数学实验综合实验报告.doc

1、.一、实验目的：1、初步认识迭代，体会迭代思想的重要性。2、通过在 mathematica环境下编写程序，利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。3、了解分形的的基本特性及利用mathematica编程生成分形图形的基本方法，在欣赏由mathematica生成的美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。 从哲理的高度理解这门学科诞生的必然性，激发读者探寻科学真理的兴趣。4、 从一个简单的二次函数的迭代出发，利用 mathematica认识混沌现象及其所蕴涵的规律。5、.进一步熟悉 Mathematic软件的使用，复习总结Mathematic在数学作图中的应用

2、，为便于研究数学图像问题提供方便，使我们从一个新的视角去理解数学问题以及问题的实际意义。6、在学习和运用迭代法求解过程中，体会各种迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同点。二、实验的环境：学校机房， mathematica4环境三、实验的基本理论和方法：1、迭代（一）方程求解函数的迭代法思想：给定实数域上光滑的实值函数f ( x) 以及初值 x0 定义数列专业.xn 1f ( xn ) ， n0,1,2,3,，(1)xn ， n0,1,2,3,，称为 f ( x) 的一个迭代序列。（ 1）方程求根给定迭代函数f ( x) 以及初值 x0 利用（ 1 ）迭代得到数列xn ， n0,1,2,3,.如

3、果数列收敛到某个x* ，则有x*f ( x* ) .(2)即 x* 是方程 xf ( x) 的解。由此启发我们用如下的方法求方程g (x)0 的近似解。将方程 g( x)0改写为等价的方程x f ( x) ，(3)然后选取一初值利用（1）做迭代。迭代数列 xn 收敛的极限就是方程 g( x)0的解。为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程g( x)0 的某一解的条件是迭代函数 f ( x) 在解的附近的导数将的绝对值尽量小，因此迭代方程修订成x h(x)f (x)(1)x(4)选取使得 | h ( x) |在解的附近尽量小 . 为此 , 我们可以令h ( x)f ( x)10,得1.1f (x)于

4、是h( x)xf ( x)x .f ( x)1专业.特别地 ,如果取 f (x) g( x)x , 则可得到迭代公式xn 1xng( xn ) ,n 0,1, .(5)g ( xn )（ 2）线性方程组的数值解的迭代求解理论与矩阵理论给定一个 n 元线性方程组a11x1a1n xn b1 ,(6)a1n x1ann xn bn ,或写成矩阵的形式Axb,(7)其中 A( aij ) 是 n 阶方阵 , x(x1 , x2 ,xn ) T 及 b(b1 , b2 ,bn ) T 均为 n 维列向量 .熟知，当矩阵 A 的行列式非零时，以上的方程组有唯一解.如何有效，快速地寻求大型的线性方程组的数

5、值解释科学工程计算中非常重要的任务 .而迭代法常常是求解这些问题的有效方法之一。用迭代法求解线性方程组的思想与上一小节介绍的方程求根的方法是类似的。将方程组 (7) 改写成xMxf ,(8)其中 M(mij ) 是 n 阶矩阵 , f( f1 , f n)T 是 n 维列向量 . 任意给定初试向量x0 ,由迭代x n 1Mx nf(9)确定向量序列 x n ,n0,1,.如果 x n 收敛到向量 x* ,则有x*Mx *f ,则 x* 为方程组 (7) 的解 .假设矩阵 A 的对角元素 aij0, i1,2,L n 。令 Ddiag ( a11 ,L , ann ) ，则我们可以将方程（ 7）

6、改写成专业.Dx( DA) xb或x ( I D 1 A) x D 1b（10）由上式即可确定一种迭代格式。如果即将矩阵 ( ID 1 A) 分解为 UL ，其中 L , U 分别为下三角阵与上三角阵，则（ 10）可以进一步改成( IL ) xUxD 1b或x ( I L ) 1Ux ( I L ) 1 D 1b（11）上式又可确定另一种迭代格式。（ 3）非线性方程组的迭代求解理论类似于单变量的方程组及线性方程组的求解， 用迭代方法可以求更加复杂的非线性方程组的解，给定非线性方程组f1 ( x1 ,L , xn )0,LLLLLLLL,(12)fn (x1,L , xn )0.将它改写为等价的

7、方程组x1g1 ( x1 ,L , xn ),LLLLLLLL,xngn (x1,L , xn ).或xg( x)(13)其中，x 为 n 维列向量 x(x1,., xn )T , g( g1 (x),gn (x)T为 n 维列向量函专业.数，由上式即确定了一种迭代格式xn 1g( xn ), n0,1L.由于非线性方程组可能有许多解（甚至有无穷多个解），因此对它的求借比线性方程组的求解要面临更多的挑战。2、迭代（二）分形分形几何描述自然界的几何形态，把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。（

8、 1） 生成元早在 19 世纪末及 20 世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形。这类图形的构造方式都有一个共同的特点 , 即最终图形 F 都是按照一定的规则 R 通过对初始图形 F0 不断修订得到的 . 其中最有代表性的图形是 Koch 曲线 , 它的构造方式是给定一条直线段 F0 ,将它分为三等分 ,并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替 ,得到图形 F1 . 然后 , 再对图形 F1 中的每一小段都按上述方法修改 , 以至无穷 . 则最后得到的极限曲线 Flim Fk ,即所k谓的 Koch 曲线 .Koch 曲线的修改规则R 是将每一条直线段F0 用一条

9、折线F1 代替 , 我们称专业.F1 为该分形的生成元 . 分形的基本特性完全由生成元决定. 因此 , 给定一个生成元 , 我们就可以生成各种各样的分形图形。（ 2） 复变函数迭代理论给定初始复数 Z 0 ，考虑如下迭代：Z k 1Zk2, k0,1,2,L(1)其中 Zk , k0,1,2,L 为复数，为（复）常数。对于给定的初始点Z 0 ，迭代序列有可能有界，也可能发散到无穷。令是使得迭代序列有界的所有初值Z 0 构成的集合，即J = Z0 | 迭代序列 Zk k 0 有界 我们称 J在复平面上构成的集合为Julia 集。对不同的参数, Julia 集的形状也会不同。特别的0 ，对应的 J

10、ulia 集为圆盘。如果固定初值 Z 0 ，则对不同的参数，迭代序列 Zk k 0 的有界性也不相同。令 M Z0 是使得迭代序列 Zk k0 有界的所有参数构成的集合，即M Z0=|迭代序列 Zk k 0 有界 则称 M Z0 在复平面上构成的集合为Mandelbrot集。为了 便 于在 计 算 机上 绘制 出 Julia集 和 Mandelbrot集，我们令Zk xkiyk ,piq ，则（ 1）式可改写为xk 1xk2yk2pk1,2,Lyk 12xk ykq记 kx22，则Julia集为使得序列 r 有界的初始点( x , y ) 构成的kkk0ryk00集合， Mandelbrot集

11、为使得序列 rk k 0 有界的参数 ( p,q) 构成的集合。 Julia集与 Mandelbrot集会是什么样子？如果没有计算机的帮助， 你是很难想象的。下面，我们给出这两个集合的计算机作图方法。专业.Julia 集绘制方法（1）设定初始值p, q ，一个最大的迭代次数 N ，图形的分辨率大小 a,b 和使用的颜色数 K （如 K16）（或者给定灰度级 L ）。（2）设定一个上界值Mmax(2,p2q2 ) 。（3）将矩形区域 R :( x, y) | Mx, yM 分成 ab 的网格，分别以每个网点 ( f i , g i ) ， fiM2M2 Mj ， i0,1,2,L ，i ， gi

12、Mabj 0,1,2,L 作为初始值 (x0 , y0 ) 利用 riter 做迭代（实际上，只需对满足x02y02M 2 的初始点迭代） 。如果对所有 nN ， xn2yn2M 2，将图形的(i, j ) 像素点用黑色显示。 否则，如果从迭代的某一步 n 0 开始有 xn0y n0 M 2 ，则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。Mandelbrot集绘制方法（1）设定一个最大的迭代次数N ，图形的分辨率大小 a,b 和使用的颜色数K （如 K16）（或者给定灰度级 L ）。（2）设定一个上界值M2 。（3）将矩形区域 R : ( x, y) |M x, yM 分成 ab 的

13、网格，分别以每个网点 ( f i , g i ) ， fi2Mi ， gi2 Mj ， i0,1,2,L ，MMabj0,1,2,L作为参数值 ( p, q) 利用 riter做迭代（实际上，只需对满足p2q24 的初始点迭代）。每次得带的初值均为 ( x0 , y0 )(0,0)。如果对所有nN ， xn2yn2M 2，将图形的 (i , j ) 像素点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步 n 0开始有 xn0y n0 M 2，则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。四、实验的内容和步骤：专业.练习 12x给定初值 x0 及迭代函数f ( x)x ，迭代 n 次产生相应的数列。

14、2mathematica程序如下：运行结果为：练习 2设 f ( x)axb. 利用（ 1）做迭代得到序列xn , n0,1,.（ 1）写出序列 xn 的通项公式为：xna n x0(a n 1an 2La1)b（ 2）在什么条件下，迭代（ 1）对任意的初值 x0 都收敛？答：据几何级数的收敛性，当 | a | 1 时，迭代（ 1）对任意的初值 x0 都收敛。（ 3）影响收敛性的主要量是什么？它与f (x) 的一阶导数有什么关系？常数b 对迭代的收敛性有没有影响？收敛速度的快慢由什么量决定？答：影响收敛性的主要量是 a, 它即为 f ( x) 的一阶导数，常数 b 对迭代的收敛性没有影响，收敛

15、速度的快慢由a 和 b 共同决定。（ 4）对于任意给定的线性方程 g( x) Ax B 0 ，你是否可以将它改写成等价的形式 x f ( x) 使得迭代总是收敛？答：对于任意给定的线性方程 g ( x) Ax B 0 ，我们总可以将它改写成等专业.价的形式 xf ( x) 使得迭代总是收敛。练习 3考察用迭代函数f (x)2sin( x) 求解方程 g(x)2 sin( x)x0 的解的情况。（1）在同一直角坐标系中，画出yf (x) 及 yx 的图象。从图上观察，方程 f (x)2 sin( x) 有几个解？mathematica程序如下：运行结果为：结果分析：通过观察函数图像可得f ( x

16、)2 sin( x) 有三个解。（2）取初值 x00.5 做迭代，迭代序列是否收敛？如果收敛，它收敛到哪一个解？取其他初值，观察迭代的结果。是否可以选取到非零的初值x0 ，使得迭代序列收敛到g (x)0的解 x0 ？初值 x00.5 ，迭代 20 次产生的迭代序列mathematica程序如下：专业.运行结果为：结果分析：通过实验结果我们看到，迭代序列收敛于1.895 附近。取初值 x0 0.01 ，迭代 20 次运行结果为：取初值 x00.0000001，迭代 20 次运行结果为：取初值 x00.5 ，迭代 20 次运行结果为：专业.结果分析：由可得尽管初值x0 已经非常小了，但迭代结果却并

17、不收敛于g ( x )0 的解 x0 ，因此我们得到一个结论，找不到非零的初值使迭代序列收敛到 0.再取初值 x 00 ，同样迭代 20 次，结果为：当初值为 0 时，迭代序列收敛于0.（3）你能否解释（ 2）中观察到的现象？对非线性迭代，迭代序列收敛性与什么因素有关？你能否给出迭代收敛的一个充分的条件？初始值的选取对迭代的收敛性及其收敛到哪一个解有什么影响？（提示：在一个光滑函数的局部，它可以近似看成一个线性函数。然后，你可以利用线性迭代的有关结论。 ）答：通过以上观察到的现象，我们看到，对非线性迭代，迭代序列收敛性与迭代函数和初值都有关，取不同的初值会得到不同的收敛结果。练习 4利用（ 5

18、）式的迭代方法求解方程x32x10 的根，将它的收敛速度与你得到的其他的迭代公式相比较，那个更快？mathematica程序如下：专业.当初值 x00.5 时，迭代 10 次的结果为运行结果为：当初值 x00.2 时，迭代 10 次的结果为运行结果为：结果分析：由上述试验结果我们发现， 使用改进的迭代公式求方程的根，它的收敛速度比其他的迭代公式要快，而且随着迭代次数的增加，迭代值趋于稳定。练习 5设 M0.20.3 ，任意取定向量 f 及初始向量 x 0 利用（ 9）做迭代。0.40.2mathematica程序如下：当 f(1,1)、 x0(0,0) 时，迭代 20 次的结果为：专业.运行结

19、果为：练习 631给定A， b 任意选取。做如下迭代。3 2（ 1）用格式（ 10）做迭代。mathematica程序如下： 取 b(1,1)、 x0(0,0) 得迭代 10 次的结果为：专业.取 b(2,1) 、 x0(0,0) 得迭代 10 次的结果为：（ 2）用格式（ 11）做迭代mathematica程序如下：专业.取 b(1,1) 、 x0(0,0) 得迭代 10 次的结果为：取 b(2,1) 、 x0(0,0) 得迭代 10 次的结果为：专业.练习 7分别取122211A 111A 111221112分别用格式（ 10）和格式（ 11）做迭代。122（ 1）取 b 1,1,1 ，初

20、值向量 x00, 0, 0 ，用格式（ 10）对 A111做221迭代。mathematica程序如下：运行结果为：专业.211（ 2）取 b 1,1,1 ，初值向量 x 00, 0, 0 ，用格式（ 11 ）对 A111112做迭代。mathematica程序如下：专业.运行结果为：结果分析：上述实验结果表明，格式（10）和（ 11 ）都是收敛的，且比起前面的迭代格式，收敛速度明显加快，收敛效果更好。练习 8用计算机绘制出 Koch 曲线， Sierinski 三角形及一些树木花草的图形。（ 1） Koch 曲线， mathematica程序如下：专业.运行结果为：（ 2） Sierinsk

21、i 三角形， mathematica程序如下：专业.运行结果为：（ 3）树木花草， mathematica程序如下：运行结果为 :专业.结果分析：树木花草和前面几个曲线相比有些特别，它具有所谓的分支结构， 其中有一些参数可以改变，如每段树枝的长度以及树枝之间的角。练习 9用计算机绘制出绘制Minkonwski “香肠”曲线。mathematica程序如下：专业.运行结果为 :练习 10从一个从一个正三角形出发， 用计算机绘出 Koch 曲线的生成元作迭代得到的极专业.限图形 Koch 雪花曲线。mathematica程序如下及运行结果如下：结果分析：从形的角度，粗略的看， “雪花曲线”是一条封闭的连续的折线；不光滑（到处都长满了角） ，当迭代次数增多时， “角”的个数增多， “角”越来越小，曲线向外生长变得越来越慢等。练习 11定义 Weierstrass函数如下：W (x)( s 2)