弯矩 M 250 103 0.2562500 Nm剪力 Fq 250 kN62500Pa=（压应力）1 20.1 0.22646.875MPa（压应力）3250 10 rPa 18.75MPa0.1

11、0.22)作各单元体的应力圆A 点：1 0, 2 0, 393.75MPa maxB 点：xA13.9 MPa xB 350.7 MPa 20， maxC点：xA 1 ， xB2 0， 3 = MPa， max5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力(应力单位为MPa。a)b)c)题5-7图解：a)主应力150 MPa,由于其它两方向构成纯剪切应力状态，所以有，max 3 =50MPa2b) 一个主应力为50MPa其余两个方向应力状态如图所示x=30MPay= -20MPa,=20MPa代入公式（5-8 ）30 ( 20)30( 20) 220237MPa27所以 1 =5

12、0MPa,2 =37MPa,3 = -27MPamax13 = 50 2738.5MPa2 2b） 一个主应力为-30MPa,其余两方向应力状态如图所示取 x=120MPay = 40MPa, x=-30MPa代入公式x ymaxmin2所以 1 =130MPa,max5-8单元体各面上的应力如图大切应力。解:a)三个主应力为 1三向应力圆可作如下b)1204022咛（30）22 =30MPa,3 =0MPa130( 30)25-33所示。题5-880 MPa这是一个纯剪切应力状态其三向应力圆为max= T130 MPa30试作三向应力图，并求主应力和最20,3三向应力状态：一个主应力为零先做

13、一二向应力状态的应力圆，得1, 3再由1,2和2, 3分别作应力圆三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为 MPa。题5-9图解:画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则y=50MPa , x = ,a =30 时 =80MPa,=0代入式(5-3 ) (5-4 )=80Mpa=0x=70MPa , x= 10 3 MPa可做应力圆如图所示由应力圆可求的三个主应力分别为1 =80MPa,2 =40MPa,3 =0MPaAB面上无应力作用。试求最大切应力为 max=40MPa5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力

14、状态,切应力t和三个主应力题5-10图解:则 x=15MPa , y= -15MPa , x=T,a =135 时 =0,=0代入式(5-3 ) (5-4 )=0=0(自然满足)由上式解得 x=15MPa主应力可由公式(5-8 )求I2(15) ( 15)( 15)( 15)( 15)20 MPa2,230因此三个主应力为 ：1 =0， 2 =0， 3 =-30MPamax5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为 MPa试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。T 1a)d)AC200.(TTA30(T*-30A 亠Ao10(T70Tb)A-10 105

15、0c)T A30、丿30200(Te)f)题5-11图5-12 图5-37单元体为二向应力状态。已知：80 MPa,40 MPa,50 MPa,试求主应力和最大切应力。解:题5-12图（=80MPa ,y=40MPa , x= t, =50MPa, a =60将以上已知数据代入公式（5-3 ）=0再把x , y ,x代入公式(5-8 )求主应力804028040 20280 MPa40因此三个主应力为1 =80 MPa ,2 =40 MPa,3 =-30MPam ax=40MPa5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。 已知两个斜截面a和B上的应力分别为40 MPa, 60 MPa;2

16、00 MPa, 60 MPa。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径Ro题5-13图解：已知=40MPa,=200MPa, =60MPa, =60MPa由上面两组坐标可得应力圆上两点D,D2,连DQ作其垂直平分线交c轴于 C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0)半径 R . 602 802 =1005-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变和。试求所受拉力Fo已知材料弹性常数 E、V，圆杆直径d解:题5-14图围绕K点取单元体，两截面分别沿和” 方向。如下图所示由广义胡克定律 联求解得我们还可以取K点的单元体如下，

17、即沿杆件横截面,纵截面截取 根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为 一常量得：又=FA所以F= A=1 d2145-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面 K点与轴线成30方向的线 应变30。试求外力偶矩T。已知圆轴直径d ,弹性模量E和泊松比V。题5-15图解：围绕K点沿 30方向和与之垂直的方向取单元体如左图由沿横纵截面单元体如右图由公式（5-3、5-4）得:由胡克定律又T = TWp16TTd3d3 ，T16受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上所以 T2 d E 303 d E 301/3 124 15-16一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入

18、一铝质立方块，其尺寸为10X 10X lOmrl,铝材的弹性模量 E=70GPa v =。试求铝块受到F=6kN的作用时, 铝块的三个主应力及相应的变形。题5-16图解:F力作用面为一主平面，其上的正应力为6 103102MPa= -60MPa前后面为自由表面，也为主平面，1=01200 109(0 0.25(19.8 60)=376.2 101 2所以1200 109(60 0.25(0 19.8)= 763.8 10l11 l1376.2 10 6 103.672 10 3mm5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45方向的正应变45空心圆轴外径为 D,内外径之比为a。试求外

19、力偶矩T。材料的弹性常数 E、v均为已知。题5-17图解:由题意知 2=0由胡克定律=12 =213所以2319.8MPa45和135面上主应力取得极大值和极小值，为主平面,1 = T,3= - T由胡克定律1代入化简得45所以45由受扭圆轴表面上一点剪应力公式TWP16TD3!43455-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45。方向的线应变455 0 1 0 6，材料的弹性模量E 200G Pa,0. 25。试求梁上的载荷 F之值。题5-18图解：K点的应力状态如图所示其中T由公式（3-40) 求得又K点有3，135方向有1，代入到胡克定律有1有30e113 E-1 EP

20、a1比轴两式有F6000 10 6 E 45-=48000N=48kN10.255-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成60方向上的正应变604 . 01 0 4，直径d=20mm材料的弹性模量 E 200103 MPa, 0.3。试求载荷Fo题5-19图解:A点应力状态如图所示由公式（5-3 ）由胡克定律又=FA所以-d24(3)20210 6 4 200 1094 10 4=kN3 0.35-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时 AB线段长度的改变量。已知： AB原长为a,与轴线成45，B点在中性层上，梁高为h,宽为b,弹性模量为E, 泊松比为v，弯矩为M题5-20图解：求AB的伸长量需先求 AB方向的应变，去 AB中点位置C其应力状态如图所示，其中Myc1M asi n452丄bh312由此可求出AB方向及与其垂直方向的正应力由胡克定律5-21用45应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为 0 =-267 X10-6, 45 =-570 X 10-6 及 90=79X 10-6。构件材料为 Q235钢，E=210GPa v 二。试求主应变，并求出该点处主应力的数值和方向 解：由公式（5-36 ） 可求主应力:Er220902 1耳 04545909210 10267570 257079 2 921