曲线拟合实验报告

1、数值分析课程设计报告学生姓名学生学号 所在班级 指导教师成绩评定一、课程设计名称 函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。实验要求：编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出 离散函数（，）和拟合函数的图形；（2）用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项 式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1） 结果进行比较。三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲 线精确的经过

2、这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。思路分析：从整体上考虑近似函数两同所给数据点冋丽误差 厂（兀）-片|的大小,常用的方法有三种：一是误差匸刁3）-卅绝对值的 最大值应阴创,即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和可，即误 差向量的1范数；三是误差平方和围的算术平方根，即类似于误差向量 的2范数。前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当 于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。算法的具体推导过程:1.设拟合多项式为：y =。+1+2 +? +2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：+? +3为了求得到符合条件的回的值，对等式右边求偏导数，因而我们得到了

3、:2 工(+ 1 +? +=22 工(i +? + =27 7 2 工(o + 1 +? + =1)=0)=0)=04将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式0 + 1+? +=12=12 “匹=1 =1=1 =1+?+2=15把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵:nnE/-InD r-1nr-l12n-zr-ln-z-r-laJnE/-In z J-l)inzL/-ikXiftP k/-I+1n-E-r-l2kXiftsL/-i6. 将这个范徳蒙得矩阵化简后得到1 X,彳1 x2X?-用最小二乘法求拟合数据的多项式； 用MATLAB内部函数polyfit函数进行拟合。实

4、验步骤1）首先根据表格中给定的数据，用MATLAB软件画出数据的散点图（图1） o2）观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合， 取一组基函数,:勺并令f（x）= + &其中 是待定系数（k= 1,2,3）。 X”0_=y2xj7. 因为X*A = Y|,那么A = Y/X ,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲 线。四、课程设计内容实验环境：MATLAB2010实验内容：给定的数据点（，）013) 用MATLAB程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。算法实现代码如下：x 二0;y=l;R= (x. 2) x ones (7, 1);A=Ry，4) 用MATLAB程

5、序计算平均误差。算法实现代码如下：yl=El ;x=Lo ；y=x. 2+x+l;z=(y-yl). 2;sum(z)5) 作出拟合曲线和数据图形(图2)。6) 用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的 系数及平方误差。算法实现代码如下：x 二0;y=l;A二polyfit (x, y, 2) ;%二次多形式拟合z=polyval(A, x);d二sum( (z-y) 2) 7）绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。（图3）五、程序流程图图5-1用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图图5-2用polyfit函数求多项式拟合曲线流程图六、实验结果图6-1表中数据的

6、散点图实验数抿点的散点图及拟合曲线图6-2最小二乘法实现的拟合曲线系数为A 二则多项式的方程为y=分+ +1平方误差和为ans 二实验数抿点的散点图及拟合曲线图6-3. polyfit函数实现的拟合函数 第2问 系数为A =则多项式的方程为y= 2+1平方误差和为ans七、实验结果分析编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和 拟合函数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的 拟合曲线比较光滑。而用MATLAB的内部函数求polyfit求解的曲线拟合 多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但 用MATLAB的内部函数做出的图形由明显的尖

7、点，不够光滑。此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。但是在应用实际问 题中，数据会很庞杂，此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。 例如在进行数据采集时，由于数据采集器（各种传感器）或机器身的原 因及其外部各种因素的制约，导致数据偶尔会有大幅度的波动，及产生一 些偏差极大的数据，不能真实反映数据的可靠性，所以会对数据进行筛选 或修正。而此时就可应用曲线拟合的最小二乘法的进行处理。八、实验心得体会在E1常的学习和生活中，我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问 题，并不是所有的数据都是有用，必须对数据进行适当的处理，然后找出 数据之间的关系，然后进行分析得出结果。此次实验结果基本没有大的

8、区 别，可是MATLAB提供给我们一个特别简洁的办法，应用一个函数即可实 现相同的结果。虽然很方便，但是对于初学者來说，我觉得打好基础才是 关键，对于一个知识点，应该掌握其最基本的原理，然后在将它应用于实 际。通过这个实验我也理解到了，数值分析是一个工具学科，它教给了我们分析和解决数值计算问题得方法，使我从中得到很多关于算法的思想, 从中受益匪浅。附录：源代码散点图：x二0；y=l1；plot (x, y, r*)titleC实验数据点的散点图)；legendC 数据点(xi,yi)；xlable ( x);ylable ( y)；最小二乘拟合：1；x=Lo ；y 二1R= (x. 2) x ones (7, 1):A 二 Ryxl=O;yl=Ll；x=0;y=x. 2+x+l;plot (xl, yl, k+, x, y, r)titleC实验数据点的散点图及拟合曲线);z=(y-yl). 2sum(z)Polyfit