线性代数2章精选练习题

1、第一章行列式一、单项选择题1. 下列排列是5阶偶排列的是(A) 24315(B) 143252. 如果n阶排列j1j2 jn的逆序数是k,贝U排列jn).(C) 41523(D)24351j2j1的逆序数是().(A)k(B)n(C)k(D)咛 k3. n阶行列式的展开式中含a11a22的项共有()项.4.5.6.(A) 0(B)n(C) (n 2)!(D) (n1)!00010001001001001000).(A) 00100(A) 0(B) 1(C) 1(D) 210000010).(B)(C) 1(D) 2在函数f(x)2x112313项的系数是().(A) 0(B)1(C)1(D)

2、2a11a12a13中，则D12a11a13a112a127.若Da21a22a232a21a23a212a22()a31a32a332a31a33a312a32(C) 2(A) 4(B)(D)242030x08.若a11a21*12a22a，则厲2*11ka22ka21).(A)ka(B) ka(C)k2a(D) k2a9.已知4阶行列式中第1行元依次是 4,0,1,3,第3行元的余子式依次为a11ai(n 1)ai n(A) 010.若 D(A) 111.若 D86147213(B)431733115(C) 3(D) 2,则D中第一行元的代数余子式的和为).3105(B)410(C) 3(

3、D)00102,则D中第四行元的余子式的和为().(A) 1(B) 2(C) 3(D)0X2kx3012. k等于:下列选项中哪个值时，齐次线性方程组kx2X30有非零解kx1X2X30(132)(A) 1(B) 2(C) 3(D)0二、填空题1. 2n阶排列24(2n)13(2n 1)的逆序数是 2. 在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符- 号是3. 四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是 .4. 若一个n阶行列式中至少有n2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于5.行列式1 00 11 11 00010026 行列式000n00007.行列式a2(n 1)0

4、a21a12a13a11a133a23a28.如果Da21a22a23M，则 D1a21a233a?23a 22a31a32a 33a31a333a323a320 09.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为11111x 1x 1110.行列式1x111x 111111111. n阶行列式11111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为12345678，A4j(j4321876513.设行列式D1, 2,3, 4)为D中第四行元的代数余子式,a cbbcaab14.已知Dba

5、ccacbd则 4人1 3A42 2A43 A44D中第四列元的代数余子式的和为12 3 415.设行列式D6 , A。为a4j(j 1,2,3, 4)的代数余子式，则33 4 41567112 21351 2 016.已知行列式D 1031 0 02n 100, D中第一行元的代数余子式的和为nkx-i2x2X3017.齐次线性方程组 2x1kx20仅有零解的充要条件是X1X2X30x12x2X302x25x30有非零解，则k3x1 2x2kx3018.若齐次线性方程组abed2,22,2xyx yabed； 2.3,33,3yx yxabedx yxybeda e da b da b e、

6、计算题1.7xa1a2an 2101x1a1xa2an 21101xa1a2xan 213.解方程0 ；4.x1101x10a1a2a3x1a1a2a3an 111a。111a15.11a21 (aj 1,j0,1, ,n);6.2.(n 1) b1111xaa2anbia1aaa1xa2an7.bib2a2a2； 8.a1a2xanbib2bsana1a2a3x210002X1%x2xx12100x2x11 X；X2XnJ10.01200人为xnX21 X；00021000121 aa0001 1aa00D011 aa0.0011 aa00011 a19.11.四、证明题1.设abed 1，

7、证明:21a 2 a b21bb221e1 a a1b10.d22e1孑aiRxa1xbiCia2b2xa2xb2C2a3b3Xa3Xb3e3(1 x2)玄丄dC|a?b?c?a3b3C3nnn3.4.5.a2 a4 aa12 a1n 2a1na11bb2b4c2 c4 ca22a2n 2a2na21dd2d4(ban2 ann 2annan设a,b,c两两不等,a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)(a证明nai1(aj ai).n1bb30的充要条件是a b0.参考答案一. 单项选择题ADACCDABCDBB二. 填空题1. n ;2.“” ;3. a14a22a31a43

8、 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1 n!;n(n 1)7. ( 1) 2 a1na2(n 1an1;8. 3M ; 9. 160;10.x4;11.( n) n 1;12. 2;13.0;14.0;15.12 9; 16.n!(1k 1);17.k k2,3;18.k7-三.计算题1.(a b cd)(ba)(ca)(d a)(cb)(d b)(dc)；2.33、2(x y );3.x 2,0,1;n 14.(xk 1ak)5.n(ak 1)(1n1 1);6.(2 b)(1b)(n2)b);k 0k 0 ak17. ( 1)n(bkaQ;k 18. (xaQ(x aQ;10.

9、n 1;n9. 1Xk ;k 12411. (1 a)(1 a a ).矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。2 I 2222TTT(a) A A (b)A B (A B)(A B) (c)(A B)A A AB (d)(AB) A B2. 设方阵A、B、C满足AB=AC当 A满足()时，B=C(a) AB =BA (b) A 0 (c)方程组AX=0有非零解(d) B C可逆3. 若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA ()(a) kA(b)|k A(c)kn|A(d)|kA4. 设A为n阶方阵，且A 0,则(a) A中两行(列)对应元素成比例(c) A中至少有一

10、行元素全为零)。(b) A中任意一行为其它行的线性组合(d) A中必有一行为其它行的线性组合5. 设A，B为n阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是()。(a) (A B) 1 A 1 B 1(b) (AB)T| |AB(c) (A 1 B)T A 1 B (d) (A B) 1 A 1 B6. 设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵，则()。*1*ii*iin1*iin1(a) (a) A A1(b) A |A (c) A |A (d) A | A7. 设A为3阶方阵，行列式A 1 , A*为A的伴随矩阵，则行列式1 *(2A) 2A ()(a)278(b)27(d)_8278. 设A , B为n阶方矩

11、阵,A2B2,则下列各式成立的是（）2 2(a) A B (b) A B (c) |A |B (d) A |B9. 设A , B均为n阶方矩阵，则必有()。2 2(a) A B A B (b) AB BA (c) AB BA (d) A B10. 设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）（a）2A 2At（b） （2A） 1 2A 1(a) ACB I (b)CAB I(c) CBA I(d) BAC I11 T(c) (A )(at)t 1T T 11 T T(d) (A ) (A )ana12a13an3a31a123a32a133a3311.如果 A a21a22a23a21a22a

12、23，则A()a31a32a33a31a32a331001 03003100（a）010(b)0 10(c) 010(d)0103010 0110103113112.已知A220，则（）。311（a）AtA(b)A1*A100113100 11 13（c）A 001202(d)001 A 20201031101031113.设A,B,C,I为同阶方阵,I为单位矩阵，若ABCI，则（）14. 设A为n阶方阵，且|A| 0，则（）。（a）A经列初等变换可变为单位阵I（b）由 AX BA，可得 X B（c）当（A|I）经有限次初等变换变为（l|B）时，有A 1 B(d) 以上(a)、( b)、(c)

13、都不对15. 设A为m n阶矩阵，秩(A) r m n，则()。(a) A中r阶子式不全为零(b) A中阶数小于r的子式全为零(c) A经行初等变换可化为2-34. 设A22 ，且已知A6 I，则行列式A11731 r 0( d) A为满秩矩阵0 016. 设A为m n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B AC ,则()。(a)秩(A) 秩(B)(b)秩(A)=秩(B)(c)秩(A)秩(B)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定17. A，B为n阶非零矩阵，且AB 0 ,则秩(A)和秩(B)()。(a)有一个等于零(b)都为n (c)都小于n(d)一个小于n, 个等于n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。

14、(a)r(A) r n(b) A的列秩为n(c) A的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a) A的每个行向量都是非零向量(b) A中任意两个行向量都不成比例(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d) 对任何n维非零向量X，均有AX 0 二、填空题1设A为n阶方阵，1为n阶单位阵，且A2 I,则行列式A 0 a b2. 行列式a 0 c b c 01 0 13. 设2A0 2 0，则行列式(A 3I) 1(A5. 设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且|A 3，则A* 6. 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为 91)的值为0 0 1a

15、bab?ab7.非零矩阵a2b1也a2bn的秩为anbanb2anbn8. 设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX 0,则A的秩为9. 若A (aj)为15阶矩阵，则A A的第4行第8列的元素是10.若1方 阵 A与 4I2K相似 ，则Alim2k K 1K11K3k1n122lim0 -1n30 014三、计算题1解下列矩阵方程(X为未知矩阵).2232 201020131)110X3272)100 X11211210 2001103101013)X(IB1C)TBt I，其中B4047C21242212171014)AXA2XI，其中A02010174235)AXA2X

16、，其中A 11012372设A为n阶对称阵，且A20,求A.1103.已知 A021，求(A2I)(A24I) 1.1014.设 A112340012A1 A201, A22 3 ,A300,A4,求0401A3A41125.设 A224, 求一秩为2的方阵B，使AB0.3362110116.设 A101,B121 ,求非奇异矩阵C,使ACTBC.1101107. 求非奇异矩阵P,使P 1AP为对角阵.1 1 2211) A2) A 13 1122 0 18. 已 知 三 阶 方 阵 A 的 三 个 特 征 根 为 1,1,2, 其 相 应 的 特 征 向 量 依 次 为 (0,0,1) T

17、,( 1,1,0)T ,( 2,1,1)T ,求矩阵 A.5329. 设 A644,求A100 .445四、证明题1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.2. 设Ak0(k为整数),求证I A可逆.3. 设 a1.a2,L ,ak 为 实 数 , 且 如 果 ak0 , 如 果 方 阵 A 满 足Ak aiAk 1 Lak iA akI0 ,求证A是非奇异阵4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA.5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵 .6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和 .7. 证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵9. 证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和第二章参考答案1 a 2 b151. 1 或-1; 2. 0; 3. -4; 4. 1; 5. 81; 6. 0; 7. 1; 8. 100; 9. ai4 ai8 ; 10.1;i 10 212.